关于定积分元素分析法的一种新理解

侯国亮

(长春师范大学数学学院，吉林长春 130032)

关于定积分元素分析法的一种新理解

侯国亮

(长春师范大学数学学院，吉林长春 130032)

本文通过引入线矩形、线扇形和面圆柱体等微分概念，给出了对定积分元素分析法更本质、更通俗的理解，突破了“定积分在几何学上的应用”这一教学难点。

线矩形；线扇形；面圆柱体；元素分析法；定积分

在众多《高等数学》教材中有关定积分应用知识的介绍，通常是先采用元素分析法把要解决的实际问题抽象成一个具体函数的定积分，然后再用计算定积分的相关知识进行求解，其中元素分析法是定积分应用教学的重点，元素分析法是教学的难点：一是教师理解但表述不清，讲不彻底，总感觉元素分析法是只可意会不可言传的一个知识点；二是学生不理解，觉得不可思议.针对这一情况，笔者进行了教学改进，从学生反馈回来的信息来看，可以取得较好的教学效果.

首先给出几个常用的公理和定理.

公理1 点构成线，线构成面，面构成体.

定理1 单独一个点的长度为零，构成线(段)的点的长度不为零.

定理2 单独一条线(段)的面积为零，构成平面(区域)的线(段)的面积不为零.

定理3 单独一个平面(区域)的体积为零，构成体的平面(区域)的体积不为零.

事实上，定理1、定理2、定理3的正确性是很显然的，比如定理2，假如构成一个具体平面图形的线段的面积为零，那么该平面图形的面积也应该为零，这显然是不可能的事情.

1 求平面直角坐标系中不规则图形的面积

图1 曲边梯形1

已知由曲线y=f1(x)、y=f2(x)及直线x=a,x=b(a

对于这个公式的得出，也即对元素分析法的理解，在课堂上可以这样阐述：依据公理1，把该图形看成是由区间[a,b]上垂直于x轴介于曲线y=f2(x)与y=f1(x)之间的所有线段构成，那么根据定理2，该平面图形的面积就应该等于这些线段的面积之和.

当然，也可以把该图形看成是由其他形式的无数多条线段构成，但在选择图形是由哪些具体线段构成时需要注意两点：一是构成图形的线段不能重复也不能遗漏，否则，这些线段的面积和就不等于图形的面积；二是构成图形的所有线段的面积要能用同一个变量的微分关系式表出，比如，区间[a,b]上垂直于x轴介于曲线y=f2(x)与y=f1(x)之间的所有线段的面积都可以用[f2(x0)-f1(x0)]dx，x0∈[a,b]表示，所以通常情况是把平面直角坐标系里的图形看成是由某指定区间上垂直于x轴，或y轴的线段构成.

图2 曲边梯形2

对于后一种情形，可参考如下例子：已知由曲线x=ψ1(y)、x=ψ2(y)及直线y=c，y=d(c

最后，需要指出的是，把一个平面图形看成是由垂直于轴还是轴的线段构成的关键取决于所给图形的具体形状，若是图1所示的形状，则选择垂直于x轴；若是图2所示的形状，则选择垂直于y轴. 如果一个图形既可以看成是图1所示的形状，又可以看成是图2所示的形状，则以计算方便为选择准则.

图3 曲边扇形

2 求平面极坐标系中不规则图形的面积

设由曲线ρ=φ(θ)及射线θ=α，θ=β(α<β)围成一图形，称之为曲边扇形(图3)，其中φ(θ)在[α，β]上连续，且φ(θ)≥0. 现在要计算它的面积.

首先，仿照问题1中线矩形的定义，给出线扇形的定义及面积计算公式.

定义1 把扇形当圆心角趋向于零时的极限形式称为线扇形.

图4 旋转体1

3 求三维直角坐标系中旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴. 例如，圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体. 所以它们都是旋转体.

图5 旋转体2

根据公理1，可以把该立体看成是由区间[a,b]上垂直于x轴、以函数值f(x0)，x0∈[a,b]为半径的所有圆平面构成，再由定理3可得其体积等于这些圆平面的体积和，因为这时的圆平面是圆柱体当高度趋向于零时的极限形式，所以这些圆平面的体积应该按照圆柱体的体积计算公式来进行计算，即为底面积乘高，所以位于点处的圆平面(图4)的体积为π[f(x0)]2dx，其中dx为它的高，进而可得该旋转体的体积为π[f(x0)]2dx. 另外，为了以后叙述的方便，把这些构成旋转体的圆平面称之为面圆柱体.

4 结语

基于定积分的元素分析法所作的上述解释具有普遍实用性，任意一个确定的立体，都可以看成是该立体上垂直于一定轴的一组截平面构成，由于构成该立体的这组截平面不一定是圆形，所以对应于不同的情况，就会有不同的称呼，比如面椭圆柱体、面三棱柱体等.

[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:223.

A New Way to Comprehend the Element Analysis Method of Definite Integral

HOU Guo-liang

(School of Mathematics, Changchun Normal University, Changchun Jilin 130032, China)

In this paper, we offer a more natural and popular way to comprehend the element analysis method of definite integral by defining some differential concepts, such as linear rectangle, linear sector, plane cylinder and so on, so that we make a breakthrough on teaching difficulty about the application of definite integral to geometry.

linear rectangle；linear sector；plane cylinder；element analysis method；definite integral

2014-05-08

侯国亮(1981- )，男，河南安阳人，长春师范大学数学学院讲师，硕士，从事基础数学研究。

O172.2

A

2095-7602(2014)04-0017-03