反例教学法在工科数学教学中的运用研究

熊淑艳

摘 要 现阶段我国高校积极探索高等教育大众化的背景下的多元特色教育模式，我校近年探索“721”人才培养模式，卓越工程师培养计划等有了一定的成果。改革教学模式和教学方法以提高学生的综合素质及创新能力也是许多工作在教学一线的大学老师正在思考和研究的课题。笔者结合自己在指导青年教师授课及工科数学教学中运用反例法的一些体会，在这里与大家探讨。

关键词 工科数学 反例教学法 教学实例 实践研究

中图分类号：G424 文献标识码：A

Research on the use of counter-examples Teaching

Method in Engineering Mathematics Teaching

XIONG Shuyan

（School of Science， Hubei University of Technology， Wuhan， Hubei 430068）

Abstract To explore the background of popularization of higher education in colleges and universities in our country at present stage under the mode of multiple characteristic education， our school in recent years to explore "721" personnel training mode， excellent engineer training program with certain achievements. Reform of teaching mode and teaching method to improve the students' comprehensive quality and innovative ability is also a lot of work in a line of university teacher is teaching and research topic. The author combines his engineering in guiding young teachers teaching and mathematics teaching， some experiences of using counterexample method， to discuss with you here.

Key words instance of engineering mathematics； counter-example； teaching method； teaching practice research

0 引言

数学中的反例，是相对于数学命题而言的具体的实际的例子，通常指数学命题不成立的例子。它是反驳与纠正错误的一种方法，其实也算是一种反证法。调查发现，目前大学数学教材中很少有反例，某些數学课堂让学生感到枯燥无味的原因是太过程式化、老套及千篇一律，通常是照着教材讲完定义讲性质，然后再讲定理，最后举几个正面例子，学生表面上掌握了知识，可心中却有一些问题不知如何解决。其实一些老师也不愿意这样做，想改变教学方式及方法，但我们的教材的编写长期以来就是如此，使一些老师有“巧妇难为无米之炊”的感叹。一般当一个数学问题提出后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题，后者即为通常所说的反例。正如美国学者B.R.盖尔鲍姆等人所指出的：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧”。①这个比喻，形象地说明了“反例”在数学教学中起着重要的作用。理解反例在教学过程中的重要作用并在教学实践中运用反例教学法，应该引起广大一线数学教师的重视。

1 教学案例及体会

1.1 巧借反例指点相近易混概念迷津

极限概念教学一直以来是工科数学老师最头痛的事，很多老师以为自己在讲台上条理清晰、头头是道，但学生的反映通常是一知半解。比如无穷大量与无界量，有的老师对学生解释说：无穷大量就是绝对值无限增大的量，无界量就是你无法找到一个有界的范围可以将它包含在其中，听起来都对，可是学生却无法区分两者的不同，时间一长更容易混淆，根据定义学生一般会明白无穷大量必为无界量；但无界量不一定是无穷大量，老师通常却不怎么好解释。为此，可构造反例：函数 = 显然是（，）上的无界函数，因为对于任意正整数， 都有 = 2，使得 （） = 2>。但当→时，它并非无穷大，对于正整数， >0， = [ + 1]，使得 （） = 0<。②

1.2 恰当运用反例防止命题的错误迁移

一般学生在遇到新问题时总会用定势思维去思考解决，比如在学习“有界量与无穷小之积仍为无穷小”之后，我常常会问到：“有界量（0除外）与无穷大量之积仍为无穷大吗？”不少学生不假思索回答是。理论上的解释此时显得苍白无力，但一个生动的反例：当→0时，是无穷大，是有界量，而（） = 1。由于借用的是重要极限，学生学过之后能牢牢记住。

1.3 善于构造反例解释原函数与导函数的某种性态关联

高等数学以函数为研究对象，原函数与导函数的某种性态关联常常是学生很感兴趣的内容。比如可导奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数，导函数为奇函数时原函数为偶函数，但导函数为偶函数时原函数不一定为奇函数；同样原函数为周期函数则导函数为周期函数，但导函数为周期函数原函数不一定为周期函数。这样的结论学生很有兴趣但长久之后容易模糊不清。以（）表示原函数，（）表示导函数，只需精心构造一个反例：（） = + 1，（）= 1，这两个问题都能迎刃而解，由于反例很典型，顺势会激发学生的兴趣，既让学生记住了结论，又促使学生自己动手寻找更多类似的反例。

1.4 选择典型反例让学生深入理解数学定理及应用的局限性

在定理的教学中，选择生动实际的反例澄清错误是简洁高效的做法，特别是典型反例可用来说明定理的使用范围。促使学生在学习过程中形成严密推理、重视条件的好习惯。Rolle定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，但这三个条件都是很重要的，缺了其中一个，结论就可能不成立。反例：函數（）= ，[0，1]不满足条件（3）； 函数（） =∣∣，[，1]不满足条件（2）；均无水平切线。又如应用洛必达法则求极限时，特别要引起注意的是洛必达法则只是充分条件的法则，当导数之比的极限不存在时不能断定原来的函数之比的极限也不存在。反例：当→时，/ →1，但导数之比 + 1的极限不存在。

2 积累和选编反例

教学反例不像普通正面的例题那样随处可寻，临时构造反例也会显得困难重重，甚至由于教师的临时发挥不好会给出一个错误的例子，所以长期注意积累和选编反例是一个数学教师重视教学艺术的品格表现。一般可从如下几个方面进行思考：（1）特例法。（2）类比法。（3）性质法。③

3 放手鼓励学生构造反例，培养创新品质和求异思维

教学中通过讲解反例及解答学生的疑难促进学生深入理解概念并多角度地思考问题，学会发现问题、讨论问题、解决问题。恰当引入反例，体验反例构造的过程 ，不仅能开阔眼界、拓宽思路 、活跃思维，还能进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。教学实践表明，反例的出现可以迅速澄清学生对数学概念、定理及性质的模糊认识 ，深入透彻地理解所学内容，进而消除学生对高等数学的畏难情绪，增强学生学习数学的兴趣。但同时我们应该注意教学的主次关系，举反例重在明辩是非，反例只是作为围绕主要教学内容而进行的有效的辅助方法和手段。

4 结束语

综上所述，数学的发展与批判和反驳分不开，在构造反例的过程中学生的创造性得到了最大限度的发挥，通过反例教学法可实现教学相长，师生互促互进并使思维变得活跃、流畅、独特和富有创新性。

注释

① 廖仲春.高等数学教学中反例的作用.长沙航空职业技术学院学报，2006（2）：15-16.

② 吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造.牡丹江教育学院学报，2008（3）：87-88.

③ 曹明响.浅谈反例在高等数学教学中的作用.合肥师范学院学报，2010（3）：15-16.