小样本下改进的PWM方法及其在导弹精度评定中的应用

吕鹏，袁永生，相荣霞，戴启璠

(1.河海大学理学院，南京 210098;2.江苏省灌溉总渠管理处，江苏淮安 223200)

小样本下改进的PWM方法及其在导弹精度评定中的应用

吕鹏1，袁永生1，相荣霞1，戴启璠2

(1.河海大学理学院，南京 210098;2.江苏省灌溉总渠管理处，江苏淮安 223200)

针对运用经典统计方法对武器系统试验的小样本数据进行分析时存在的不足，基于小样本特征，研究了改进的PWM区间估计方法。通过数据模拟，分别在正态分布、泊松分布以及指数分布下比较了经典方法、百分位法以及改进的PWM方法的优良性，得出改进的PWM方法具有更高的精度，并将该方法应用到导弹精度评定当中。

区间估计;Bootstrap方法;改进的PWM方法;导弹精度评定

一般武器系统研制周期比较长，试验费用比较昂贵，且属于消耗性试验，得到的试验数据是有限的。经典统计分析方法是建立在适量样本基础上的，在小样本情形下，样本均值易受异常点的影响，导致整个置信区间的稳健性受到影响，故精度不高。因此利用经典方法进行武器系统的试验分析会存在不足。

目前，解决小样本问题的方法主要有Bootstrap方法和Bayes方法［1－2］。其中，Bootstrap方法的基本思想都是通过再抽样将小样本转化成大样本;Bayes方法主要是有效地利用先验信息。

PWM(投影深度加权平均)方法［3］是一种不依赖于总体分布的参数区间估计方法，通过合理引进深度函数和权函数，抑制异常点的影响。相同置信水平下，该方法得到的置信区间更短，但是PWM方法在小样本下会出现溢出。

本文结合小样本数据，引进一种新的导弹精度评定方法——改进的PWM方法［4］。经实测数据验证，该方法具有较高的精度，能较好地应用到武器系统试验分析中。由于该方法不依赖于总体分布，因此也可应用到其他工程的评定中(如产品的可靠性评估等)。

1 改进的PWM方法

小样本下，改进的PWM方法的主要思想是借助Bootstrap抽样方法［5］，将小样本转化成大样本，再合理引进深度函数［6－8］和权函数［9－10］来抑制异常点的影响，通过百分位方法截取置信区间。在介绍改进的PWM方法之前，先介绍一下Bootstrap抽样方法［11－14］。

设原始样本为x1，x2，…，xn，Bootstrap抽样方法有2种:

方法1

1)利用计算机在区间(0，M)(M＞＞n)内产生具有独立性、满周期性和均匀性的随机整数η，n为所观测样本个数;

2)令j=η%n，j为n整除η得到的余数;

3)令i=j+1，x*=x(i)，其中x(i)是原始样本x1，x2，…，xn按从小到大的排序后得到的第i个统计量，则x*即为所需的随机样本;

4)重复以上步骤n次，就得到一组再抽样样本x*=(x*1，x*2，…，x*n)。

方法2

1)利用计算机在区间(0，1)内产生随机数η;

2)令β=(n－1)η，i=⌊β」+ 1;

3)令x*=x(i)+(β－i+1)(x(i+1)－x(i))，其中x(i)是原始样本x1，x2，…，xn按从小到大的排序后得到的第i个统计量，则x*即为所需的随机样本;

通过数据模拟得到，第2种抽样方法更接近于原总体分布，故本文采用第2种Bootstrap抽样方法。文献［13］证实了这种抽样方法的可行性。

设样本为x=(x1，x2，…，xn)，改进的PWM方法具体步骤如下:

其中m是{PD(xi，x)，(i=1，2，…，n)}的中位数。s≥1且k＞0是一个固定的正常数，它可以调节想要区分的具有不同投影深度的点的多少。本文中令s=2，k=3。

4)定义深度加权平均PWM

可以证明，PWM具有渐进正态性，并且PWM(x)→μ(n→∞)。

5)利用Bootstrap方法对原始样本抽样，得到M个样本，对每一个样本都按照以上4个步骤得到M个PWM值:PWM1，PWM2，…，PWMM，对这M个PWM值由小到大排序，得到PWM(1)，PWM(2)，…，PWM(M)，按照百分位法得到置信水平为1－α的置信区间是(PWM(Mα/2」+1)，PWM1－Mα/2」)。

2 通过数据模拟比较改进的PWM方法的优良性

本文分别取正态总体N(0，1)，泊松分布总体P(4)及指数分布总体Exp(1/4)。运用Matlab软件进行模拟抽样，令样本数目分别为7，10和20，并且令Bootstrap抽样次数M为500。程序运行一次得到的结果整理见表1。通过表1可以看出:在同一总体分布下，百分位方法比经典方法得到的置信区间长度更短;而相比之下，改进的PWM方法更好，得到的置信区间平均长度最短。

3 改进的PWM方法在导弹精度评定中的应用

精度评定［17－18］(包括射程评估、CEP评估、设计密集度评估等)是武器系统装备实验的重要内容，近年来，Bootstrap方法已应用到该领域。目前，我国战略导弹的定型试验仅为3～5发，在此小样本下，很多方法都不适用。本文应用改进的PWM方法与传统的方法及文献［17］中的相关方法进行优良性的比较。

表1 3种方法下正态N(0，1)、泊松P(4)、指数Exp(1/4)分布的置信水平为95%的随机模拟500次置信区间的平均长度

某型号导弹最大射程真实试验数据为5 510，5 532，5 528，由正态分布N(5 520，102)产生。在改进前的型号做过的8次最远射程试验数据分别是:5 519，5 498，5 533，5 532，5 514，5 520，5 518和5 512，由正态分布N(5 515，122)产生，单位为公里。Bootstrap抽样1 000次，计算射程均值的80%置信区间，比较结果见表2。

通过表2可以看出:上述5种区间估计方法均包含了真值，在相同置信水平下，本文中改进的PWM方法得到的导弹精度评定结果精度更高;在不考虑验前信息和考虑验前信息2种情况下，得到的置信区间长度分别最短;考虑验前信息的数Bootstrap方法计算出的置信区间长度已经远远小于经典方法和不考虑验前信息的Bootstrap方法;而在改进的PWM方法下，考虑验前信息情形下得到的置信区间远远小于其他4种方法得到的置信区间。因此，改进的PWM方法可以很好地应用到武器系统装备实验的精度评定当中。

表2 导弹射程精度评定结果

4 结束语

本文通过改进PWM区间估计方法，比较了正态分布、泊松分布以及指数分布下的均值区间估计方法的优良性。通过计算机数据模拟以及在导弹射程精度评定中的应用得出结论:改进的PWM方法具有更高的精度;相同置信水平下得到的置信区间的平均长度更短;改进的PWM方法不依赖于总体分布。因此，该方法能很好地应用到武器系统装备评定等其他小样本估计问题的工程领域中。

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(责任编辑 刘舸)

Improved PWM Method under Small Sample and Its Application on Missile Precision Evaluation

LYU Peng1，YUAN Yong－sheng1，XIANG Rong－xia1，DAI Qi－pan2
(1.College of Science，Hohai University，Nanjing 210098，China;
2.Administration Office of Irrigation in Jiangsu Province，Huai’an 223200，China)

It is inadequate to analyze the data of small sample with classical statistical method in experiment of weapon system.Based on the characteristics of small sample，this paper firstly introduces the improved PWM interval estimation methods reasonably，then compared the classical method，bootstrap percentile CI method and the improved PWM method through data simulation respectively in normal distribution，Poisson distribution and exponential distribution.The result shows that the improved PWM method is more efficient.Finally，we applies this method to the missile precision evaluation.

interval estimation;Bootstrap method;improved PWM method;missile precision evaluation

O212

A

1674－8425(2014)05－0139－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.05.026

2013－10－22

江苏省水利科技创新基金资助项目(2011059);河海大学自然科学基金资助项目(2009426311)

吕鹏(1990—)，男，山东青岛人，硕士研究生，主要从事小样本理论及其应用研究。

吕鹏，袁永生，相荣霞，等.小样本下改进的PWM方法及其在导弹精度评定中的应用［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014(5):139－142.

format:LYU Peng，YUAN Yong－sheng，XIANG Rong－xia，et al.Improved PWM Method under Small Sample and Its Application on Missile Precision Evaluation［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(5):139－142.