高等数学内容教学难点分析与突破例谈

邱香兰

摘 要： 本文分析了高等数学内容中的教学难点，提出了突破教学难点的三种方法：搭建合适的台阶、循序渐进和“浅入深出”。

关键词： 高等数学 教学难点 搭建台阶 循序渐进 浅入深出

教学难点是指学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。如高等数学内容中一元函数在一点处的极限定义，一元函数在一点处的导数定义，定积分的概念，变上限积分的概念及其求导，定积分的应用，多元函数的多重极限，多元函数的可微分，常微分方程在物理上的应用，等等，都是学生不易理解的知识；另外，不定积分的计算方法，求解某些二阶微分方程的方法等，都是学生不易掌握的技能技巧。

难点有时要根据学生的实际水平来定，同样一个问题在不同班级的不同学生中，就可以是难点也可以不是难点。如分部积分法对于专科学生来说，就是难点，而对于本科学生来说就不是难点。在一般情况下，使大多数学生感到困难的内容，就是教学难点。也可以说教学难点是由于新内容与学生已有的认知水平之间存在较大的落差而产生的。因此，要找出教学难点，就要分析学生已有的认知水平，分析以往学生学这些内容时容易犯的错误。

教师要着力采用各种有效办法对教学难点加以突破，否则不但这部分内容学生听不懂学不会，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。如一元函数在一点处的极限定义如果没有弄清楚，那么一元函数的连续性，一元函数在一点处的导数，定积分的概念，甚至于多元函数的极限，多元函数的可微分性等就都会学不会。

那么怎样突破教学难点呢？既然教学难点是由于新内容与学生已有的认知水平之间存在较大的落差而产生的，那么就要分析这个落差，搭建合适的台阶。例如，要突破“变上限积分的概念及其求导”这个教学难点，首先分析：变上限积分不是一般的定积分，其值不是常数，而是一个函数（自变量为上限变量），如果被积函数在某个闭区间上连续，则这个变上限积分可导，其导数等于被积函数在上限处的值。然后，在教学中搭建合适的台阶：第一定义变上限积分，让学生掌握其标准形式，老师强调被积函数的自变量与积分变量相同，否则，要求学生通过换元变成相同的变量。第二给出变上限积分的第一个性质，若被积函数在某个闭区间上连续，则上限变量趋于下限值时，对应的变上限积分是一个无穷小量；对此利用积分中值定理和闭区间上的连续函数的有界性及无穷小的性质进行证明。第三给出变上限积分的第二个性质，即课本上的原函数存在定理，对此除了要进行证明以外，还要让学生判别所要求导的这个变上限积分是否为求导变量的复合函数，如果是复合函数就要利用复合函数的求导法则求导。最后，使学生掌握变上限积分的两个性质的应用：第一个性质可用于利用洛必达法则求不定式的极限，第二个性质可用于含变上限积分的式子或方程的求解，其中求解的过程中需要求导。

要攻克教学难点，极其重要的一条就是循序渐进，一个5m高的峭壁，没有专门的工具，没有经过专业训练的人是很难攀登的，而泰山那么高，一般的人都爬得上去，就是因为泰山开凿了一般健康人都能接受的台阶。教学也是一样的道理，要遵循循序渐进的原则。例如二阶线性微分方程在电学上的应用实例的讲解：首先要复习和补充电学中有关的知识和概念，如电容、电感的定义，电容、电感的计算公式，串联电路的几大特点；然后才能根据回路定律得出串联电路的振荡方程；最后进行讨论求解。同理，在教学二阶线性微分方程在力学上的应用实例时，首先要介绍实例的相应的背景知识并介绍有关的概念，如弹性恢复力、绳子的张力等，然后进行受力分析，并根据有关的物理定律建立振动方程，最后讨论求解。

要攻克教学难点，极其重要的另一条就是“浅入深出”。成语“深入浅出”，是指讲话或文章的内容深刻，语言文字却浅显易懂。而我认为教学，尤其是数学教学要“浅入深出”，这里的“浅入深出”是从字面意思理解的，“浅入”是指导入要浅显，从简单的例子或者从生活中实际的例子引入教学，“深出”是指从浅显的例子中归纳出规律性的东西，比如定律、法则等。如在教学定积分的概念时，宜先学习曲边梯形的面积、变速直线运动的路程的求解计算步骤，然后分析：虽然所要计算的量，即曲边梯形的面积A及变速直线运动的路程S的实际意义不同，前者是几何量后者是物理量，但是它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次，计算这些量的方法与步骤都是相同的，并且它们都可以归结为具有相同的结构的一种特定和的极限，抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就可以抽象出定积分的定义。

要做到“浅入深出”，教师对教材研究必须深入透彻，且能创造性地处理教材。苏霍姆林斯基的《给教师的建议》中有这样一段话：“应当在你所教的那门科学领域里，使学校教科书里包含的那点科学基础知识，对你来说只不过是入门的常识。在你的科学知识的大海里，你所教给学生的教科书里的那点基础知识，应当只是沧海之一粟。”“如果一个教师在他刚参加教育工作的头几年里所具备的知识，与他要教给儿童的最低限度知识的比例为10：1，那么到他有了15年至20年教齡的时候，这个比例就变为20：1，30：1，50：1。”有了这样的积淀才能真正实现“浅入深出”，达到“深入浅出”的教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（上册） [M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.