一种基于单缝衍射的杨氏模量测定方法

盛爱兰

(山东理工大学理学院 山东 淄博 255000)

1 金属杨氏模量

金属丝原长为L0，横截面积为S，在长度方向上受到的拉力为F(在弹性限度内)，伸长量为ΔL，则

或

(1)

(2)

式(2)中金属丝的直径d用千分尺测量，ΔL数值很小，本文利用夫琅禾费单缝衍射的方法来测量．

2 单缝衍射测量缝宽

当波长为λ的平行单色光通过缝宽为a的单缝时，在透镜焦平面处的光屏上会形成明暗相间的衍射条纹，这就是夫琅禾费单缝衍射．其中，P0点为中央明条纹，p点为暗条纹的条件为

asinθ=±kλ(k=1,2,3，…)

(3)

式中θ为衍射角，k为衍射级数．若单缝竖放，并且规定左负右正，则对于中央明纹左边的第m级暗纹和右边的第n级暗纹有

a(sinθn-sinθm)=(n+m)λ

(4)

由于衍射角θ很小，tanθ≈sinθ，由图1可知

(5)

图1 实验光路图

式中ΔXmn为左边第m级暗纹和右边第n级暗纹间的距离，f为透镜到光屏的距离．

由式(4)、(5)得

(6)

从式(6)可知：若平行单色光的波长λ已知，记下暗纹级数m，n，并测出两级暗纹间距离ΔXmn及f的值，就可计算出单缝的宽度a．

3 实验装置与测量方法

3.1 实验装置

图2 实验装置

实验装置如图2所示．待测金属丝一端通过夹线钳固定在墙(钢筋混凝土)上，另一端穿过螺栓夹1，2后分别固紧(支架与螺栓夹1间留有缝隙)．细绳一端系在螺栓夹2上，下端悬挂砝码，并绕在定滑轮上．金属片1很轻，焊接在螺栓夹1上；金属片2固定在二维调节架上，调节架上面设有标尺．底座上有调平螺钉，调节螺钉可使拉紧的金属丝处于水平状态，使金属片1，2间形成铅直狭缝．

另外，还有WDY-1型单缝衍射仪和低压钠灯，钠灯灯罩上开有竖直狭缝．单缝衍射仪主要包括目镜调焦镜、测微目镜读数鼓轮、物镜调焦手轮、读数窗口、仰角调节螺栓及单缝帽套．

3.2 测量原理

实验前把金属丝拉直．调节二维调节架，使金属片1，2间形成宽约1 mm的狭缝．把单缝衍射仪物镜紧靠金属片1，2间的狭缝(不带单缝帽套)，钠光灯置于单缝衍射仪前方1.5 m处，这样透过钠光灯罩狭缝的光可视为平行光源．

仪器调好后在单缝衍射仪内看到衍射条纹，读出各级条纹Xm和Xn数据，求出条纹间距ΔX0mn，利用式(6)求出缝宽a0．增加砝码后，狭缝变窄，用类似方法求得缝宽a，则金属丝(自夹线钳至螺栓夹1的长度)的伸长量等于缝宽的改变，即

ΔL=a0-a

(7)

将式(6)式代入式(7)得

(8)

将式(8)代入式(2)得

(9)

上式即为杨氏弹性模量的计算公式．

3.3 条纹间距测量方法

仪器调好后，在单缝衍射仪内看到衍射条纹．调节单缝衍射仪测微目镜读数鼓轮，使目镜内十字叉丝向右缓缓移动，叉丝依次与左边第5，4，3，2，1级暗纹重合，从鼓轮上读出并记下相应X0m值，继续调节鼓轮使叉丝通过中央明纹后，依次与右边第1，2，3，4，5级暗纹重合，记下X0n值．则条纹间距

ΔX0mn=|X0m-X0n|

注意：鼓轮始终沿一个方向转动，不能倒转．

增加2 kg的砝码后，金属丝伸长，衍射条纹变稀．重复上述操作，再测得相应的Xm，Xn值，填入表1内．

4 测量结果

表1 测量结果

物理量L0，d，f及M的误差很小，忽略不计．利用逐差法，取m+n=6，计算得出

E=(1.89±0.02)×1011N/m2

5 总结

本文利用单缝衍射测定了金属的杨氏模量，这是一个力学与光学的综合实验，从上面分析可知准确度较高．而单缝衍射是大学物理的一个重要实验，在原有仪器的基础上，只需再加上图2所示的装置就可，成本很小，且装置经久耐用，适合一般的理工科大学生用来做学生实验，具有一定的实用价值．

参考文献

1 周殿清主编．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002．97～100

2 黄绍书．单缝衍射测微小位移的实验室方法．物理实验，2000，20(2)：36～37