直线与圆的统一性

任保文

(西安电子科技大学物理系 陕西 西安 710071)

均匀带电直线产生的电磁场是圆的退化情形,从物理直观来看也是这样.圆环的近场应能退化为无限长直线的场,下面就电磁场给出该问题具体证明.

1 均匀带电细圆环的电势

设细圆环半径为R,取坐标如图1.

图1

由系统的旋转对称性可知,电势与θ无关,因此,场点取在xOz平面,而不会失去普遍性,由电势叠加原理得

其中

分析可得,当k接近于1时或当x→0时有椭圆积分的近似表示为

或

得

故有

此即为无限长均匀带点直线的电场!

亦可求出两均匀带电细圆环同轴平行时的作用力为

[k～0]

当等大的细圆环重合时作用力为

退化为直线的场,与万有引力类似!

2 载流细圆环产生的矢势

设载流细圆环半径为R，取坐标如图1,由系统的对称性可知,磁感应强度与θ无关, 因此,场点取在平面,而不会失去普遍性．则细圆环的磁矢势为

其中

[k～0]

令

x=R-r，x→R，r→0

B=×B

知

故有

此即为无线长载流直线的磁场.

参考文献

1 童伟雄．利用磁矢势画出轴对称分布磁感应线.大学物理，1996,15(4)：22～24

2 M·A·拉夫连季耶夫，B·B沙巴特 著．复变函数方法.施祥林,等译．北京：高等教育出版社,2006.1