弹簧串并联特点及应用*

陈玉军 董芳芳

(盐城景山中学 江苏 盐城 224002)

在我们的日常生活中，弹簧的形态各异，处处都在为我们服务，而弹簧问题又在高考物理中扮演着很重要的角色，小小的弹簧，涉及到对静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题等知识点的理解，可以考查学生对于一些重要思维方法和解题思想的运用能力．

在实际生活中，弹簧是可以串联或并联使用的，譬如健身用的拉力器，多根弹簧就属于弹簧的并联．对于弹簧的串联，从等效的角度来说，任何一个大弹簧都可以看成是由多个小弹簧串联而成的．新课程标准的三维目标要求教师在传授基本知识的同时，要培养学生自主学习、探索创新的能力．弹簧串并联的连接方式和电阻串并联的连接方式很相似，学生在初中物理中已经熟知电路的串并联原理，在此基础上可以带领学生研究：弹簧在进行串联和并联以后，其特点会发生什么变化，再做适当的大学知识拓展，激发他们的学习和研究问题的兴趣，面对弹簧串并联的具体情况进行分析．

为了简单起见，下面以两根弹簧为例，对实际问题的应用进行分析．

1 弹簧的串联问题

如图1所示将两根劲度系数分别为κ1和κ2的轻弹簧串联在一起，在外力F的作用下两根弹簧都被拉伸.在不考虑弹簧本身重量的前提下，每根弹簧所受的弹力皆为F，设两根弹簧的伸长量分别为Δx1和Δx2，由胡克定律

F=κ1Δx1=κ2Δx2

图1

两弹簧串联后看作一根弹簧，等效劲度系数设为κ，则对于整个系统来说，总的伸长量为

则

如果串联的弹簧组下面挂个质量为m的小球，弹簧和小球就构成一个弹簧振子系统，若不计弹簧质量，系统的圆频率为

其中κ为弹簧的劲度系数，m为弹簧振子的质量．于是系统的圆频率

所以弹簧剪断后，劲度系数变大，弹簧变硬．

应用2:如图2所示，在光滑的水平面上，有一个质量为m的物块由劲度系数分别为κ1和κ2，原长都为l轻弹簧连接着，现用一水平力F向左压弹簧2，求弹簧2的右端点A移动的距离是多少？

图2

所以弹簧2的右端点A移动的长度是

拓展1:如果将图2按图3连接弹簧，弹簧2的右端点A移动的距离是多少？

图3

解析：拓展1和原题中两弹簧上的力都相等，符合弹簧串联的特点，所以都可以按串联规律解题，结果一样．如果将物体拉离平衡位置其振动圆频率为

但注意物体移动的距离不同．

拓展2:如果将图2按图4连接弹簧，在光滑的水平面上，质量为m的物块由劲度系数分别为κ1和κ2，原长都为l轻弹簧连接着，弹簧另外一端和墙壁相连，静止时弹簧都处于原长，此弹簧振子系统的圆频率是多少？

图4

解析：图4中两弹簧的连接看似串联，但在物体振动过程中两弹簧的形变量大小相同，而弹力不等，不符合弹簧串联的特点，因此此系统的圆频率不能按串联规律求解．(本题在后面解答)

应用3:如图5(a)所示，已知物块A和B的质量均为m，两轻质弹簧劲度系数分别为κ1和κ2，已知两弹簧原长分别为l1和l2，若不计两物体的厚度，求现在图中两弹簧的总长度．

图5

显然这种解题方法是按照图5(b)连接方式理解的．然而仔细分析题目，会发现上面轻质弹簧受力为mg，下面轻质弹簧的受力为2mg，所以不符合弹簧串联的条件，因此不能按串联特点进行计算．设上面弹簧压缩量为Δx1，下面弹簧的压缩量为Δx2，由胡克定律易得

因此现在弹簧的总长度为

我们反思出解答错误的原因是：这道题弹簧只是形式上的串联形式，有些学生不经分析就乱套弹簧的串联公式．综合应用1、应用2和应用3，我们可以总结出：弹簧串联的特点是每根弹簧的弹力相等．

2 弹簧的并联问题

如图6所示，将两根原长相等、劲度系数分别为κ1和κ2的轻弹簧并联接在一起，在外力F的作用下，两根弹簧的伸长量相同，设两个弹簧的伸长量均为Δx，利用胡克定律，则

F1=κ1ΔxF2=κ2Δx

图6

将两弹簧并联后看作一根弹簧，等效劲度系数设为κ，则弹簧系统受到的弹力大小应等于并联的两个弹簧的弹力之和，所以

F=κ1Δx+κ2Δx=(κ1+κ2)Δx

则对于整个系统来说κ=κ1+κ2

同理，弹簧振子的圆频率为

可见，弹簧并联构成的新弹簧的等效劲度系数等于并联的每一个弹簧的劲度系数之和，如果n个相同的弹簧并联，弹簧组的劲度系数是每个弹簧劲度系数的n倍．这个结论类似于串联电路总电阻与各个电阻之间的关系．弹簧经并联后劲度系数变大，弹簧系统变硬，圆频率升高．火车车厢下的多个减震弹簧属于并联，如何并联也关系到减震弹簧寿命以及它的一些性质．

在前面拓展2图4连接的弹簧组中，在物体振动过程中两弹簧形变量大小相同，物体所受的合力为两弹簧弹力之和，符合两弹簧并联的特点，所以其振动的圆频率应该为

应用4:一根轻质弹簧，其劲度系数为κ，下面挂重物为G的伸长量为l1，现在把该弹簧剪为相等的两段再相并使用，下面仍挂重物为G，问这时新弹簧的伸长量l2为多少．

应用5:如图7所示，a和b两根轻质弹簧，它们的劲度系数分别为κa=1×103N/m，κb=2×103N/m，原长分别为la=6 cm，lb=4 cm， 在下端挂一重物G，物体受到的重力为10 N，求平衡时物体下降了多少[2]？

图7

参考文献[2]中给出的解答如下.

解析：由上面的推导知，a和b并联后弹簧的劲度系数为

κ=(κa+κb)=3×103N/m

已知F=G，由胡克定律可得F=κΔx，把κ代入得Δx=3.3×10-3m．

然而仔细审题，会发现由于这两根弹簧的原长和劲度系数不同，弹簧的形变量也不相同，所以根本不可以使用弹簧的并联公式，再深究下去，由于平衡时两根弹簧的的弹力不同，所以下面的重物必然会发生倾斜．出题者可能没有真正领会到弹簧并联的特点．如果把题目改成a和b两根原长相等的轻质弹簧下挂一个可以看成质点的物体，那么以上分析过程就是合适的．

应用6:如图8所示，两个劲度系数分别为κ1和κ2的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细线上，滑轮下端挂一重为G的物体后滑轮下降，求滑轮静止后重物下降的距离．

图8

解析：两个弹簧从形式上看似乎是并联，故学生会由上面推导得到并联后弹簧的劲度系数κ=κ1+κ2．设滑轮下降的距离为Δx,由胡克定律得κΔx=F，得滑轮下降的距离为

(1)

(2)

两弹簧伸长量之和Δx=Δx1+Δx2，故重物下降的距离为

综合应用4，应用5和应用6，我们可以总结出弹簧并联的特点是每根弹簧的形变量相同．所以弹簧的串并联有时只是形式上的串并联，在具体分析题目的时候一定要注意，切忌乱套公式．

3 总结

总之，弹簧串并联后，系统的性质会发生变化．弹簧的串联效果类似于电阻的并联效果，而弹簧的并联效果类似于电阻的串联效果．高中物理虽然不要求用公式定量地对弹簧组合的等效劲度系数进行分析，但是弹簧的串并联的特点要掌握：弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等；原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相同，这才是解题的根本．对弹簧串并联问题的分析能够较好地培养学生的分析、解决问题的能力，我们在教学的过程中，要注意学生思辨能力和思考习惯的培养．

参考文献

1 漆安慎，杜婵英.普通物理学·力学.北京：高等教育出版社，2005

2 庄盛文. 弹簧串、并联略谈.物理实验(中学部分)，2004，24(4)

3 陈学志，罗莹.探究弹簧劲度系数的影响因素.中国现代教育装备，2011(8)