三分谢尔宾斯基垫片上的标准拉普拉斯算子

王 丽

(湖州职业技术学院，浙江 湖州 313000)

0 引言

首先回顾一下三分谢尔宾斯基垫片(SG3)。把一个正三角形看作K0(包括三个顶点p1，p2，p3)，三等分三条边可得到九个小正三角形，去掉中间三个。这样重复做下去，最后得到的“极限集”就是三分谢尔宾斯基垫片。

分形集可以通过构造迭代函数系[1]而得到。SG3就可以用由六个部分组成的迭代函数系得到，每一部分都和整体相似，压缩比为这六个相似压缩映射如下

这里x，y∈R。如图1。用K来表示SG3，K就是自相似集[2]，那么

下面是本文中的一些符号:

①Vm是m－层上所有顶点的集合，m≥0;

②LA(V0)[2]是V0上所有拉普拉斯算子的集合;

③[Hm+1]Vm是指 Hm+1在 Vm上的限制;

④DF(Vm)[2]是Vm上所有狄利克雷型的集合;

⑤l(Vm)={f:Vm→R}，m≥0;

⑥Гm={Vm，Em}，这里Em是m－层上所有的边的集合，m≥0;

⑦x～ym意思是:x和y是在一个m－单元的两个点，它们由一条边连接在一起，m≥0;

图1 K0，K1和 SG3

1 三分谢尔宾斯基垫片的调和结构

在这一部分中，我们构造一个{Vm}m≥0上的r－网“自相似”相容序列((Vm，Hm)[2]。用如下方阵来定义三分谢尔宾斯基垫片上最初的拉普拉斯算子D，D∈LA(V0)，V0={p1，p2，p3}。

对任意初始D∈LA(V0)，我们都能找到一个自相似拉普拉斯算子序列Hm∈LA(Vm)，定义如下:

定义1[2](相容序列):设 Vm是一有限集，且对任意 m≥0有 Hm∈LA(Vm)。(Vm，Hm)≤(Vm+1，Hm+1)当且仅当Vm⊆Vm+1和[Hm+1]Vm=Hm成立，那么对所有 m≥0 有(Vm，Hm)≤(Vm+1，Hm+1)，这时{(Vm，Hm)}m≥0称为一个相容序列。

定义2[2](调和结构):当且仅当{(Vm，Hm)}m≥0是 r－ 网的一个相容序列时是一个调和结构。而且，当对所有i∈S有0＜ri＜1时，调和结构)称为是正则的。

性质1:若D∈LA(V0)，且，对所有 i∈S 有 ri＞0，由下式来定义ε(m)∈DF(Vm)。

这里 u，v∈l(Vm)，w=w1w2…wm∈Wm，有 rw=rw1…rwm，且 εD= ε0，还有 Hm∈LA(Vm)。记 ε(m)= εHm。

定义εm= ε(m)，这里 εm是图能[4]。

而且 ε(m+1)(u，v)

因此，有

这里u，v∈l(Vm)，我们让ε是图能εm的极限。

定理1:对w∈Wm，由Rwf=f·Fw来定义Rw:l(Vm)→l(V0)。那么对所有m≥0，有

证明:注意到 εHm(u，v)是一个内积，因此由内积定义有 εHm(u，v)= －uTHmv，又由(1)ε(m)(u，v)

这里Hm是所有m≥0的Vm上的离散拉普拉斯算子序列。

2 三分谢尔宾斯基垫片上的标准拉普拉斯算子

在这一部分，在自相似空间SG3上通过弱公式化定义拉普拉斯算子△。为了做到这一点需要两个要素:双线性能ε(u，v)[4]和一个正则的概率测度μ[2]。在本文中将μ看作是标准自相似测度，用△μ来表示，它是依赖于测度μ，当μ是标准测度时称△是标准拉普拉斯算子。

定义3[4]设u∈domε且f是连续的。若对所有v∈dom0ε，有下式

那么u∈dom△μ且有△μu=f，(回忆下标0的意思是:v在边界上的取值为0)。

这个定义是弱公式化。接下来将证明有一个与它等价的逐点公式。从下面这个定理来推导逐点公式。

定理2 若h是调和的，那么h∈dom△μ和△μh=0成立。相反，若u∈dom△μ和△μu=0成立，那么u是调和的。

图拉普拉斯算子△m(m≥0)定义在相应的图Γm(它包含顶点和顶点之间的连线)上:

有一个简单的方法从弱公式化得到逐点公式，就是让弱公式化(定义3)中的v=ψ(m)x(注意到:ψ(m)x那么由和 εm(u)=r－mEm(u)(详细看[3])，再综合(6)式，可得中任意变换 x，都有这样式(5)就变成

定理3 设u∈dom△μ，那么逐点公式(8)成立，且极限一致遍及V*V0。相反，假设u是连续函数且(8)式的右边一致收敛到V*V0上的一个连续函数。那么，u∈dom△μ和(8)式成立。

当x∈V0，那么逐点公式就是

这里{xm}是一序列，其中xm∈VmV0且mli→m xm=x。

在 K=SG3中，定义，Vm，x={y∈Vm:y≠x，存在 w∈Wm使得 x，y∈Fw(V0)，这里 w=|m|，m≥0}，A={x∈Vm:x=Fw(p1)∩Fw(p2)∩Fw(p3)}，那么

所以有

顶点x为任意非边界点，拉普拉斯算子△μ称为三分谢尔宾斯基垫片上的标准拉普拉斯算子。

[1]肯尼思·法尔科内.分形几何中的技巧[M].曾文曲，译.沈阳:东北大学出版社，2005.

[2]Jun Kigami.Analysis on fractals[M].Beijing:Mechanical Industry Press，2004.

[3]FENG Zhi－ gang，WANG Li.Harmonic extension on the level－3 Sierpinski Gasket[J].International Journal of Nonliner Science，2010 ，10(3):308 －312.

[4]Robert S.Strichartz.Differential Equations on Fractals[M].New Jersey:Princeton University Press.2006.