水翼剖面多目标粒子群算法优化

黄胜，任万龙，2，王超

（1.哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨150001；2.山东省科学院海洋仪器仪表研究所，山东青岛266001）

水翼剖面多目标粒子群算法优化

黄胜1，任万龙1，2，王超1

（1.哈尔滨工程大学船舶工程学院，黑龙江哈尔滨150001；2.山东省科学院海洋仪器仪表研究所，山东青岛266001）

船舶螺旋桨及舵均由水翼剖面组成，为了提高桨、舵的水动力性能，需要对水翼进行优化设计，以便得到水动力性能更好的桨及舵。提出一种基于线性权重处理的多目标优化算法，以降低阻升比和改善水翼表面压力分布为优化目标，将其应用到多目标水翼优化中。分别选取不同的攻角、不同翼型和不同的翼型表达函数进行优化设计。优化后得到的新翼型相对于原始翼型，具有低阻生比和较低的最小负压力系数，提高了翼型的升力效率和空泡性能。因此，验证了提出的多目标粒子群算法能够应用到多目标翼型优化设计的可行性。

水翼剖面；阻升比；压力分布；升力效率；空泡性能；多目标粒子群算法；线性权重策略

现代船舶对螺旋桨要求增多，在满足螺旋桨推进效率的基础上，还要尽可能的抑制螺旋桨空泡的发生，以减小空泡诱发各种不利影响产生的机会。这就需要设计较高要求的螺旋桨叶剖面。因此在翼型设计中既要考虑升阻比，还要考虑抗空化性能成为设计翼型的目标，也就是多目标翼型设计。国内对气动翼型的优化设计比较多，隋洪涛［1］等采用Pareto基因算法进行了翼型多目标的气动优化设计；王洪亮［2］采用dpm-pso算法进行翼型多目标的气动优化设计；李胜忠等［3］提出了基于CFD对水翼进行了多目标的优化设计；呼政魁［4］基于多学科设计优化框架软件iSIHGT、CFD软件Fluent以及遗传优化算法对翼型的气动特性进行优化设计。樊艳红等［5］推导了Adjoint方程及其边界条件，目标函数对设计变量梯度求解，并在BFGS拟牛顿优化算法中引入线搜索方法，提高了优化设计方法的鲁棒性。

NACA机翼剖面在船用桨舵上应用较多，但该翼型的开发是以飞机机翼为应用目标，没有考虑空泡问题。因而为了设计符合桨、舵水动力性能，特别是抗空泡特性的叶剖面，有必要对翼型进行多目标优化设计［6］。本文提出一种基于线性加权策略的多目标PSO（particle swarm optimization）算法，把其运用到水翼剖面优化设计之中，通过比较优化前后水翼的升力系数、阻力系数以及剖面的压强分布等特性参数来分析本文所提方法的可行性。

1 多目标粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

粒子群优化算法PSO源于对鸟群觅食行为的仿生研究，社会群体中的信息共享是推动算法的主要机制［7-8］。该算法把每个个体看作是n搜索空间中一个没有质量和体积的粒子，每个粒子都有自己的位置xi、速度Vi及相应的由目标（代价）函数决定的适应值。与一般的进化算法相比，PSO概念简单、容易实现，且需要调整的参数少，目前广泛地应用于各种智能控制领域。

该模型可被抽象成以下形式：每个个体由其当前位置xi、速度Vi组成，其所能感知的最优位置由P表示，其中全局最优位置由Pgd（t）表示，而局部最优位置由Pid（i）表示。由以下2个公式模拟群体的运动演化过程：

式中：ω为惯性权值，反映了算法在全局搜索和局部搜索之间的选择；c1、c2为非负常数，称为认知和社会参数；r1、r2为［0，1］之间的随机数；k为压缩因子，表示为对粒子的飞行速度进行约束；通常还需要对粒子中每维的位置和速度变化设置一个范围，如超过这个范围则将其设置为边界值，粒子群的初始位置和速度由随机产生［9］。

1.2 多目标优化

多目标优化的数学模型的一般表达式为

式中：f1（x），f2（x），...，fn（x）为优化目标；gi（x）和hj（x）分别为不等式约束和等式约束［10］。

在大多数情况下，各个目标函数间可能是冲突的。这就使得多目标优化问题不存在惟一的全局最优解，使所有目标函数同时最优。但是，可以存在这样的解：对一个或几个目标函数不可能进一步优化，而对其他目标函数不至于劣化，这样的解称之为非劣最优解。

本文提出了基于线性加权策略的多目标PSO算法，用于求解多目标优化问题。算法在决策变量空间初始化一个粒子群，通过多目标优化问题中的各个目标函数分配权重，共同指导粒子在决策变量空间中的飞行，使其最终得到非劣最优解。图1为极小化f1（x）、f2（x）时目标函数空间中搜索情况。如果只有目标函数f1（x）或f2（x），目标向量A将沿着v1、v2方向变化，则目标f1（x）搜索到B1或者f2（x）搜索到B2，而算法中目标函数f1（x）、f2（x）通过决策变量空间的粒子共同指导A的变化，所以A既不沿v1方向变化，也不沿v2方向变化，而是从v1、v2间某一f1（x）、f2（x）同时增大的方向变化，最终到达满意解C［11］。

图1 目标函数空间Fig.1 Objective function space

具体通过下述方式实现：首先，用多目标优化问题中的各个目标函数，找到每个粒子对应于各个目标函数的全局极值gBest［i］（其中，i＝1，2，...，n是目标函数的个数）和个体极值pBest［i，j］（其中，j＝1，2，...，n是粒子个数）。其次，在更新每个粒子的速度时，根据每个目标对整个群体的影响程度来判断各个gBest［i］在全局极值gBest中所占的比重，得到全局极值gBest；同理应用到每个粒子的局部极值pBest［i，j］。

1.3 算法验证

为了验证本文提出算法计算多目标问题的有效性，本文选取测试函数（式（4））进行验证。测试函数是Schaffer在文献［12］提出的，大部分多目标优化问题算法都用其做测试以验证算法的有效性。

对于PSO算法的参数，本文给定学习因子C1＝C2＝2，惯性权重从1.2线性减小到0.2。测试函数为

对于测试函数，学习因子和惯性权重的取值如前所述，目标函数分别为f1（x）与f2（x），由［－5，7］可以确定Vmax＝12。首先，随机产生100个粒子的位置xi、速度Vi组成；其次，以f1（x）与f2（x）作为适应度函数分别求得在两目标函数下每个粒子的个体极值pBest［1，i］和pBest［2，i］以及2个全局极值gBest［1］和gBest［2］；再次，由每个粒子的全局极值和个体极值并根据目标函数之间的权重关系更新每个粒子时所需要的2个极值gBest［1］和gBest［2］。最后，为了确定权重选取对优化结果的影响，本文选取3个不同权重，根据式（1）、式（2）实验循环迭代了300次，300个粒子是满足条件的解。由得到的300个解绘制的Pareto曲线如图2所示。

图2 不同权重分配的Pareto曲线Fig.2 Pareto curve of different weights

图2 （a）中，2个目标的重要程度是相同的，粒子的全局最优位置和局部最优位置由2个目标的全局最优和局部最优的均值决定，Pareto曲线不偏向任何一个目标函数；在图2（b）中，从图中可以清楚的看出，函数f1（x）的权重大，则Pareto曲线偏向f2（x）；图2（c）中，函数f2（x）的权重大，则Pareto曲线偏向f2（x）。由此可知，权重影响最佳粒子的进化方向，权重大，则最佳粒子偏向权重大的一个目标。因此要详细了解2个目标函数的相互影响程度，确定好权重，才能得到期望得到的结果。

2 翼型外形描述

一般而言，可以根据所给条件在翼型资料中选择一个作为优选初值的母型（baseline-foil），然后将优化设计的翼型坐标（x，y），用下列方程表示［3〛：

式中：yup（x），ylow（x）分别表示翼型上下表面的纵坐标；youp（x），yolow（x）分别为原来的翼型上下表面的纵坐标；Ck为控制翼型变化的量范围可取［－0.000 2，0.000 2］或者根据当地的厚度坐标适当选择合适的比例；fk（x）为所选用的函数［9］。

优化设计的性能与型函数的选取有关，不同的型函数对优化设计的质量和效率会产生一定程度的影响。常用的型函数有多项式型函数，Hicks-Henne型函数和Wagner型函数3种［13］。

1）Hicks-Henne型函数：

式中：当k＝2，3，4，5，6，7时，xk分别取0.15，0.3，0.45，0.60，0.75，0.9。在应用中按照粒子群优化数学模型的概念。

2）Wagner型函数：

式中：θ＝2 sin－1（x ）。

3）多项式函数：

式中：A＝max（0，1－2xk），B＝max（0，2xk－1）。该型函数以xk为分界点，把曲线光滑的连接起来，且二阶导数连续。

翼型优化设计通常选取Hicks-Henne型函数来表示翼型，本文为了研究翼型型函数选取对优化计算结果的影响，分别对3种翼型型函数进行优化研究。由于粒子模型中有维数的概念，式（5）、式（6）中的Ck，k＝1，14就是粒子的维数。粒子的数目n就是可供候选的n组变化的水翼形状，称为种群规模。

3 设计算例和讨论

3.1 目标函数的确定

选取2017年3月～2018年3月我院收治的早发冠心病患者240例作为研究对象，按照患者年龄将其分为对照组与实验组。其中，对照组年龄60～80岁，平均年龄为（72.14±1.58）岁；实验组年龄30～50岁，平均年龄为（40.14±1.06）岁。男113例，女127例，两组患者一般资料比较，差异无统计学意义（P＞0.05）。

翼型优化设计中通常选取性能参数作为目标函数，如升力系数（最大）、阻力系数（最小）、升阻比（最大）等［14］。当选取多个参数作为目标函数时，优化问题即多目标优化。本文选取阻升比（最小）和压力系数（最小）作为目标函数，由于翼型变化对压力系数影响较小，因此在优化过程中，经过作者多次尝试，压力系数的权重取为0.8，升阻比取为0.2为最佳状态。为了研究本算法的可行性，本文分别取3组不同的算例，进行计算。分别为：不同攻角下的多目标优化设计、对称翼型和非对称翼型的多目标优化设计、不同翼型函数的多目标优化设计。

3.2 优化算例

3.2.1 不同攻角翼型优化设计

水翼进行优化时，水翼所处的条件对优化结果也会对优化结果产生一定的影响。为了分析这种影响，本文针对螺旋桨通用翼型NACA66mod，以阻升比和压力面的最小负压力系数为优化目标，应用本文所述多目标粒子群算法，结合面元法理论进行翼型的优化设计。本文选取攻角为0.5°和1.5°的NACA66mod翼型，进行优化。优化设计的目标：

限制条件为：升力系数不能降低和最大迭代次数。采用多目标粒子群算法进行优化，得到最终的全局最优和局部最优。

图3为2种条件下优化前后翼型的形状对比。从图中可以看出，优化翼型比原始翼型厚度稍有减小，优化翼型稍有弯度，利于升力增加。尾部厚度稍有增加，利于表面压力系数分布更加均匀。

空泡的产生主要是由于某处的压力系数降至临界值以下，导致爆发式的汽化，从而形成气泡，导致压力的骤变，从而对翼型产生破坏。优化过程就是将翼型的压力系数降低，以减少产生空泡的概率。图4给出了在2种条件下翼型表面压力系数分布在优化前后的对比，x／C表示无因次弦长，Cp表示压力系数。从图4（a）中可以看出，优化翼型的最小负压力系数的绝对值比原始翼型减小，产生空泡的可能性降低，能够避免或延迟空泡的产生。图4（b）中最小负压力系数出现在翼型端部，本文选用面元法进行计算时，翼型的端部处理未进行倒圆处理，翼型压力计算可能会有误差，因此除去翼型端部，其他部位的最小负压力系数的绝对值是减小的，仍可认为优化结果是有利于空泡性能的。

图3 翼型优化前后对比Fig.3 Hydrofoil comparison of before and after optimization

图4 优化前后压力系数Cp的变化Fig.4 Cpcomparison of before and after optimization

从上述数值仿真对比来看，应用本文提出的多目标粒子群优化算法，翼型的阻升比得到降低，并且翼型表面的最小负压力系数的绝对值降低。优化过程中，使得翼型的最小负压力系数得到改善，减小了产生空泡的可能性，因此能够很好地抑制空泡的产生；而且在优化后，阻升比得减小（升阻比提高），升力比原翼型升力增加。因此该方法是可行的。3.2.2 不同类型翼型优化设计

表1 翼型性能参数随迭代次数变化Table 1 Hydrofoil performance parameters changing with the iterations

为了验证该算法的通用性，本文选取2种通用水翼NACA0021和NACA66mod进行优化设计。算法的参数和目标函数都与前面一致。其中，NACA0021为对称翼型，NACA66mod为非对称翼型。对称翼型为舵常用的翼型，非对称翼型一般为桨叶常用的翼型。由于不同翼型有不一样的水动力特性，优化的侧重点也不一样。NACA66mod的计算结果如前一节所示，得到了比较满意的结果。采用NACA0021翼型作为原始翼型，进行优化计算，计算结果如图5、6和表2。经过2种权重分配的优化设计，由计算数据可知，对称翼型外形修改对阻升比影响很大，阻升比比原翼型降低40%以上，升力系数也增加40%以上，最小负压力系数的绝对值比原翼型减小，空泡性能得到改善。

因此，对于对称翼型来说，翼型的外形修改，阻升比和升力系数的影响相当显著，然而最小负压力系数的影响相对而言，改善并不是很大，但是仍然得到提高。综合NACA0021和NACA66mod翼型的优化结果，验证了本方法对对称翼型和非对称翼型的优化设计均可行。

3.2.3 不同型函数翼型优化设计

图5 NACA0021压力系数分布Fig.5 Cpof NACA0021

图6 NACA0021翼型变化Fig.6 Hydrofoil comparison of NACA0021

表2 NACA0021翼型优化过程Table 2 Optimization process of NACA0021

翼型的外形描述有前述3种表示方法，分别为Hicks-Henne函数、Wagner函数和多项式函数。不同的翼型函数对优化结果会产生一定的影响，本文分别选取3种翼型的表示函数进行优化，探究翼型的表达函数对优化结果的影响。本次优化条件为，攻角为0.5°，进速为10 m／s。

表1、表3、表4分别是翼型函数为Hicks-Henne函数、多项式函数和Wagner函数的优化结果。从表中数据可以看出，在优化过程中，3种表达方式都得到了阻升比减小的结果，Wagner函数表达的翼型阻升比减小最为明显，且迭代次数最少。其中，Hicks-Henne函数表达的翼型，在优化过程中升力系数得到提高，多项式函数表达的翼型则出现升力系数下降的情况，Wagner函数表达的翼型升力系数下降。

表3 多项式函数Table 3 Polynomial function

表4 Wagner函数Table 4 Wagner function

从图7中压力系数曲线可以得知：Hicks-Henne函数和多项式函数表达的翼型优化后的最小负压力系数的绝对值减小，并且翼型平均压力系数得到减小，有利于避免或延迟空泡的产生；Wagner函数表达的翼型压力系数并无明显改善，只在翼型的两端发生急剧变化，这与Wagner函数表达形式有关。

由图8中曲线可知，多项式翼型函数，在优化过程中翼型的厚度减小，Wagner翼型函数在改变翼型时，只改变了翼型的两端，翼型的中部发生变化极小。前2种翼型表达方式都使得优化翼型，阻升比降低，空泡性能得到优化。其中，多项式函数表达的翼型，升力系数有所降低，有可能使得翼型的升力达不到要求，这是多项式函数表达翼型的一个缺陷。Wagner函数翼型过程中，虽然阻升比得到明显变化，但是升力系数及压力系数分布都不能满足空泡性能的要求。因此，水翼优化常用的翼型表达方式选取Hicks-Henne函数。

图7 不同翼型函数压力系数分布Fig.7 Cpof different hydrofoil expressions

图8 不同函数表示翼型Fig.8 Hydrofoil comparison of different expressions

4 结束语

本文基于线性权重策略的多目标粒子群优化算法，与面元法相结合，提出对翼型的多目标优化设计，并对该算法进行多目标优化问题的解决能力进行了验证。经过本文算例表明：在不同优化条件下，采用Hicks-Henne函数族表示翼型，对不同的翼型，采用本文提出的方法进行翼型的多目标优化设计，优化后得到的新翼型相对于原始翼型，具有低阻升比和较低的最小负压力系数，提高了翼型的升力效率和空泡性能。因此，经过优化后的翼型，可用于桨舵的设计，为桨舵的设计提供参考。

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Multi-objective particle swarm optimization of hydrofoil sections

HUANG Sheng1，REN Wanlong1，2，WANG Chao1
（1.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.Institute of Oceanographic Instrumentation，Shandong Academy of Sciences，Qingdao 266001，China）

Both ship propeller and rudder are composed of hydrofoil sections.In order to improve the hydrodynamic performance of propeller and rudder，the design of hydrofoil sections needs to be optimized to get the propeller and rudder with better hydrodynamic performance.The multi-objective particle swarm optimization algorithm based on linear-weight strategy was proposed for reducing the drag-lift ratio and improving the hydrofoil surface pressure distribution.This algorithm was applied to the multi-objective hydrofoil optimization.Different attack angles，different hydrofoils and different hydrofoil expression functions were selected respectively for the optimization.The new hydrofoil after optimization had lower drag-lift ratio and minimum negative pressure coefficient than the original one，which improved the lift efficiency and cavitation performance of the hydrofoil.Therefore，the feasibility of applying multi-objective particle swarm optimization to multi-objective hydrofoil design was verified.

hydrofoil section；drag-lift ratio；pressure distribution；lift efficiency；cavitation performance；multi-objective particle swarm optimization；linear-weight strategy

10.3969／j.issn.1006-7043.201309097

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201309097.html

U662.3

A

1006-7043（2014）12-1451-07

2013-09-29.网络出版时间：2014-12-04.

国家自然科学基金资助项目（51309061）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（HEUCFR1102）.

黄胜（1945-），男，教授，博生研究生；王超（1981-），男，讲师，博士.

王超，E-mail：wangchao0104＠hrbeu.edu.cn.