论数学思维能力中的分类思想

束从武

(中国科学技术大学附属中学，安徽合肥 230051)

论数学思维能力中的分类思想

束从武

(中国科学技术大学附属中学，安徽合肥 230051)

数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类应在同一标准下具有完备性和互斥性，不同的类之间的逻辑关系是“或”，因此，分类的结果是集合运算的“并”，通过分类思想的学习，培养学生思维的条理性，缜密性，提高学生的思维能力。

初中数学中，分类问题总体归结为两类，涉及数与代数、空间与图形，因此，分类思想是安徽省中考每年必考的核心思想方法。

数学；分类思想；思维能力

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。

分类是一种重要的数学思想。初中数学学习的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。

一、何谓分类思想

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类讨论的思想贯穿于整个中学数学教学，如实数、绝对值、相反数等概念是通过分类的方式给出定义；有理数的加法、不等式的基本性质等是通过分类明确法则和具体性质；已知等腰三角形的两边长求周长，或已知直角三角形的两边长求面积等，结论的情况不唯一时，需要分类求解；已知关于x的方程有实数解，求参数a的取值范围，由于参数a的取值不同，方程可能是一次方程，也可能是二次方程，从而导致不同的结果等等，都是需要通过分类进行解决。

分类思想是中学数学的重要思想方法之一，也是每年中考中必考的思想方法，因此必须掌握并运用好分类思想。如何在课堂教学中渗透和落实分类思想，这是一个长期的工作，笔者就通过习题的讲解让学生领会和掌握分类思想做了尝试，浅析如下。

二、分类问题特征

大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决，无法根据问题情境迅速辨认问题是否分类，分类问题有何特征？请观察下列几组例题：

例1⑴已知a=3，b=5，求代数式a+b的值；

⑵已知|a|=3，b=5，求代数式a+b的值。

例2⑴已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求面积；

⑵已知直角三角形的两条边长分别为3和4，求面积。例3⑴一组数据由小到大排列依次为1、3、5、x，极差为6，求x的值；

⑵一组数据依次为1、3、5、x，极差为6，求x的值。

例4⑴解关于x的方程2x－b=0；

⑵解关于x的方程ax－b=0。

每例的第⑴小题因为条件具体明确，只有一种可能，没有第二种情况，因此答案是唯一确定的。

每例的第⑵小题虽然条件也具体明确，但是条件产生出不同的情况：如|a|=3，a的值不唯一，可以为3或－3；直角三角形的两条边长分别为3和4，此时3和4是哪两边情况不唯一，可以是两条直角边或一条直角边和斜边；一组数据依次为1、3、5、x，其中x可能是最大值，或最小值，或既不是最大值也不是最小值，情况不唯一；关于x的方程ax－b= 0中未知数x的系数a的取值情况不唯一，可以取0或不为0，当a=0时，b的取值又对解产生影响。

通过上述例题组可以看出，当已知条件出现不同的可能，或者情况不唯一的特征时，需要进行分类解答。

三、如何进行分类

当问题面临的情况不唯一时，需要进行分类，那么如何进行分类呢？请看下面一组例题：

例1下列分类是否正确：

⑴实数分为正实数和负实数；

⑵三角形分为锐角三角形和钝角三角形；

解析：⑴中实数的分类中遗漏了零，⑵中三角形按角分类遗漏了直角三角形，⑶中当a=0时，如果b≠0，则x=0；如果b=0，则x可取全体实数，默认b≠0，遗漏了b=0的情况。

这三个小题都进行了分类，但是每个问题分类都不全面，即每个问题的分类都有遗漏，不具有完备性。

例2下列分类是否正确：

（1）实数分为非正实数和非负实数；

（2）三角形分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；

解析：⑴中实数零既属于非正实数，又属于非负实数，在两类中都含有该元素，重复了。⑵中三角形按边进行分类，等边三角形是属于等腰三角形中的特殊情形，包含于等腰三角形中，因此，等边三角形既属于等腰三角形，又属于等边三角形，同样重复了。

这两个小题的分类，都出现了相同的情况，存在元素在不同的类中重复出现，不具有互斥性。

例3下列说法是否正确：

（1）三角形包含锐角三角形、等腰三角形和直角三角形；

（2）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第四象限，则k＜0或b＜0。

解析：⑴中锐角三角形和直角三角形是以角为标准进行的分类，而等腰三角形是以边为标准进行的分类，分类标准不统一，按角分类遗漏了钝角三角形，按边分类有遗漏了不等边三角形，而等腰三角形中可能有锐角三角形，也可能有直角三角形，还可能有钝角三角形，既有遗漏又有重复。⑵中k＜0或b＜0是从两个不同的标准进行答题，既有遗漏又有重复。如以k为标准进行分类，答案为k＜0，b一切实数，或k＞0且b＜0；如以b为标准进行分类，答案为b＜0，k≠0，或b≥0，k＜0。

这两个小题在分类时不是以一个标准进行，难免出现遗漏和重复的情况，因此，分类需要在一个标准下进行。

通过上述三个例题可以看出，分类需要在同一标准下进行，每个元素都需要考虑，不能有遗漏，满足分类的完备性，同时每个元素只能在一个类中，不能既属于此类又属于彼类，满足分类的互斥性。简单的说，就是在同一标准下，既没有重复又没有遗漏，即“不重不漏”。

四、整合分类结果

一个问题分类并逐类进行解答后，原问题的结果是什么？即如何把各类的答案整合到一起，请看下面一组问题：

例1一个三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是一元二次方程x2－7x+12=0的一个根，判断此三角形的形状。

解析：方程x2－7x+12=0的根是x=3，或x=4。当x=3时，三边长分别为3、4和5，此三角形是直角三角形；当x=4时，三边长分别为4、4和5，此三角形是等腰三角形。综上所述此三角形是直角三角形或等腰三角形。

例2若关于x的方程kx2－6x+9=0有实数根，求k的取值范围。

例3等腰三角形有两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为＿＿。

解析：等腰三角形的边分为腰和底边两类，当腰长为4时，三边为4、4和9，周长为17；当腰长为9时，三边为4、9和9，周长为22.由于4、4和9作为三角形的三边长与三边关系相矛盾，不符合题意，须舍去，综上所述这个三角形的周长为22.

例4方程|x|+8=3x的解是＿＿。

解析：当x≥0时，原方程为x+8=3x，解得x= 4；当x＜0时，原方程为－x+8=3x，解得x=2，这与此类的前提条件x＜0相矛盾，须舍去。综上所述方程|x|+8=3x的解是x=4。

每一类问题的答案如何整合为原题的答案，首先要明确分类问题中的每类之间的逻辑关系是“或”，因此每一类的结果之间是“或”的关系；其次从集合的运算角度知道，A∪B={x|x∈A或X∈B}，因此原题的答案应该是各类的结果进行“并”。

五、提高思维能力

初中阶段利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母参数不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性，提高学生的思维能力，这也是中考数学重点考查的原因。

On the classifcation of mathematical thinking ability

SHU Congwu

Mathematical thinking is the abstraction and generalization of mathematics knowledge and methods on high level.Assorting thought is an important kind of mathematical thinking which is based on similarities and differences in the nature of mathematics and classifies objects for study into different kinds.

Classification is on the basis of comparison,comparison is the precondition of classification,and classification is the result of comparison.Classification should have completeness and exclusiveness according to the same standard.The logical relationship between different classes is"or".Therefore,the result of the classification is"union"of set operation.By studying assorting thought,logic and rigor of students'thinking are cultivated and students'thinking ability is improved.

In junior high school mathematics,classification problems overall boils down to two categories,number and algebra,space and graphics.Therefore,assorting thought is a core thought which must be involved in senior high school entrance examination in Anhui province every year.

mathematics；assorting thought；thinking ability

G632

A

1009-9530（2014）05-0131-03

2014-07-26

束从武（1965-），男，中国科学技术大学附属中学高级教师。