考虑需求替代的部分短缺量拖后采购模型

秦诗月，陈淮莉

(上海海事大学物流研究中心，上海 201306)

考虑需求替代的部分短缺量拖后采购模型

秦诗月，陈淮莉

(上海海事大学物流研究中心，上海 201306)

研究了缺货情形下价格折扣的部分短缺量拖后以及客户需求替代对最优采购量及折扣定价的影响。分别对单一产品和存在需求替代的多产品情形建立了拖后短缺量与折扣价格成正线性相关的多周期批量订货的混合整数规划模型。使用优化软件对模型进行求解，得出优惠折扣带来的短缺量拖后有利于避免部分客户需求流失，从而增加利润。验证了该模型的有效性和科学性。

部分短缺量拖后;需求替代;多周期;动态价格折扣

现实生活中，当零售商产品缺货时，部分顾客会选择购买同类型的其他产品，另外部分客户会放弃购买，除非得到足够的补偿，只有极少数的客户愿意等待。电子、软件等产品更新速度较快，存在一定的生命周期，新产品的出现容易使顾客转移或减少，顾客因为缺货而放弃购买带来的需求流失会给零售商带来较大的损失。目前已有不少文章针对短缺量拖后问题进行了相关研究。Ding等［1］提出零售商可以从需求管理的角度出发，利用折扣定价来引导需求，补偿顾客的等待成本，提高顾客保留需求的积极性。这样可以减少需求流失以及部分库存持有成本，从而获得最大利润，同时减少顾客忠诚度的流失，实现客户与零售商的双赢。Yücel等［2］则发现同类型的多种产品之间会存在不同程度的替代关系，缺货时部分对时间更为敏感的客户会选择同类型其他产品替代该产品以满足需求。因此，如何在零售商缺货情形下设置合理的价格折扣及每次批量采购的数量有重要的指导意义。

目前相关的文献多集中在对短缺量拖后以及需求替代的单方面研究。例如，皮星等［3］提出一种易腐品的供应商管理库存模型，考虑了需求指数的时变情况。何伟等［4］构造了一个与销售价和等待时间相关的短缺量拖后率的促销商品库存模型。赵林等［5］研究了允许短缺部分拖后条件下变质性物品的联合定价与订货模型。但上述研究均未考虑客户驱动的需求替代影响。对于消费者的需求替代行为，官振中等［6］讨论了在库存驱动的两种产品相互替代情形下零售商的定价策略。陈淮莉等［7］研究了通过合理的折扣对即将到期的多周期生鲜产品进行打折出售并确定订货批量以确保零售商获取最大利润的模型。刘晓峰等［8］讨论面对策略型消费者时，厂商如何在确定性和不确定性需求情形下确定自己的库存和制定相应的价格。徐贤浩等［9］考虑策略消费者和非策略消费者并存的细分市场，研究限量策略实施的条件。

本文基于Ding［1］的短缺拖后量与折扣价格呈一定的相关关系的思想，借鉴Yücel等［2］从需求和供给角度建立的产品均衡公式，将需求细分为原始需求和替代需求，并对一组随机的需求分布进行模拟;基于陈淮莉等［7］提出的模型的构造思想，综合考虑了短缺量拖后以及顾客驱动的需求替代2个因素，分别建立了单产品的短缺量拖后模型和存在库存驱动的替代关系的多产品短缺量拖后模型。同时，本文假设拖后短缺量与零售商提供的价格折扣成正比，从而求得多周期下产品的最优折扣以及批量采购量。

1 模型建立

本文主要研究在消费者需求替代行为下，考虑部分短缺量拖后的动态折扣定价策略时的批量订货问题。数学规划模型以零售商利润最大化为目标，假定接受拖后的需求与价格折扣成正相关关系，在服从随机分布的市场需求数据下确定商品的最优采购数量，研究最优折扣对零售商的采购及折扣定价的影响。模型主要分为单一产品和具有替代关系的多产品2种情形下的批量订货模型。

1.1 模型描述

库存系统采用周期性检查并及时补充的策略。假设系统运行一个计划期内有时刻0到时刻n的n个连续的周期。为简化问题，模型假定零售商在每个周期的期初瞬时补货而不考虑订货提前期因素。当产品缺货时，零售商提供价格折扣优惠，从而会有部分对价格更为敏感的顾客接受取货时间上的一定延迟而出现部分短缺量拖后。假设第t周期出现缺货状况时，接受折扣价格的客户需求会在t+1周期被满足，每一期的订货量和折扣价格是决策变量。

1.2 单一产品的批量订货模型

零售商在每个周期期初订货，即在t周期的t－1时刻瞬时订货，t=1，2，…，n。当t=1时，时刻0到时刻1为第1周期。对于每一周期市场的随机需求量，本文模型假设服从泊松分布［7］。每个周期t的订货量Qt及产品的折扣率Yt为决策变量。为保证模型的有效性，设定B0=0，I0=0，Bn=0。单一产品订货批量模型如表1所示。

表1 单一产品批量订货模型的集合与变量

模型的目标函数为零售商一个计划期内的最大利润，主要为收益减去订货成本、缺货损失成本以及库存成本。假设每个周期零售商面对的外部随机市场需求服从泊松分布［7］，具体实验数据由计算机根据泊松分布生成进行运算。约束(1)表示收益，包括当期产品按正常价格出售的销售收益和用于满足短缺拖后量的销售收益。约束(2)为采购成本。约束(3)为客户流失成本，即需求流失的惩罚成本。约束(4)为库存持有成本。约束(5)从产品市场的需求角度将每期市场需求细分为可满足原始需求量xot、缺货情形下的拖后短缺量Bt以及放弃购买量St。约束(6)表示当产品缺货时，部分客户会放弃购买，部分对价格更为敏感的客户会选择优惠价格延期购买。约束(7)从产品的供给平衡方面分析将每期的采购量细分为上一期的延期购买量Bt和当期可满足需求量xot(即被满足的当期需求)两部分。约束(8)为延期购买量约束。约束(9)为当期可满足需求量约束。约束(10)给出了零售商的最大库存控制。约束(11)为供应商采购量约束。约束(12)表示每期采购量要优先满足上一期的延期购买量。约束(13)表明满足拖后短缺量需求的优惠价格不得低于采购成本。约束(15)为变量约束。约束(16)表示拖后短缺量期望值与折扣率之间的函数关系，其中拖后短缺量折扣率系数b为大于0的常数，当折扣力度越大(即Y越大)时，拖后短缺量越大。

1.3 多产品的批量订货模型

现实中零售商每一期需要订购多种同质性产品。从市场需求角度来说，顾客可选择性增多，但客户存在的替代需求行为给零售商的订货和定价决策的制定增加了难度，因而考虑零售商多产品的订货批量和定价问题是必要的。与单一产品的情况类似，为实现最低程度的客户流失以获取最大利润，零售商在每个周期的期初订货，优先弥补上一期的拖后短缺量。但不同的是，当本期出现缺货时，顾客可选择商家提供的折扣优惠延迟购买产品，也可能会选择购买其他同质品。在多产品模型中，产品维度表示同种系列的多种产品。假设总的需求量均衡，各种产品的市场随机需求均服从泊松分布，同种系列的不同产品之间存在替代关系。此外，由于本文侧重研究缺货情形下基于客户的替代选择以及短缺量拖后存在时如何制定最优采购量及定价使得目标利润最大化，所以相对其他成本来说较低的单位产品的库存持有成本在模型中暂不考虑。为保证模型的有效性，约束:Bi，n= 0;Bi，0= 0;Ii，0=0。第t期产品i的订货量Qi，t及第t期产品i的折扣Yi，t为决策变量。多产品订货批量模型如表2所示。

表2 多产品批量订货模型的集合与变量

如上述模型所述，目标函数同样表示为零售商运营一个计划期内多个周期的最大利润，即收益减去采购成本、缺货损失成本。模型考虑了存在替代关系的多种产品，假设同质的多产品在市场的总需求是固定的，且每种产品在每个周期内的随机市场需求服从泊松分布。约束(17)将总收益分为当期产品按正常价格出售的销售收益、用于满足短缺拖后量的销售收益以及某种产品用于替代其他缺货产品需求而带来的额外收益。约束(18)和(19)表示采购成本及客户流失成本。约束(20)定义缺货量的构成。约束(21)从供给角度描述了产品的均衡，即期末库存与采购量之和是用于满足上一期的拖后量加上本期的第一原始需求量以及被某些客户用于替代其他缺货产品的需求，出现剩余时会有期末库存。约束(22)从需求角度描述了产品的市场需求分别由可满足需求量、缺货情形下的放弃购买量及接受优惠价格的拖后短缺量、被其他产品替代从而满足需求的数量几部分组成。约束(23)表示第t期产品i的被替代量与延迟量之和不超过产品i的当期缺货量。约束(24)表示当产品出现剩余时才可用于替代其他产品。约束(25)～(29)的意义同约束(9)～(13)。同样，约束(30)表示拖后短缺量期望值与折扣率之间的函数关系，即折扣价和能够售出量的期望值之间存在的函数关系，其中bi为大于零的常数，E(Bi，t)为打折后能够出售量的期望值。约束(31)表明只有存在替代关系的产品之间才能够替代。(34)为变量约束。

2 算例分析

为了验证模型的有效性，本文使用优化软件LINGO9.0针对以上提出的单一产品和多产品的两个模型进行算例求解和数据分析。对于单产品模型，假设随机的市场需求服从均值为100的泊松分布，且产量服从均值为100的均匀分布。为反映市场趋势，本文选取了10个代表性周期，主要参数值如表3所示。在多产品模型中，本文主要考虑了5种可相互替代的同质性产品，并假定5种产品的市场需求服从均值分别为80，120，80，120和100的泊松分布，产品供给量服从均值分别为90，120，90，110，100的均匀分布。同样选取具有代表性的10个周期，主要参数值如表4所示。

表3 单一产品模型的主要参数设值

表5为单一产品模型的计算结果。分别列举了在假设前提下程序运行的每一期的订货量Q(t)、拖后短缺商品的折扣率Y(t)以及拖后短缺量B(t)的计算结果。表6为多产品模型中5种产品各自的订货量、折扣率以及拖后短缺量的计算结果。

表4 多产品模型的主要参数设值

表5 单一产品模型的计算结果

表6 多产品模型的计算结果

图1对比了单产品模型中存在短缺量拖后与否对放弃购买量即零售商流失的客户需求的变化趋势的影响。通过对比发现:存在部分短缺量拖后时会挽留部分客户需求流失从而使利润增加。在对多阶段订货问题的研究中，当出现缺货情形时，顾客只能选择放弃购买或是选择同类型的其他产品替代，零售商较少考虑短缺量拖后，从而导致大量客户流失，造成无形损失(在此体现为放弃购买惩罚成本增多)。图1中的期望利润的比较较为明显地证明了部分短缺量拖后的有效性及科学性。图2对比了在最大采购能力及库存能力不变的情况下，随着平均需求量的增加存在的短缺量拖后与否对利润的影响。因为模型中设置了最大供应商供应能力SP及库存能力g，所以当市场的平均需求量不断增多时，本案例中为满足流失需求增多导致惩罚成本增大使得图中的总利润曲线呈下降趋势。图3给出了单产品模型中随着短缺量拖后系数b的变化，预期利润、放弃购买惩罚成本以及短缺量拖后的商品收益的变化。对于同样的折扣优惠，拖后短缺量越大，流失的客户需求越小，从而使利润增多。因而在实际销售过程中，当顾客对于折扣比时间更为敏感时，短缺量拖后能给零售商带来较大的利润增长。图4分析了多产品模型中订货能力(供应商能提供的最大订货量)以及库存容量改变对零售商总利润的影响，横坐标表示每种产品的订货能力及库存容量均以20%为单位增加或减少，曲线上相邻两点间线段的斜率是相应订货能力增量的边际利润。当订货能力或库存能力过低时，零售商会损失大量的销售机会，进而损失大量的利润;当订货能力或库存能力过高时，其增量的边际利润降低，甚至为0，会导致较低的投资效益。

图1 放弃购买量比较

图2 批货定量决策的利润比较

图3 短缺量拖后系数对利润、放弃购买惩罚成本及拖后的商品收益的影响

图4 订货能力和库存容量对期望利润值的影响

3 结束语

本文综合考虑了缺货情形下通过价格折扣产生短缺量拖后从而挽回部分客户需求以及客户对于同质品的需求替代行为，根据单一产品和存在替代的多产品两种情形建立了短缺量拖后与折扣价格成正线性相关的多周期批货定量模型，从而给出零售商的最优订货批量以及最优折扣定价。通过研究发现，优惠价格带来的短缺量拖后有利于避免部分客户需求流失，从而增加利润，且客户对价格比对时间的敏感度越大，利润越高。另外，本文进行了利润对于供应商供货能力以及零售商库存能力的灵敏度分析，对零售商分配适当的库存能力以及订货能力有一定指导意义。多产品模型中因为产品大多处于缺货情形，导致可替代量相对较小，所以未在本文列出。

本文的局限是只考虑了产品间库存驱动的替代，未考虑价格驱动的替代，未来可进一步考虑折扣价格对替代量的影响。此外，本文未对顾客进行差异化分析，未考虑针对不同客户群体对价格、时间及其他因素的不同敏感性而提供差异化折扣配给策略。

［1］Ding Q，Kouvelis P，Milner J M.Dynamic pricing for multiple class deterministic demand fulfillment［J］.IIE Transactions，2007，39(11):997－1013.

［2］Yücel E，Karaesmen F，Salman F S，et al.Optimizing product assortment under customer－driven demand substitution［J］.European Journal of Operational Research，2009，199(3):759－768.

［3］皮星，孟卫东，黄波，等.短缺量拖后率与价格折扣相关变质品VMI模型［J］.工业工程与管理，2010，15 (1):21－24.

［4］何伟，徐福缘.需求依赖库存且短缺量部分拖后的促销商品库存模型［J］.计算机应用，2013，33(10):2950－2953.

［5］赵林，俞能福.短缺部分拖后的变质性物品的联合定价与订货模型［J］.合肥工业大学学报:自然科学版，2010，33(2):308－312.

［6］官振中，任建标.价格和库存驱动替代的两产品动态定价策略［J］.系统管理学报，2012，22(2):177－184.

［7］陈淮莉，韩伟.基于保质期约束的生鲜品订货批量以及定价决策研究［J］.工业工程与管理，2013，18(3): 19－23.

［8］刘晓峰，黄沛.基于策略型消费者的最优动态定价与库存决策［J］.管理科学学报，2009，12(5):18－26.

［9］徐贤浩，陈雯，彭红雯.基于策略消费者行为和市场细分的联合定价库存策略［J］.中国管理科学，2012，20 (6):78－86.

(责任编辑 杨黎丽)

An EOQ Model with Demand Substitution and Partial Backlogging

QIN Shi－yue，CHEN Huai－li
(Logistics Research Center，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China)

Optimal order quantity and the best discount prices considering partial backlogging and demand substitution in the period of shortage was studied in this paper.The multi－cycle EOQ model that the backlogging rate is dependent on the price discount which the buyer offers to his customer in the period of shortage is established，and a set of examples were analyzed to show the application of the model.The partial backlogging caused of the discount can increase the profit for saving the customers＇demand is founded though the optimization software and to verify the validity and scientificity of the model.

partial backlogging;demand substitution;multi－cycle;dynamic price discounts

O 21;F274

A

1674－8425(2014)05－0132－07

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.05.025

2014－02－25

上海市自然科学基金资助项目(12ZR1412800);上海市教委科研创新项目(12YZ119)

秦诗月(1990—)，女，湖北黄冈人，硕士研究生，主要从事采购与供应链管理、高级计划与排程等研究;陈淮莉(1971—)，女，安徽合肥人，博士，教授，主要从事供应链管理、高级计划与排程等研究。

秦诗月，陈淮莉.考虑需求替代的部分短缺量拖后采购模型［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014 (5):132－138.

format:QIN Shi－yue，CHEN Huai－li.An EOQ Model with Demand Substitution and Partial Backlogging［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(5):132－138.