波束形成算法指向误差时的稳健性研究

崔 琳,焦亚萌

(西安工程大学 电子信息学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

波束形成是阵列信号处理的重要组成部分,它在雷达、声纳以及无线通信等领域得到了广泛应用.随着优化算法的发展,最优波束形成能够根据接收数据不断更新加权向量,使波束形成器具有较好的方位分辨力和较强的干扰抑制能力.但是许多波束形成算法都是基于对期望信号波达方向的精确估计而提出的,当实际期望信号的导向向量与理想期望信号的导向向量出现误差时,波束形成器会将其视为干扰信号而加以抑制,因此寻求相应的解决方法已成为许多学者的研究方向[1-3].

Vapnik等人在20世纪90年代初提出的支持向量机(SVM)是一种基于结构风险最小化原理的算法,它不仅可以解决遥感、雷达等方面的分类问题[4],而且可以应用在信号处理方面,例如波束形成、波达角方向估计旁瓣抑制等.支持向量机算法的提出,使得许多新的具有稳健性的波束形成方法也随之涌现出来.最早在2004年由César C.Gaudes等人提出将SVM与波束形成中的MVDR方法相结合,从而达到更好的抑制旁瓣的作用[5];Clodoaldo A M Lima等人将最小二乘支持向量机应用于波束形成,通过对最小二乘支持向量机中参数的设定,可以更准确地估计期望信号的波达方向[6];路遥等人通过使用SVM计算贝叶斯自适应波束形成算法的权向量,进而可以更好地控制旁瓣高度[7].本文提出一种基于支持向量回归机的线性约束最小方差波束形成方法,该方法对于期望信号方向向量存在误差的情况,具有一定的稳健性,仿真结果验证了其有效性.

1 LCMV算法基本原理

假设一个由M个阵元,且阵元间距为d的均匀线列阵,则传统的窄带波束形成器的输出可写为

y(k)=wHx(k),

其中w=[w1,w2,…,wM]T∈CM×1为权向量x(k)=xk=[x1(k),…,xM(k)]T∈CM×1为基阵观测值的复向量,它是期望信号、干扰和噪声的统计独立分量之和,(·)T和(·)H分别表示矩阵的转置和共轭转置.在某一时刻k基阵的观测值可表示为

其中s(k),i(k),n(k)分别表示期望信号、干扰信号和噪声,Ki表示干扰的个数,θs表示期望信号的到达方向,θij,j=1,…,K表示干扰信号的到达方向,且对应的阵列流形向量分别为a(θs)和a(θij).

LCMV波束形成加权向量设计问题表述为

其中Rn为基阵接收到的噪声协方差矩阵,g为约束值的复数形式.

采用Lagrange乘子法来求解最优化问题,建立Lagrange函数

L=wHRnw+α[wHa(θs)-1)].

将L分别对w和a求导，并令其导数等于零.通过计算可得

由此可见,波束形成方法(以下简称LCMV)波束形成算法的核心是:在期望的信号波达方向θs上阵列总增益为1,而且使波束形成器总的输出功率最小.这样就可以最大程度地抑制波束形成器输出中的干扰信号和噪声.

2 SVR-LCMV算法

假定L个信号的波达方向为θi,i=1,…,L,且θi∈[0°,180°],同时假设θL是期望信号的波达方向.根据SVM的理论[8],将上述LCMV波束形成算法的信号模型与SVR的基本理论结合起来,重新考虑LCMV算法的最优化问题,可将其写为

(1)

其中di表示波束形成器的期望输出,即

(2)

下标R,I分别代表实部和虚部.且满足

|di-wHa(θi)|ε=max{0,|di-wHa(θi)|-ε}.

式(2)di表示波束形成器的期望输出.

对于每个DOA波束形成器的输出wHa(θi)可以改写为

同理

因此,可以将支持向量回归问题表示成实部和虚部的形式

由此,式(1)可以写为

(3)

(4)

满足条件

此时,最优化问题变为求解式(4)的最小值.

为了求解带有不等式约束的优化问题,建立Lagrange函数,Lagrange函数的表达式为

(5)

(6)

βi=C-αi,l=1,…,2L

(7)

(8)

将式(6),(7),(8)代入式(5)可得最优问题的对偶形式

根据y=wHx可以进一步计算出SVR-LCMV波束形成算法的阵列输出.

3 仿真结果与讨论

分别从没有失配的理想情况和期望信号存在方向向量失配两种情况来分析证明上述方法的可行性.考虑由M=10个各向同性的阵元组成的均匀线列阵,且阵元间距为半波长.为了便于计算,将阵列放置于z轴上,将阵列的中心作为坐标原点.所有的信号及干扰都是来自远场的平面波信号,噪声为具有单位方差的白噪声矩阵.信号的入射方向θs=90°,干扰的入射方向θij分别为30°,70°,130°,干扰噪声比为10dB,信号的频率为15kHz,采样频率为35kHz,使用1 000个快拍数进行SVR-LCMV波束形成处理.SVR-LCMV波束形成算法分别采用两种不同的损失函数,采用线性ε-不敏感损失函数(以下简称为SVR-LCMVL)和采用二次损失函数(以下简称为SVR-LCMVQ).根据参数的选取方法,选取惩罚参数ε=0.01,采用高斯径向基核函数,函数中的参数σ2=0.2.

若SNR=5dB,其他参数不变,惩罚参数C分别为0.5，10和50时,进行SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成后得到的波束图如图1(a)，(b)所示.从图1可以看出,惩罚参数C的增大可以有效地降低旁瓣级的高度,但是C值选取的过大会导致SVR模型的泛化能力变差,所以C的选取必须在旁瓣级的高度和泛化能力之间进行折中,这样才能防止“过学习”现象的出现.

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法图1 C不同取值下的SVR-LCMV算法波束图

对于前面所述的模型,若惩罚参数C=10,SNR=5dB,ε选取不同值时SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成算法的波束图如图2(a),(b)所示.从图2可以看出，ε越大,SVR模型中支持向量越少,SVR回归的精度越低,所以SVR-LCMV算法的性能有所下降.但ε值选取的过小,会导致SVR模型的泛化能力变差,因此ε的取值需要控制在一定范围内.

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法图2 ε不同取值下的SVR-LCMV算法波束图

图3 3种算法的SNR与SINR的关系

图3给出了LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3种算法输入SNR与输出SINR之间的关系.从图3可以看出，在输入信噪比相等的情况下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的输出信干噪比大,而且SNR>2sdB时,SVR-LCMVL算法的输出SINR要大于LCMV算法的输出SINR.由此可见,输入信噪比较大时,SVR-LCMVL算法可以弥补LCMV算法的不足,表现出比LCMV算法更优的性能.

针对基于SVR的10元线阵假设模型,只考虑期望信号存在方向向量失配的情况.若实际的期望信号入射方向为88°.在SNR分别为5dB和20dB时,LCMV算法、SVR-LCMVL算法以及SVR-LCMVQ算法的波束图如图4(a),(b)所示.从图4可以看出，由于方向向量存在失配,LCMV算法误将期望信号认为是干扰信号,对其进行了抑制,而SVR-LCMVL算法可以允许主瓣方向存在较小误差,所以波束图中主瓣方向出现微小的偏差,但是在其它方面仍然保持比较稳定的性能,说明当信号DOA存在失配时,算法仍然具有较好的鲁棒性.SVR-LCMVQ算法在信噪比较小时,虽然对于干扰信号没有抑制作用,但是其主瓣方向并没有出现偏差,相比于其它两种算法,它的鲁棒性最强,但在信噪比较大时,它的旁瓣迅速升高且出现畸变,性能下降的比较明显.

(a) SNR=5dB (b) SNR=20dB图4 不同信噪比时三种算法的波束图

图5 方向向量失配时,3种算法的SNR与SINR的关系

图5给出了期望信号的方向向量存在误差时,LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3种算法的输入SNR与输出SINR之间的关系.从图5可以看出,输入信噪比相等的情况下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的输出信干噪比大.在SNR>20dB,SVR-LCMVL算法的输出SINR超过LCMV算法,因此SVR-LCMVL算法在失配的条件下,更能表现出它的良好性能.

4 结 论

(1) 在讨论传统LCMV算法的基础上,将支持向量机算法应用于鲁棒波束形成.通过对没有失配的理想情况和期望信号存在方向向量失配两种情况,分别对SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ两种方法进行仿真分析.

(2) 仿真结果发现,在无失配的理想情况和有失配的实际情况下,SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ两种方法不仅可以在不同信噪比情况下保持较好的性能,而且在输入高信噪比时可以比传统LCMV算法输出更高的信干噪比,尤其是在方向向量存在失配时,SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ方法的稳健性更为突出.

参考文献：

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[6] Clodoaldo A M Lima,Cynthia Junqueira,Ricardo Suyama,et al.Least-Squares support vector machines for DOA estimation:a step-by-step description and sensitivity analysis[J].IEEE Proceedings of International Joint Conference on Neural Networks,2005:3226-3231.

[7] LU Yao,AN Jianping,BU Xiangyuan.Adaptive bayesian beamforming with sidelobe constraint[J].IEEE Communications Letters,2010,14(5):369-371.

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