略谈数学概念教学中学生思维能力的培养

刘耀兵

“概念”是反映事物本质属性的思维产物，数学教材中反映数和形本质属性的数字、图形、符号、定义、法则等都是数学概念。许多老师认为，在进行概念教学时只要简单“告诉”，让学生记住，并能运用就可以了。殊不知，这样会造成学生只会依样画葫芦地用概念而不能灵活理解、掌握概念。笔者认为，教师在教学中要让学生深刻领悟概念的内涵，注重学生思维能力的培养。

一、数形结合，开阔思维的广度

所谓思维的广度，是指某些知识纵向和横向联系的范围。在概念教学中，教师要解放学生的眼睛，鼓励学生敢于观察、善于观察，不能让学生局限于教材，学一知一，而应当引导学生善于分析、总结、比较，找出学习的规律，做到触类旁通。另一方面，儿童思维正处于以直观形象为主向抽象思维为主的过渡阶段，他们要有所感才能有所思，然后才有所知。

【案例1】《认识假分数》

（1）每个分数各表示什么意思？

（2）上面的三个分数在这条直线上用点该怎么表示呢？

（3）结合上图想一想，与刚才所认识的真分数相比，这些分数有什么不同？

我发现：

（4）像这样的分数，我们把它叫作（ ）。

（5）想一想，这些分数比1大，还是比1小？

（6）你还能任意写出几个这样的分数并在数轴上表示出来吗？试试看。

学生的概念学习总是基于对学习材料的思考而建构的，而这种数学建构活动离不开学生已有的经验背景和直观材料。案例中，教师精细地组织好感知过程，不是简单地出示几个分数，比较分子与分母的大小即得出假分数的意义，而是始终让学生依凭对图形的观察，对分子、分母的观察，对各分数与1的大小观察和比较，在对假分数的感性经验十分丰满后实现知识的自主建构。

二、动手操作，挖掘思维深度

思维的深度是指考虑问题时，要深入到客观事物的内部，抓住问题的关键、核心进行由远到近、由表及里、层层递进、步步深入的思考。陶行知认为：要解放学生的双手，就要鼓励学生敢干、善干，敢于动手，善于动手，在实践操作中获知、明理、顿悟。

【案例2】《长方形、正方形的特征》

（1）师：刚才，我们认识了长方形、正方形的特征，你能在方格纸上画出一个长方形和一个正方形吗？

生上台展示：

师：为什么画出的长方形、正方形大小不一样呢？

生1：因为是任意画的，有的大，有的小。

生2：没有规定大小，画出的图形只要是长方形或是正方形就行了。

师：看来，没有一定的条件限制，得到的长方形、正方形会不一样。

师：现在给你一条边，再试着画一画。

（2）根据下面的线段（略），分别画一个长方形和正方形。（学生在作业纸上画）

生画图，师行间巡视，收集孩子的不同作品。

师：你们画出的长方形还是有大有小，但正方形却惊人的一致，这是一种巧合吗？

生1：不是，因为题目告诉我们一条边是4厘米，那么正方形的其他三条边也都是4厘米，所以画出的正方形是一样大的。

生2：因为正方形的四条边都相等，知道一条边是4厘米，那么这个正方形就是唯一的了。

师：说得好，正方形的四条边都相等，一条边的长度就决定了正方形的大小，我们把其中一条边的长度叫作“边长”。这个正方形的边长是多少厘米？

生（齐）：4厘米。

师：同样给你一条边，长方形的大小为什么还不一样？

生1：你只告诉我们一条边，但左边还不知道。

生2：长方形是对边相等，上边和下边我们知道了，是4厘米，但还有一组对边不知道，我就画了2厘米。

生3：我也是这样想的，上边和下边是4厘米，左边和右边我画了5厘米。

师：看来，只知道一条边的长度还不能确定长方形的大小，你们认为要知道几条边才行？

生：2条。

师：2条，是这样的两条吗？（师指上下两条或左右两条）

生：不是的，应该是相邻的两条。（生迫不及待地上台指）

师：我们把这相邻两条中较长的一条叫作长方形的长，较短的叫作宽。

师：说一说，你们所画的长方形长是几厘米？宽是几厘米？

（3）师：接下来请同学们画一个长5厘米、宽2厘米的长方形和边长为3厘米的正方形。

心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”陶行知先生的“学、教、做合一”思想也认为：学生的“学”和老师的“教”是统一的，都是以“做”为中心。书本上“长”“宽”“边长”这些概念是平面的，若老师只是照本宣科，自然无法成为学生数学学习的坚固基石。上述案例中，教者别出心裁地设计了三次画图。第一次任意画，在画图中进一步认识和巩固长方形和正方形的特征，第二次根据一条边来画，学生在画的过程中惊奇地发现，所画的正方形大小一致，而长方形有大有小，进而引发冲突：为什么会这样？学生在揣度、思忖中感悟到正方形只要知道一条边就能确定它的形状和大小，而长方形却不行，需要知道两条相邻的边才能确定。此时，边长、长、宽的揭示水到渠成。最后，再让孩子画指定长度的长方形和正方形。这样的教学过程让平面的书本知识变得多维、立体，充分调动了孩子的多种感官参与学习，让感觉和思维同步，在简单的概念教学中不断提升孩子思维的深度。

三、争辩质疑，提升思维高度

思维的高度是在思维广度和深度的基础上，根据具体目的，综合一般性认识，达到两种境界，一是高度综合一般性认识，形成凝练的核心知识，二是超越一般认识，形成创新认识。

【案例3】《平移与旋转》

学生研究了缆车、小火车、旋转木马、摩天轮、滑滑梯、风车的运动方式，初步了解了平移与旋转的特点。（出示下图）endprint

师：仔细观察，边看边做动作，说说哪些是平移，哪些是旋转。

生快乐地做着动作，很快得出答案。

生1：拨珠子是平移，方向盘是旋转，时针、分针的转动是旋转。

生2：我同意他的观点，但我要补充一下，第三幅图的钟摆是平移。

生3：我反对，我认为钟摆也是旋转。

师：看来，我们对拨珠、方向盘、时针、分针的运动方式没有疑问，焦点在钟摆上。现在有两个观点，请各派一些代表上台辩论。

生1：我认为钟摆是平移，你看，旋转它要转起来，可钟摆没有转。

生2：反对，平移要沿着直线离开原来的位置，可钟摆它绕着一个点，还会回到原来的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在紧锁眉头思考着……

生1：（指着屏幕上的一段）你看，它不是在左右移动吗？

生2：平移是直直地行动，可钟摆动的时候划出的是一条弧线。

（两个人争得面红耳赤）生3：可像风车、时针等要转圈圈才是旋转啊！钟摆没有转圈。

生4：（迫不及待，手中拿着一根橡皮筋，下面挂着一个笔套）老师，我有办法反驳他的观点了。如果我们让钟摆摆动的幅度大一些，你们看（学生边说边演示），它是不是旋转？（教室里响起了热烈的掌声……）

学生获得了概念的共同本质属性后，从严格意义上来讲，还没有真正习得概念，因为概念习得的理想终点是学习者能利用所学的概念去做事，去解决问题，上述案例中，教师解放了学生的嘴巴，鼓励学生敢说、善说，敢于提问、善于提问，把探索的主动权完全交给学生，让学生自主建构“旋转与平移”的理解，这是一个有趣味的思考过程，这个过程充满了争执、矛盾、反思、改变、修正……虽然是几个同学在争论，但他们带动了所有同学深入思考，经历的这个过程，正折射出学生建立概念的艰难过程，排除背景干扰，不断完善对知识的最初建构，同时也培养了学生思维的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思维远度

思维的远度是针对某一事项引入时间概念，从长远角度去思考发展性、变异性，从而补充和修正目前的认识或结论。

【案例4】《图形的密铺》

出示正三角形、平行四边形、等腰梯形、正五边形、圆。

师：这是我们熟悉的几种平面图形，猜一猜，它们能密铺吗？谁来汇报一下你的猜测？还有不同意见吗？

师：实践出真知，让我们通过操作来进行验证。

生操作，验证。

师：从特例中形成猜想，并进行验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、猜想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如：“正三角形能密铺。”那么，

生1：任意三角形都能密铺吗？

生2：任意四边形都能密铺吗？

……

师：现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择一个，用合适的方法试着进行验证。

生验证、展示。

师：通过猜想、验证、新猜想、再验证，数学就是这样在不断猜想、质疑、验证中一路前行。

数学教育家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年，很快就忘记了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思想、研究方法……随时随地发生作用，让他们受益终生。上述案例中，教师在处理图形密铺概念时，看到显性的知识与技能的背后，暗藏着的丰富的数学思想方法。先猜想、后验证，这是一切发明之道。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”学生通过猜想、验证、归纳，得出一些图形能否密铺后，在新的数学知识和数学方法的基础上，运用类比的方法，引出新的猜想再进行验证。在这个过程中，学生获得的概念，不再是孤立的、片面的、静止的，而是联系的、全面的、发展的活知识、活概念。

郑毓信教授认为，在数学教学中要强调通过数学帮助学生学会思考，即将数学思维的学习与具体数学知识的学习很好地结合起来，用思维方法的分析带动具体知识的教学。只有将数学思维能力的培养渗透于具体的概念教学中，才能使学生真正看到数学思维的力量，也才能真正做到将数学概念“讲活”“讲懂”“讲透”。endprint

师：仔细观察，边看边做动作，说说哪些是平移，哪些是旋转。

生快乐地做着动作，很快得出答案。

生1：拨珠子是平移，方向盘是旋转，时针、分针的转动是旋转。

生2：我同意他的观点，但我要补充一下，第三幅图的钟摆是平移。

生3：我反对，我认为钟摆也是旋转。

师：看来，我们对拨珠、方向盘、时针、分针的运动方式没有疑问，焦点在钟摆上。现在有两个观点，请各派一些代表上台辩论。

生1：我认为钟摆是平移，你看，旋转它要转起来，可钟摆没有转。

生2：反对，平移要沿着直线离开原来的位置，可钟摆它绕着一个点，还会回到原来的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在紧锁眉头思考着……

生1：（指着屏幕上的一段）你看，它不是在左右移动吗？

生2：平移是直直地行动，可钟摆动的时候划出的是一条弧线。

（两个人争得面红耳赤）生3：可像风车、时针等要转圈圈才是旋转啊！钟摆没有转圈。

生4：（迫不及待，手中拿着一根橡皮筋，下面挂着一个笔套）老师，我有办法反驳他的观点了。如果我们让钟摆摆动的幅度大一些，你们看（学生边说边演示），它是不是旋转？（教室里响起了热烈的掌声……）

学生获得了概念的共同本质属性后，从严格意义上来讲，还没有真正习得概念，因为概念习得的理想终点是学习者能利用所学的概念去做事，去解决问题，上述案例中，教师解放了学生的嘴巴，鼓励学生敢说、善说，敢于提问、善于提问，把探索的主动权完全交给学生，让学生自主建构“旋转与平移”的理解，这是一个有趣味的思考过程，这个过程充满了争执、矛盾、反思、改变、修正……虽然是几个同学在争论，但他们带动了所有同学深入思考，经历的这个过程，正折射出学生建立概念的艰难过程，排除背景干扰，不断完善对知识的最初建构，同时也培养了学生思维的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思维远度

思维的远度是针对某一事项引入时间概念，从长远角度去思考发展性、变异性，从而补充和修正目前的认识或结论。

【案例4】《图形的密铺》

出示正三角形、平行四边形、等腰梯形、正五边形、圆。

师：这是我们熟悉的几种平面图形，猜一猜，它们能密铺吗？谁来汇报一下你的猜测？还有不同意见吗？

师：实践出真知，让我们通过操作来进行验证。

生操作，验证。

师：从特例中形成猜想，并进行验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、猜想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如：“正三角形能密铺。”那么，

生1：任意三角形都能密铺吗？

生2：任意四边形都能密铺吗？

……

师：现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择一个，用合适的方法试着进行验证。

生验证、展示。

师：通过猜想、验证、新猜想、再验证，数学就是这样在不断猜想、质疑、验证中一路前行。

数学教育家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年，很快就忘记了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思想、研究方法……随时随地发生作用，让他们受益终生。上述案例中，教师在处理图形密铺概念时，看到显性的知识与技能的背后，暗藏着的丰富的数学思想方法。先猜想、后验证，这是一切发明之道。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”学生通过猜想、验证、归纳，得出一些图形能否密铺后，在新的数学知识和数学方法的基础上，运用类比的方法，引出新的猜想再进行验证。在这个过程中，学生获得的概念，不再是孤立的、片面的、静止的，而是联系的、全面的、发展的活知识、活概念。

郑毓信教授认为，在数学教学中要强调通过数学帮助学生学会思考，即将数学思维的学习与具体数学知识的学习很好地结合起来，用思维方法的分析带动具体知识的教学。只有将数学思维能力的培养渗透于具体的概念教学中，才能使学生真正看到数学思维的力量，也才能真正做到将数学概念“讲活”“讲懂”“讲透”。endprint

师：仔细观察，边看边做动作，说说哪些是平移，哪些是旋转。

生快乐地做着动作，很快得出答案。

生1：拨珠子是平移，方向盘是旋转，时针、分针的转动是旋转。

生2：我同意他的观点，但我要补充一下，第三幅图的钟摆是平移。

生3：我反对，我认为钟摆也是旋转。

师：看来，我们对拨珠、方向盘、时针、分针的运动方式没有疑问，焦点在钟摆上。现在有两个观点，请各派一些代表上台辩论。

生1：我认为钟摆是平移，你看，旋转它要转起来，可钟摆没有转。

生2：反对，平移要沿着直线离开原来的位置，可钟摆它绕着一个点，还会回到原来的位置上的。

教室里有人附和，更多的人在紧锁眉头思考着……

生1：（指着屏幕上的一段）你看，它不是在左右移动吗？

生2：平移是直直地行动，可钟摆动的时候划出的是一条弧线。

（两个人争得面红耳赤）生3：可像风车、时针等要转圈圈才是旋转啊！钟摆没有转圈。

生4：（迫不及待，手中拿着一根橡皮筋，下面挂着一个笔套）老师，我有办法反驳他的观点了。如果我们让钟摆摆动的幅度大一些，你们看（学生边说边演示），它是不是旋转？（教室里响起了热烈的掌声……）

学生获得了概念的共同本质属性后，从严格意义上来讲，还没有真正习得概念，因为概念习得的理想终点是学习者能利用所学的概念去做事，去解决问题，上述案例中，教师解放了学生的嘴巴，鼓励学生敢说、善说，敢于提问、善于提问，把探索的主动权完全交给学生，让学生自主建构“旋转与平移”的理解，这是一个有趣味的思考过程，这个过程充满了争执、矛盾、反思、改变、修正……虽然是几个同学在争论，但他们带动了所有同学深入思考，经历的这个过程，正折射出学生建立概念的艰难过程，排除背景干扰，不断完善对知识的最初建构，同时也培养了学生思维的深刻性和批判性。

四、思想方法，指引思维远度

思维的远度是针对某一事项引入时间概念，从长远角度去思考发展性、变异性，从而补充和修正目前的认识或结论。

【案例4】《图形的密铺》

出示正三角形、平行四边形、等腰梯形、正五边形、圆。

师：这是我们熟悉的几种平面图形，猜一猜，它们能密铺吗？谁来汇报一下你的猜测？还有不同意见吗？

师：实践出真知，让我们通过操作来进行验证。

生操作，验证。

师：从特例中形成猜想，并进行验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、猜想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如：“正三角形能密铺。”那么，

生1：任意三角形都能密铺吗？

生2：任意四边形都能密铺吗？

……

师：现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择一个，用合适的方法试着进行验证。

生验证、展示。

师：通过猜想、验证、新猜想、再验证，数学就是这样在不断猜想、质疑、验证中一路前行。

数学教育家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年，很快就忘记了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思想、研究方法……随时随地发生作用，让他们受益终生。上述案例中，教师在处理图形密铺概念时，看到显性的知识与技能的背后，暗藏着的丰富的数学思想方法。先猜想、后验证，这是一切发明之道。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”学生通过猜想、验证、归纳，得出一些图形能否密铺后，在新的数学知识和数学方法的基础上，运用类比的方法，引出新的猜想再进行验证。在这个过程中，学生获得的概念，不再是孤立的、片面的、静止的，而是联系的、全面的、发展的活知识、活概念。

郑毓信教授认为，在数学教学中要强调通过数学帮助学生学会思考，即将数学思维的学习与具体数学知识的学习很好地结合起来，用思维方法的分析带动具体知识的教学。只有将数学思维能力的培养渗透于具体的概念教学中，才能使学生真正看到数学思维的力量，也才能真正做到将数学概念“讲活”“讲懂”“讲透”。endprint