“数与代数”概念教学策略探索与实践

华中科技大学附属小学课题组

在数学学习中，数学概念是学习其他知识的基础，是培养数学能力的前提。因此，探究有效的概念教学方式应受到重视。

数学概念的内涵非常丰富。有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系；有些概念相互关联、前后承接，需要彼此比较和辨析；有些概念也并不仅仅用文字表征，图形、符号、模型等都可能更贴近本质。概念的教学如果只靠讲授和练习，很容易使学生“依葫芦画瓢”、思维僵化。

在课题研究过程中，我们发现学生对概念的掌握，主要是通过概念形成和概念同化这两个基本途径来建构。需要指出的是：这两种概念形成过程是根据数学概念自身特点进行合理运用的，但概念形成和概念同化都需要内部和外部两方面的条件，具体见下表。

[概念形成和概念同化的基本过程＼&＼&概念形成＼&概念同化＼&基

本

过

程＼&①感知具体对象阶段；

②尝试建立表象阶段；

③抽象本质属性阶段；

④符号表征阶段；

⑤概念的运用介绍。＼&①唤起认知结构中的相关概念；

②进一步抽象形成新概念；

③分离新概念的关键属性。＼&内部

条件＼&学生积极地对概念的正反例证进行辨析。＼&学生具备有意义的意向和相应的认识结构。＼&外部

条件＼&教师必须对学生提出的概念的本质属性作出肯定或否定的反应，学生通过对外界的肯定或否定反应所获得的反馈信息不断进行选择，从而概括出概念的本质属性。＼&新学习的概念必须与学生原有认知结构中的某些概念或表象有着密切的联系。＼&]

小学数学概念教学通常分为引入概念、形成概念、巩固与应用概念三个阶段，但由于概念自身的特点、学生认知特点等许多因素影响，每个阶段的有效教学策略也不尽相同。

一、“数与代数”领域概念有效教学的引入策略

1.在现实的问题情境中，引入概念。

在本领域的概念中，有些概念与现实生活联系密切，我们可以在现实的问题情境中，引入概念。丰富的现实情境不仅能充分激发学生的学习欲望，而且还有助于学生主动的观察和积极思考，还有利于培养学生通过观察和思考，发现并提出问题的能力。如学生在三年级认识分数时，是从整数到分数的数概念的一次扩展，因此要利用学生熟悉的生活情境帮助学生认识分数。教材上提供了一个学生和教师在公园里玩耍、野餐的情境图，图中有许多分数的例子，如苹果一人一半，一个西瓜平均分成了8块，一个月饼平分成了两块等许多“平均分”的生活原型。通过以上素材，可以使学生看到生活中把一个物体平分成若干份的现象到处存在，认识到产生分数的必要性。

2.在学生已有概念的基础上，引入新概念。

数学具有完整的知识结构，许多知识之间有着密切的联系。本领域的概念中，许多概念联系十分密切，如“数的整除”这部分内容中许多概念内在联系密切，而且它们都是基于“整除”的概念而产生的。因此，在学生已有概念的基础上，引入新概念是本领域概念引入的较为常见的策略。如学生在学习《认识质数与合数》时，是通过“找出1-20各数的因数，看看它们的因数的个数有什么规律”的过程，来发现质数与合数的特点的；又如学生在学习《认识乘法》时，是通过发现“加数相同”加法算式来引入的。这样的引入方式，学生已有概念不仅能构成他们进一步学习数学概念的基础，同时也有利于形成数学概念体系。

3.在学生具体计算的基础上，引入概念。

在本领域的概念中，有部分概念是基于具体计算环境产生的概念，如余数、近似数、循环小数以及方程的解等概念。这些概念的引入方式需要结合它们的产生背景，也就是在学生具体计算的基础上，引入概念。如五年级学生认识循环小数时，引导学生分组计算“1÷4、1.7÷1.6、28÷18和78.6÷11”四道计算题，在计算过程中发现“1÷4=0.25、1.7÷1.6=1.0625、28÷18=1.5555……、78.6÷11=7.1454545……”进而借助“28÷18、78.6÷11”理解循环小数的含义。这样有助于让学生在计算的基础上经历相关概念的形成过程，更好认识这些概念的特征。

4.在数学文化的传播和介绍中，引入概念。

在本领域的概念中，少数概念在现实生活难以找到原型，还有些概念有一定的文化背景。因此，在数学文化的传播和介绍中引入概念，可以丰富学生对概念的认识。如作为数学概念的因数和倍数，很难在生活实际中找到直接的运用，怎样让学生体会它们产生的必要性呢？教学伊始，教师可以谈话交流有关“哥德巴赫猜想”的知识，引出了因数和倍数，进而揭示课题，让学生体会到因数和倍数是以后学习的基础，感受数学知识学习的必要性，既揭示了数学知识的现实性，又激发了学生的学习兴趣。

二、“数与代数”领域概念有效教学的形成策略

1.在抽象、概括的数学思维活动中，建立概念。

本领域中，有许多概念属于上位概念，并且采用定义的方式来呈现，如方程、比、比例等概念。学生在最初学习这些概念时，并不是从表述概念的意义出发，而是从直观特征出发再通过归纳的方式而获取其意义的表述的。因此，这些概念需要在抽象、概括的数学思维活动中建立概念，基本过程是：提供具体的实例→通过比较、类比等方法发现共同属性→抽象、确定本质属性→形成概念。如学生在六年级学习《比例》时，教学流程如下：

①提出要求：请你任意选择两面国旗写出它们长与宽的比，并算出比值，想一想它们之间有什么关系？

学生回答，教师板书：[5：103]=2.4：1.6

60：40=15：10或[6040=1510]

2.4：1.6=60：40 ……

②启发思考，引导比较：观察这些式子，它们有什么共同的特点？endprint

生1：有两个比。（板书：两个比）

生2：都是等式。（板书：相等）

生3：都是式子。（板书：式子）

③教师评价，引导概括：大家说得真好！像这样的式子，我们叫做比例。请大家议一议：什么是比例呢？

生1：有两个比相等的等式叫比例。

生2：表示两个比用等号连接的式子叫比例。

生3：表示两个比相等的式子叫比例。

④师生归纳，形成概念：通过大家的交流，我们知道了像这样表示两个比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教学片断中，我们可以发现学生经历了从具体到抽象的概念形成过程，对比例的本质属性“两个相等的比”有了清晰的认识后，能准确地概括比例的概念。

2.在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。

在本领域的概念中，有些概念与其他概念有着密切的联系，属于下位概念，如乘法和倍、分数与百分数等。因此，这些概念只需要在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。如学生认识“倍”时，学生已经认识了乘法，而倍则是根据乘法的意义描述两个数之间的一种关系，其实质还是表示“几个几”。在教学时，在初步认识倍的含义后，需要引导学生迁移、类推出用倍来描述其他数量之间的关系。

①课件展示：几个同学正在用小棒摆图形呢，看，小红摆出了什么图形，用了几根小棒？（4根）可以说成几个几？（1个4）

②接下来，小丽摆出了什么？用了几根小棒？（2个4）

③小明摆出了什么？用了几根小棒？（3个4）3个4也可以说成4的3倍。

④下面物体的个数是几个几？也可以说成是几的几倍？

（3个2，也可以说是2的3倍。）

（5个3，也可以说成是3的5倍。）

⑤让我们回到小棒图，刚才小丽摆出了2个4，也可以说成是几的几倍？（4的2倍）1个4呢？（4的1倍）

在上面的教学片断中，我们提供给学生大量熟悉的“几个几”素材，让学生在新旧知识间找到合理的生长点，顺利从“几个几”过渡到“几的几倍”。

3.在概念间的对比和联系中，建立概念体系。

为了帮助学生有效地建立概念，我们应多次从所学数学概念出发，注重每一阶段该数学概念的扩充和发展，不断强化对其的理解。加强数学概念间的联系，形成概念体系，引导学生分析概念的来龙去脉，有助于学生建立完善的概念体系。在本领域中，有部分概念内在联系十分密切，需要引导学生主动比较概念间的共同点和不同点，帮助学生更好理解概念的本质属性。如六年级学习《比的意义》时，学生已经学习了分数、除法和比这三个不同的概念，我们设计这样的教学流程：

①引导思考：请同学们看看这张表，在15：10=1.5这个比中，这三个数分别是什么？在15÷10=1.5这个算式中，它们又分别是什么？在[1510]=1.5这个分数中呢？请大家将这个表格填写完整。

如图，比、分数和除法之间的关系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前项＼&后项＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除数＼&除数＼&商＼&分数 [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分数值＼&]

②沟通关系：通过观察、比较我们可以发现比、分数和除法之间有着怎样的联系和区别呢？

第一次交流：比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数、分数的分母；比的比值相当于除法的商、分数的分数值；比号相当于除号和分数线。

过渡：我们知道分数是一个数。而除法和比呢？

第二次交流：分数是一个数，除法是一种运算，比表示两个数量之间的关系。

③明确特性：比的后项可以是0吗？

第三次交流：比的后项不能为0，这与除数不能为0和分母不能为0是一个道理！

三、“数与代数”领域概念有效教学的巩固与应用策略

1.在概念的正、反例证辨析中，理解概念内涵。

在数学概念建立后，及时运用正、反例证的辨析，有助于促进学生思考，加深对数学概念内涵的理解。这也是概念教学的重要策略。如在学生初步建立因数和倍数概念后，可以出示一组判断题：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。 （ ）

②4是因数，5也是因数，20是倍数。 （ ）

③72是8的倍数。 （ ）

④18的因数只有2和9。 （ ）

通过引导学生思考，对其本质属性进行变化，在与正例的比较中，以正激反，从反面突出内涵。通过质疑，学生发现因数和倍数之间是一种相互依存的关系，强调因数和倍数的研究范围是“整数（一般不包括0）”。

2.在概念的变式训练中，凸显概念内涵。

变式训练就是改变概念在最初学习时的呈现状态，目的就是进一步凸显对象的本质属性和概念内涵。当学生面对讨论对象的多种不同呈现状态时，通过判断训练来加深对概念的认识，巩固对概念的掌握。在上面的判断题中“72是8的倍数”，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”的意识又一次得到了渗透。

3.在概念的运用和反思中，丰富概念外延。

概念教学中，不仅要重视由具体到抽象的思维过程，更要重视由抽象到具体的运用过程，即将抽象的概念在思维中具体化。这也是激发学生深入思考、综合运用、培养思维能力的重要手段。

例如，五年级教材在教学“因数”和“倍数”的概念后，安排了例1（找因数）和例2（找倍数）两题，不仅帮助学生加深了对因数和倍数的理解，还探索了找因数和倍数的方法，而且引导学生观察、思考、归纳出因数和倍数的特点，丰富了数学概念的外延。

“数与代数”领域中概念教学策略的研究，还有很多值得我们去探索、总结和反思的地方。我们将为此作更多探索和实践为数学其他领域的教学策略研究提供可借鉴的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基础教育研究课题《“数与代数”领域中概念教学有效性的案例研究》（项目编号2010年C0018号）阶段性成果。执笔：冯胜、李伟，指导：冯回祥、杨道吉。

生1：有两个比。（板书：两个比）

生2：都是等式。（板书：相等）

生3：都是式子。（板书：式子）

③教师评价，引导概括：大家说得真好！像这样的式子，我们叫做比例。请大家议一议：什么是比例呢？

生1：有两个比相等的等式叫比例。

生2：表示两个比用等号连接的式子叫比例。

生3：表示两个比相等的式子叫比例。

④师生归纳，形成概念：通过大家的交流，我们知道了像这样表示两个比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教学片断中，我们可以发现学生经历了从具体到抽象的概念形成过程，对比例的本质属性“两个相等的比”有了清晰的认识后，能准确地概括比例的概念。

2.在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。

在本领域的概念中，有些概念与其他概念有着密切的联系，属于下位概念，如乘法和倍、分数与百分数等。因此，这些概念只需要在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。如学生认识“倍”时，学生已经认识了乘法，而倍则是根据乘法的意义描述两个数之间的一种关系，其实质还是表示“几个几”。在教学时，在初步认识倍的含义后，需要引导学生迁移、类推出用倍来描述其他数量之间的关系。

①课件展示：几个同学正在用小棒摆图形呢，看，小红摆出了什么图形，用了几根小棒？（4根）可以说成几个几？（1个4）

②接下来，小丽摆出了什么？用了几根小棒？（2个4）

③小明摆出了什么？用了几根小棒？（3个4）3个4也可以说成4的3倍。

④下面物体的个数是几个几？也可以说成是几的几倍？

（3个2，也可以说是2的3倍。）

（5个3，也可以说成是3的5倍。）

⑤让我们回到小棒图，刚才小丽摆出了2个4，也可以说成是几的几倍？（4的2倍）1个4呢？（4的1倍）

在上面的教学片断中，我们提供给学生大量熟悉的“几个几”素材，让学生在新旧知识间找到合理的生长点，顺利从“几个几”过渡到“几的几倍”。

3.在概念间的对比和联系中，建立概念体系。

为了帮助学生有效地建立概念，我们应多次从所学数学概念出发，注重每一阶段该数学概念的扩充和发展，不断强化对其的理解。加强数学概念间的联系，形成概念体系，引导学生分析概念的来龙去脉，有助于学生建立完善的概念体系。在本领域中，有部分概念内在联系十分密切，需要引导学生主动比较概念间的共同点和不同点，帮助学生更好理解概念的本质属性。如六年级学习《比的意义》时，学生已经学习了分数、除法和比这三个不同的概念，我们设计这样的教学流程：

①引导思考：请同学们看看这张表，在15：10=1.5这个比中，这三个数分别是什么？在15÷10=1.5这个算式中，它们又分别是什么？在[1510]=1.5这个分数中呢？请大家将这个表格填写完整。

如图，比、分数和除法之间的关系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前项＼&后项＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除数＼&除数＼&商＼&分数 [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分数值＼&]

②沟通关系：通过观察、比较我们可以发现比、分数和除法之间有着怎样的联系和区别呢？

第一次交流：比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数、分数的分母；比的比值相当于除法的商、分数的分数值；比号相当于除号和分数线。

过渡：我们知道分数是一个数。而除法和比呢？

第二次交流：分数是一个数，除法是一种运算，比表示两个数量之间的关系。

③明确特性：比的后项可以是0吗？

第三次交流：比的后项不能为0，这与除数不能为0和分母不能为0是一个道理！

三、“数与代数”领域概念有效教学的巩固与应用策略

1.在概念的正、反例证辨析中，理解概念内涵。

在数学概念建立后，及时运用正、反例证的辨析，有助于促进学生思考，加深对数学概念内涵的理解。这也是概念教学的重要策略。如在学生初步建立因数和倍数概念后，可以出示一组判断题：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。 （ ）

②4是因数，5也是因数，20是倍数。 （ ）

③72是8的倍数。 （ ）

④18的因数只有2和9。 （ ）

通过引导学生思考，对其本质属性进行变化，在与正例的比较中，以正激反，从反面突出内涵。通过质疑，学生发现因数和倍数之间是一种相互依存的关系，强调因数和倍数的研究范围是“整数（一般不包括0）”。

2.在概念的变式训练中，凸显概念内涵。

变式训练就是改变概念在最初学习时的呈现状态，目的就是进一步凸显对象的本质属性和概念内涵。当学生面对讨论对象的多种不同呈现状态时，通过判断训练来加深对概念的认识，巩固对概念的掌握。在上面的判断题中“72是8的倍数”，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”的意识又一次得到了渗透。

3.在概念的运用和反思中，丰富概念外延。

概念教学中，不仅要重视由具体到抽象的思维过程，更要重视由抽象到具体的运用过程，即将抽象的概念在思维中具体化。这也是激发学生深入思考、综合运用、培养思维能力的重要手段。

例如，五年级教材在教学“因数”和“倍数”的概念后，安排了例1（找因数）和例2（找倍数）两题，不仅帮助学生加深了对因数和倍数的理解，还探索了找因数和倍数的方法，而且引导学生观察、思考、归纳出因数和倍数的特点，丰富了数学概念的外延。

“数与代数”领域中概念教学策略的研究，还有很多值得我们去探索、总结和反思的地方。我们将为此作更多探索和实践为数学其他领域的教学策略研究提供可借鉴的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基础教育研究课题《“数与代数”领域中概念教学有效性的案例研究》（项目编号2010年C0018号）阶段性成果。执笔：冯胜、李伟，指导：冯回祥、杨道吉。

生1：有两个比。（板书：两个比）

生2：都是等式。（板书：相等）

生3：都是式子。（板书：式子）

③教师评价，引导概括：大家说得真好！像这样的式子，我们叫做比例。请大家议一议：什么是比例呢？

生1：有两个比相等的等式叫比例。

生2：表示两个比用等号连接的式子叫比例。

生3：表示两个比相等的式子叫比例。

④师生归纳，形成概念：通过大家的交流，我们知道了像这样表示两个比相等的式子叫做比例。

在比例概念建立的教学片断中，我们可以发现学生经历了从具体到抽象的概念形成过程，对比例的本质属性“两个相等的比”有了清晰的认识后，能准确地概括比例的概念。

2.在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。

在本领域的概念中，有些概念与其他概念有着密切的联系，属于下位概念，如乘法和倍、分数与百分数等。因此，这些概念只需要在迁移、类推的数学思维活动中，建立概念。如学生认识“倍”时，学生已经认识了乘法，而倍则是根据乘法的意义描述两个数之间的一种关系，其实质还是表示“几个几”。在教学时，在初步认识倍的含义后，需要引导学生迁移、类推出用倍来描述其他数量之间的关系。

①课件展示：几个同学正在用小棒摆图形呢，看，小红摆出了什么图形，用了几根小棒？（4根）可以说成几个几？（1个4）

②接下来，小丽摆出了什么？用了几根小棒？（2个4）

③小明摆出了什么？用了几根小棒？（3个4）3个4也可以说成4的3倍。

④下面物体的个数是几个几？也可以说成是几的几倍？

（3个2，也可以说是2的3倍。）

（5个3，也可以说成是3的5倍。）

⑤让我们回到小棒图，刚才小丽摆出了2个4，也可以说成是几的几倍？（4的2倍）1个4呢？（4的1倍）

在上面的教学片断中，我们提供给学生大量熟悉的“几个几”素材，让学生在新旧知识间找到合理的生长点，顺利从“几个几”过渡到“几的几倍”。

3.在概念间的对比和联系中，建立概念体系。

为了帮助学生有效地建立概念，我们应多次从所学数学概念出发，注重每一阶段该数学概念的扩充和发展，不断强化对其的理解。加强数学概念间的联系，形成概念体系，引导学生分析概念的来龙去脉，有助于学生建立完善的概念体系。在本领域中，有部分概念内在联系十分密切，需要引导学生主动比较概念间的共同点和不同点，帮助学生更好理解概念的本质属性。如六年级学习《比的意义》时，学生已经学习了分数、除法和比这三个不同的概念，我们设计这样的教学流程：

①引导思考：请同学们看看这张表，在15：10=1.5这个比中，这三个数分别是什么？在15÷10=1.5这个算式中，它们又分别是什么？在[1510]=1.5这个分数中呢？请大家将这个表格填写完整。

如图，比、分数和除法之间的关系：

[＼&15＼&10＼&1.5＼&比 15：10=1.5＼&前项＼&后项＼&比值＼&除法 15÷10=1.5＼&被除数＼&除数＼&商＼&分数 [1510]=1.5＼&分子＼&分母＼&分数值＼&]

②沟通关系：通过观察、比较我们可以发现比、分数和除法之间有着怎样的联系和区别呢？

第一次交流：比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数、分数的分母；比的比值相当于除法的商、分数的分数值；比号相当于除号和分数线。

过渡：我们知道分数是一个数。而除法和比呢？

第二次交流：分数是一个数，除法是一种运算，比表示两个数量之间的关系。

③明确特性：比的后项可以是0吗？

第三次交流：比的后项不能为0，这与除数不能为0和分母不能为0是一个道理！

三、“数与代数”领域概念有效教学的巩固与应用策略

1.在概念的正、反例证辨析中，理解概念内涵。

在数学概念建立后，及时运用正、反例证的辨析，有助于促进学生思考，加深对数学概念内涵的理解。这也是概念教学的重要策略。如在学生初步建立因数和倍数概念后，可以出示一组判断题：

①5×0.8=4，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。 （ ）

②4是因数，5也是因数，20是倍数。 （ ）

③72是8的倍数。 （ ）

④18的因数只有2和9。 （ ）

通过引导学生思考，对其本质属性进行变化，在与正例的比较中，以正激反，从反面突出内涵。通过质疑，学生发现因数和倍数之间是一种相互依存的关系，强调因数和倍数的研究范围是“整数（一般不包括0）”。

2.在概念的变式训练中，凸显概念内涵。

变式训练就是改变概念在最初学习时的呈现状态，目的就是进一步凸显对象的本质属性和概念内涵。当学生面对讨论对象的多种不同呈现状态时，通过判断训练来加深对概念的认识，巩固对概念的掌握。在上面的判断题中“72是8的倍数”，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”的意识又一次得到了渗透。

3.在概念的运用和反思中，丰富概念外延。

概念教学中，不仅要重视由具体到抽象的思维过程，更要重视由抽象到具体的运用过程，即将抽象的概念在思维中具体化。这也是激发学生深入思考、综合运用、培养思维能力的重要手段。

例如，五年级教材在教学“因数”和“倍数”的概念后，安排了例1（找因数）和例2（找倍数）两题，不仅帮助学生加深了对因数和倍数的理解，还探索了找因数和倍数的方法，而且引导学生观察、思考、归纳出因数和倍数的特点，丰富了数学概念的外延。

“数与代数”领域中概念教学策略的研究，还有很多值得我们去探索、总结和反思的地方。我们将为此作更多探索和实践为数学其他领域的教学策略研究提供可借鉴的研究方法和操作策略。

注：本文系湖北省基础教育研究课题《“数与代数”领域中概念教学有效性的案例研究》（项目编号2010年C0018号）阶段性成果。执笔：冯胜、李伟，指导：冯回祥、杨道吉。