感悟概念教学

程学青

一、给学生提供合适的“切入口”

教学片断一

师：下列函数中哪一个函数不是一次函数？（展示下图）

（1）y=-2x+3 ； （2）y=[x2]； （3）y=[2x] ； （4）y=2x-1

生：（3）（4）。

师：谈谈你的想法。

生：两个变量的比值不是一个定值。

师：说得好，抓住了一次函数的本质特征。（3）（4）都不是一次函数，那么这些函数是什么函数呢？

初始问题是数学概念教学的起点。一个好的初始问题，能为学生的思维活动提供了一个好的切入口，确定了一个好的方向，为学生的活动找到了一个载体，也为数学课找到了一个好的结构，同时也能激发学生的探究欲望。在片断一中，学生已经学习了一次函数的概念，并且知道一次函数的一般形式，通过反复比较、辨认、排出等活动可以确定（3）（4）非一次函数，初步体验非一次函数的存在，为形成反比例函数埋下伏笔，（2）式与（3）式的结构是非常相似的，仅仅只是自变量的位置不同，这一变化，函数的特性发生了变化，将生成一种新的函数，从而会促进学生对比新函数的探究意识，也让学生掌握了学习的主动权。

二、在体验过程中自然形成

教学片断二

师：我们学校距县城大约8千米，想一想，我们有哪些方式到县城？

生1：乘汽车。

生2：骑自行车。

生3：坐小车。

生4：步行也可以。

师：很好。请大家完成表格的填写。

活动1：从官庄到宜城有8千米，可以步行、骑自行车，坐公汽和小轿车，具体速度（千米/时）见下表：

[＼&步 行＼&骑自行车＼&乘公汽＼&坐小轿车＼&V千米/时＼&4＼&15＼&30＼&60＼&T小时＼&＼&＼&＼&＼&]

（学生填写表格。）

师：时间是速度的函数吗？

生1：是的，因为速度在变化，时间也在变化。

生2：不全面，对于每一个V的取值，有唯一确定的t值与之对应。

师：有道理，这两个变量之间的独特关系是什么？

生4：随着V的增大，t在逐步减少。

师：是，还有别的吗？

生5：两个变量之积是8。

师：很好，（板书：Vt=8）

师：想一想：V与t之间的关系还可以怎样表示？

生6：V=[8t]或t=8/V

活动2：你能设计一个面积为20平方厘米的矩形吗？

[长x＼&2＼&4＼&1＼&5＼&10＼&宽y＼&10＼&5＼&20＼&4＼&2＼&]

师：这样的矩形我们能设计多少个？

生：（齐）无数个。

师：矩形的宽是长的函数吗？为什么？

生1：对于x的每一个确定值，y有唯一确定的值与之对应。

师：在这两个问题中，y与x的关系相同吗？

生2：不相同，上例中两个变量之积等于8，本题中两个变量之积等于20。

生3：8和20都是常量，所以两个变量之间的关系是相同的。

师：生3的思考非常有理，事实上，上述两个问题的背景虽然不同，但两个变量之间的关系是相同的，即两个变量之积是常量（数）。我们把其中一个变量称为另一个变量的反比例函数。[板书：[y=kx]（[k≠0]）]

数学教学中，教师要注重让学生体验概念的形成过程，即概念在什么条件下蕴藏着，在什么背景下初露端倪，如何经过分析、对比、归纳、抽象，最后形成理性的概念。所以，教师应针对不同的教学内容，巧妙地设计概念的形成过程，引导学生自然地完成数学概念的构建。

借助典型具体的生活事例完成概念的构建。反比例函数概念比较抽象，学习不容易理解。因此，教师要遵循学生的心理规律，联系实际生活，提高学生学习热情。片断二的两个情境是学生非常熟悉的且这两个情境中都蕴含有反比例函数关系的因素，因而多数学生都能参与到数学学习中，从两个背景不同生活问题中探讨两个变量之积是常量这一相同的特殊关系，经过分析、对比、归纳，初步完成反比例函数建构，进而形成反比例函数概念。

片断二让笔者感悟到除了借助典型具体的生活事例完成概念的构建外，还有其他方式也能完成概念的构建。

以动手操作为载体完成概念的构建。在数学教学中，过于强调结论，只能促使学生单纯的模仿和记忆知识，但如果设计一个操作性很强的动手活动，并引导学生积极参与其中，使探究不是停止简单的操作层面，这样不仅能培养学生尊重客观事物的态度、科学探索知识的能力以及勇于创新的精神，而且还能达到数学概念呼之欲出的效果。例如，我们在教学矩形概念时，让学生拿出平行四边形框架，利用平行四边形的不稳定性拉动框架的一端，展示某一个角由锐角到钝角的变化过程，并思考“有没有一个特殊的平行四边形”“你能举出生活中类似长方形的物体吗”“在平行四边形的基础上增加一个什么条件就成为了一个矩形”之类的问题。这一案例让学生先从动手操作中感知特殊的平行四边形的存在，同时类比生活中的矩形状物体的实例，从而让学生自然把握住概念的核心，进一步完成矩形概念的构建。

以失败、错误为教学资源完成概念构建。数学具有精确性和严密性的特点，因此教师要有意识地培养学生言必有据、一丝不苟、坚持真理、修正错误的科学态度。然而，学习中发生各种各样的失误、错误总是难免的，也是正常的。教师要改变以往对待失败、错误像对待“敌人”一样的态度，应把学生犯错的过程看成尝试和创新的过程，要把失败、错误视为一种生成性的资源，以新的观念、新的眼光，站在新的视角对其价值进行重新定位，因“题”制宜地处理好来自学生的错误，会得到意想不到的效果。例如，在《圆》的概念教学中，教师原本设计问题组：“生活中有哪些物体给我们以圆的形象？”“你能不借任何工具画一个圆吗？”“借助圆规是否一定能画一个圆？”“尝试：用圆规画一个圆。”“借助细绳画圆。”“想一想这两种方法画圆满足的相同的关系是什么？”而在实际画圆的操作过程中，由于黑板的光滑，学生在画圆时导致圆规固定的一端滑动，从而使画圆失败。教师机灵一动，抛开了原来的教学设计，顺势提出“圆规也不能画圆，这是为什么？”接着教师又非常隐蔽地改变圆的半径，又画失败了。在操作失败后，师生一起分析了失败的原因，形象而又生动地把圆的概念核心——定点、定长这两个条件挖掘出来了，水到渠成地完成了概念的构建。endprint

三、在运用掌握中实现系统化

练习：下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数？[k]的值为多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

议一议：小明是一个爱动脑筋的学生，一次住院打点滴时，发现瓶中剩余药量随着时间推移而越来越少，因此，他认为瓶中剩下的药液量是时间的反比例函数，你认为他的想法对吗？

生：（齐）对。

师：为什么？

生1：一个变量增加，另一个变量减少，这不就是反比例吗？

师：真的吗？下面我们一起来验证。

（假设药瓶中有药液500毫升，每分钟滴25毫升。）

[时间t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩药液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它们的乘积＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老师给出时间t为5，10，15，20时，学生很快算出剩药液量和它们的乘积，并进行了激烈的讨论，之后学生露出了惊讶的表情，老师紧接着就提问。）

师：它们的乘积还是一个定值吗？t是V的反比例函数吗？

生：不是。

师：你能写出V与t的关系式吗？

生：V=500-25t。

师：其实V是t的一次函数。

练习的一个重要目的是“识别”，识别是概念形成的重要环节，同时反馈反比例函数是否理解和反比例函数的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式与反比例函数解析式有所变化，这其实是一种变式，不同的形式反映的本质特征是相同的，因此使学生理解反比例的概念。因为把握概念的本质特征需要一个过程，在这个过程中突出一些非本质因素的干扰，进而使概念的本质特征更加突出。所以设计议一议，有意让学生犯错误，认为剩药液量是时间的反比例函数，让学生追寻着这些错误充分地探究，跌倒爬起，经历一个曲折过程后得出一个与自己的猜想相矛盾的结论，再通过知识的迁移，进而使反比例函数概念的本质特征更加突出。教师还可以设计拓广引伸练习，让学生更准确把握正、反比例函数的本质特征，进一步加深对反比例函数的运用和理解。片断三中，所有环节实质上都是反比例函数概念的巩固和运用，其共同目的是为了让学生经历亲身体验反比例函数概念形成后的理解和运用，是让学生把所学的知识进一步内化，系统化。

责任编辑 陈建军endprint

三、在运用掌握中实现系统化

练习：下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数？[k]的值为多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

议一议：小明是一个爱动脑筋的学生，一次住院打点滴时，发现瓶中剩余药量随着时间推移而越来越少，因此，他认为瓶中剩下的药液量是时间的反比例函数，你认为他的想法对吗？

生：（齐）对。

师：为什么？

生1：一个变量增加，另一个变量减少，这不就是反比例吗？

师：真的吗？下面我们一起来验证。

（假设药瓶中有药液500毫升，每分钟滴25毫升。）

[时间t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩药液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它们的乘积＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老师给出时间t为5，10，15，20时，学生很快算出剩药液量和它们的乘积，并进行了激烈的讨论，之后学生露出了惊讶的表情，老师紧接着就提问。）

师：它们的乘积还是一个定值吗？t是V的反比例函数吗？

生：不是。

师：你能写出V与t的关系式吗？

生：V=500-25t。

师：其实V是t的一次函数。

练习的一个重要目的是“识别”，识别是概念形成的重要环节，同时反馈反比例函数是否理解和反比例函数的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式与反比例函数解析式有所变化，这其实是一种变式，不同的形式反映的本质特征是相同的，因此使学生理解反比例的概念。因为把握概念的本质特征需要一个过程，在这个过程中突出一些非本质因素的干扰，进而使概念的本质特征更加突出。所以设计议一议，有意让学生犯错误，认为剩药液量是时间的反比例函数，让学生追寻着这些错误充分地探究，跌倒爬起，经历一个曲折过程后得出一个与自己的猜想相矛盾的结论，再通过知识的迁移，进而使反比例函数概念的本质特征更加突出。教师还可以设计拓广引伸练习，让学生更准确把握正、反比例函数的本质特征，进一步加深对反比例函数的运用和理解。片断三中，所有环节实质上都是反比例函数概念的巩固和运用，其共同目的是为了让学生经历亲身体验反比例函数概念形成后的理解和运用，是让学生把所学的知识进一步内化，系统化。

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三、在运用掌握中实现系统化

练习：下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数？[k]的值为多少？

①[y=0.4x]，②[y=x2]，③[xy]=3，④[y]=-6[x]+3，⑤[xy]+7=0，⑥[y]=5[x]-1

议一议：小明是一个爱动脑筋的学生，一次住院打点滴时，发现瓶中剩余药量随着时间推移而越来越少，因此，他认为瓶中剩下的药液量是时间的反比例函数，你认为他的想法对吗？

生：（齐）对。

师：为什么？

生1：一个变量增加，另一个变量减少，这不就是反比例吗？

师：真的吗？下面我们一起来验证。

（假设药瓶中有药液500毫升，每分钟滴25毫升。）

[时间t＼&5＼&10＼&15＼&20＼&剩药液量＼&375＼&250＼&125＼&0＼&它们的乘积＼&1875＼&2500＼&1875＼&0＼&]

（老师给出时间t为5，10，15，20时，学生很快算出剩药液量和它们的乘积，并进行了激烈的讨论，之后学生露出了惊讶的表情，老师紧接着就提问。）

师：它们的乘积还是一个定值吗？t是V的反比例函数吗？

生：不是。

师：你能写出V与t的关系式吗？

生：V=500-25t。

师：其实V是t的一次函数。

练习的一个重要目的是“识别”，识别是概念形成的重要环节，同时反馈反比例函数是否理解和反比例函数的解析式是否掌握。⑤[xy]+7=0⑥[y]=5[x]-1的形式与反比例函数解析式有所变化，这其实是一种变式，不同的形式反映的本质特征是相同的，因此使学生理解反比例的概念。因为把握概念的本质特征需要一个过程，在这个过程中突出一些非本质因素的干扰，进而使概念的本质特征更加突出。所以设计议一议，有意让学生犯错误，认为剩药液量是时间的反比例函数，让学生追寻着这些错误充分地探究，跌倒爬起，经历一个曲折过程后得出一个与自己的猜想相矛盾的结论，再通过知识的迁移，进而使反比例函数概念的本质特征更加突出。教师还可以设计拓广引伸练习，让学生更准确把握正、反比例函数的本质特征，进一步加深对反比例函数的运用和理解。片断三中，所有环节实质上都是反比例函数概念的巩固和运用，其共同目的是为了让学生经历亲身体验反比例函数概念形成后的理解和运用，是让学生把所学的知识进一步内化，系统化。

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