基于悬链线近似数学模型解决架空输电线路高程测量问题

2014-06-26陈雄

城市勘测 2014年5期

陈雄

(秦皇岛市测绘大队，河北秦皇岛 066001)

1 引言

城市区架空输电线路对于城市基础设施规划是一个不可忽视的因素，如何保证架空输电线路跨越建筑物、道路或其他设施时高度适宜是规划设计部门必须考虑的一个重要技术指标。如今的架空线路高程测量主要采取免棱镜全站仪施测或者RTK 测量结合全站仪悬高测量的方法，但这两种方法的缺点是显而易见的:①费时费力，并且得不到重要的特征点(如极值点)的高程;②架空输电线路通常很密集并且交叉，全站仪架设较远不易辨别。如果我们在现场只用实测同一条架空输电线路两端的悬挂点和中间少数点的三维坐标，模拟出该条架空输电线路的线路数学模型，这样该条架空输电线路上任意点的三维坐标就迎刃而解了。

2 悬链线数学模型

通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定:①导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力(或拉力)，任意一点的弯矩为零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。②作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前提。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。当一档导线悬挂于等高的两悬挂点时，以导线最低点为原点建立平面直角坐标系可以根据导线受力及几何关系推导出著名的悬链线方程:

在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式展开成无穷级数(在x=0 点)，可得:

实践证明，当导线的跨度不大时，该式可以省去多次方项，近似写成也就是说在悬挂点跨度不大时，架空输电线路的数学模型近似于抛物线。

3 工程应用实例

在现实中，架空输电线路的两悬挂点很少是等高的，但当悬挂点高差相对于跨度很小时，通过对悬链线数学模型的推导和分析，架空输电线路的数学模型可以近似为斜抛物线，即数学方程为:

如果我们以其中一个悬挂点A 作为原点，以两悬挂点A、B 的连线到过原点的水平面的投影AB'为x 轴建立如图1所示的平面直角坐标系，那么将A(0，0)带入式(1)即可得c=0。那么式(1)可直接写作:

图1 架空输电线路示意图

从式(2)可知，只要我们能获得除原点A 的另两个线路上的点的三维坐标，就可以确定待定系数a、b，从而拟合出该条架空线路的轨迹方程。在实际中为了保证计算的可靠性和准确性，通常我们测量的实际点多余2 个，这样我们可以采用最小二乘原理求解待定系数a、b，并且通过解求的残差衡量待定系数的精度。

当已知点个数为n(n≥2)时，函数模型可以写成:BA+W=0

按条件平差原理，A=－BT(B BT)－1W。

下面我们通过具体实例来比较该方法和传统测高方法的异同。如图1所示，本工程先用索佳250RX 型免棱镜全站仪实测出悬挂点A、B 的三维坐标，然后将其平面坐标输入RTK 手簿分别测设两悬挂点在x 轴的投影AB'上距A 点50 m倍数的点，再依次用全站仪悬高测量方法实测这些线路点的高程，数据如表1所示:

表1 线路点实测坐标及高程

选取其中100 m 点与B(518.476 m)点计算出a=0.000 155，b=－0．034 002。然后再选其中100 m点、250 m点、400 m 点、B(518.476 m)点4 点进行计算a=0.000 153 91，b=－0．033 327。最后将全部观测点参与解算a=0.000 154 86，b=－0．033 879，将三次计算后的残差相比如表2所示: