对一道物理高考题错解分析及创新解答

金旭统 黄国龙

[浙江省宁波镇海中学高二(1) 浙江 宁波 315200] (浙江省宁波镇海中学 浙江 宁波 315200)

1 物理高考原题

【题目】(2013年高考浙江理综卷第25题)为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨.潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如图1所示.在直线通道内充满电阻率ρ1=0.2 Ω·m的海水，通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空间内，存在由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B=6.4 T，方向垂直通道侧面向外.磁场区域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金属板M,N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M,大小恒为I=1.0×103A的电流，设电流只存在于磁场区域.不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρ2=1.0×103kg/m3.

(1)、(2)略.

(3)当潜艇以恒定速度v0=30 m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度vr=34 m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小.

图1

2 常见的错误解答

为了突出重点，简化讨论，本文中只讨论一个通道推进器所消耗的电功率.

笔者发现较多学生和教师解答这个问题时存在如下常见错误解答.

错解1：在地面参照系中，安培力推动潜艇功率为P电1，满足

P电1=BIcv0

(1)

从管道右侧出来的海水相对地面的速度为vd=vr-v0=4 m/s，Δt时间内有质量为m的水相对地面由静止加速到速度为vd.令右端出水口面积为S3，安培力做功使水加速消耗电功率为P电2，满足

(2)

(3)

m=ρS3vrΔt

(4)

电阻上消耗的热功率为

Pr=I2R

(5)

(6)

由式(1)～(6)，结合S3=0.12 m2，解得Pr=5×105W，P电1=5.76×104W，P电2=3.264×104W，消耗的总电功率为

P电=P1r+P电1+P电2=5.902 4×105W

(7)

m=ρS3vrΔt

(8)

由式(7)、(8)，结合S3=0.12 m2解得

消耗总电功率为

P电=Pr+P电2′=1.022 24×106W

3 错解原因分析

二种错解的共同错因是没有考虑到使水加速的因素除了安培力做功外，潜艇通道左右端的水对进入通道的水也要做功.这一点我们可以从以下特殊事例得到证实.

假若没有安培力，潜艇通道向左运动，根据连续性原理(v1S1=v3S3)可知流出右端管道口S3水流速度v3比流入左端通道口S1水流速度v1要大，主要是由于通道两端水对进入管道的水要做功，从而导致这部分水动能增加.在本问题中，由于安培力对水做功和通道左右的水对流入通道的水共同做功使这部分水动能增加.不能认为安培力做功所消耗的电能等于流进通道部分水的动能增量.下面通过在地面和潜艇参照系中分析、计算安培力做功所消耗的电能.

3.1 潜艇参照系中分析

图2

如图2所示，在潜艇参照系中，水相对潜艇在3个横截面上的速度分别为v1r=30 m/s,v2r=v3r=34 m/s，压强分别为p1r,p2r,p3r.

根据伯努利方程和连续性原理得p1r，p2r的关系为

(9)

v1rS1=v2rS2=v3rS3

(10)

由式(9)、(10)，结合S2=S3=0.12 m2，解得

v2r=34 m/sp1r=p2r+1.28×105Pa

根据直道内水流匀速运动得

p2rS2+BIc=p3rS3

(11)

由式(11)解得

p2r=p3r-1.6×104Pa

p1r=p3r+1.12×105Pa

(12)

(13)

Δm=ρS3v3rΔt

(14)

由式(12)～(14)得

消耗的总电功率为

3.2 地面参照系中分析

图3

如图3所示，在地面参照系中，令在潜艇通道中三个横截面处水流的速度分别为v1,v2,v3，压强分别为p1,p2,p3，潜水艇相对地面速度为v0=v1r=30 m/s.根据相对性原理可知3个截面处的压强p1,p2,p3关系不变，即

p1=p2+1.28×105Pa

p2=p3-1.6×104Pa

p1=p3+1.12×105Pa

通道两端水对流进通道中水所做功为

W外=p1S1v1Δt-p3S3vdΔt

(15)

由于v1=0，因而式(15)变为

W外=-p3S3vdΔt

(16)

其中vd=4 m/s.通过通道中水的动能增量为

(17)

其中vr=v3r=34 m/s.令安培力做功消耗电功率为P安，水对潜艇阻力为f，方向与潜艇速度v0方向相反(向右).对潜艇和流进通道中水的整体运用功能关系，列出

P安Δt+W外-fv0Δt=ΔEk

(18)

对潜艇和流进通道中的水整体运用动量定理，列出

p1S1Δt-p3S3Δt+fΔt=Δmvd

(19)

由式(16)～(19)解得

ρS3vrvdv0-p1S1v0

(20)

由式(20)结合v0S1=vrS3,v0+vd=vr解得

ρS3vrvdv0

(21)

由式(21)和相关数据解得P安=6.528×104W，消耗的总电功率P电=5.652 8×105W，结果与潜艇参照系所得结果相同，符合相对性原理.

4 创新解答和对高考标准答案中解法的质疑

4.1 创新解法

创新解法1：地面参照系功率法

在地面参照系中，根据连续性原理v2S2=v3S3，水在长方体管通道内应做速度为vd=4 m/s匀速运动.安培力做功消耗电功率即为安培力对流进通道中的水所做功功率和反作用力对潜艇做功功率之和，满足

P安=BIcv0+BIcvd

(22)

由式(22)，结合v0=30 m/s,vd=4 m/s解得

P安=6.528×104W

消耗的总电功率为

P电=5.6528×105W

创新解法2：潜艇参照系功率法

潜艇参照系中，根据连续性原理，水在长方体管道内应做速度为vr=34 m/s的匀速运动，安培力对流进管道内水所做功消耗的电功率满足

P安=BIcvr

(23)

由式(23)解得P安=6.528×104W，消耗的总电功率为P电=5.6528×105W，结果与地面参照系解答结果相同，符合相对性原理.

4.2 对高考标准答案解法的质疑

标准答案中，求解电阻上消耗热功率和安培力推动潜艇做功消耗的电功率的方法是正确的，但求解安培力推动水做功消耗的电功率P电2的方法存在问题.标准答案中具体求解如下

(24)

(25)

m=ρS3vdΔt

(26)

解得

P电2=3.84×103W

P电=Pr+P电1+P电2=5.614 4×105W

根据标准答案中上述解法，可以理解为长方体通道中水受到合外力为安培力(要求p2=p3)，长方体通道中水在安培力作用下向右由静止开始做匀加速运动.按照这个模型，运用功率法可以求得安培力对长方体通道中水做功的功率为

(27)

由式(27)得P电2=3.84×103W，这个结果与标准答案相同.然而，按照这个模型，长方体通道中水流速度与横截面积之积(vS)随着速度变大而变大，与连续性原理矛盾.因而，笔者认为，根据连续性原理，水流运动比较合理的模型应是，在斜通道中，水流速度随着横截面积变小而变大；在长方体通道中，由于横截面积不变，水流速度也不变，水做匀速运动.此情形下，安培力对长方体通道中水做功消耗电功率满足

P电2Δt=BIcvdΔt

(28)

由式(28)解得P电2=7.68×103W，消耗的总电功率为P电=Pr+P电1+P电2=5.652 8×105W.