直观性和应用性在数学教学中的作用

管涛，左萍

(中国人民公安大学网络安全保卫学院，北京 102600)

直观性和应用性在数学教学中的作用

管涛，左萍

(中国人民公安大学网络安全保卫学院，北京 102600)

数学是科学的基础，在绝大部分文理专业中，数学都是基础课程之一。但是目前高校数学教学普遍存在重理论轻应用的现象，公安大学也不例外，具体体现为学生无法将数学知识融汇贯通到本专业中去。为让学生明确数学学习目的，摆脱盲目学习、理论与实际脱节、无法学以致用的现象，我们有必要在数学课堂教学中改变思路改进方法，以直观的表述方式揭示数学知识的本质，以案例教学展现数学与实际公安工作的联系，建立积极正确的数学理念与学习方法。

直观性;应用性;数学模型;案例教学

0 引言

数学是最古老的一门基础科学，逻辑性和抽象性在数学科学中体现的淋漓尽致，数学以基本的公理作为理论基础，定义定理等知识点环环相扣，形成一个严密的知识体系。也正因如此，教师在数学课程中极容易出现“定义+定理+例题”的讲授方法，导致学生死记公式不会灵活应用，“得意忘形”，一学期学下来毫无收获，感到“数学无实际用处”［1］。

出现这种情况的根本原因在于教与学之间产生脱节。数学本身是一门非常严密的科学，有些教师课堂上通篇照本宣科，把大部分时间浪费在定理推导过程中，以此体现数学的逻辑性和抽象性。但事实上，我们的学生不是数学专业，因此他们的任务不是深入研究数学，而是要深入浅出地理解数学知识，并把现有的数学知识应用到公安专业中去。如果把数学纯粹的抽象化，知识来源脱离现实，学习目的脱离实际，那无异于缘木求鱼南辕北辙，教学质量无法得到预期的效果。

事实上，数学问题是现实世界具体现象的抽象升华，而数学理论最终又将应用于现实世界来解决实际问题。因此在数学的学习过程中，我们完全可以依赖数学直观，让数学理论变得浅显易懂，也可以体现数学应用，让学生知道我们要干什么，从而让数学学习变得有意义有动力。

1 数学学习必须体现直观性原则

捷克教育家夸美纽斯认为，“直观性”是基本教育原则，“在可能的范围内，一切事物都应该尽量地放在感官跟前”，“只有通过感官产生的直观，才会获得深刻的印象，从而有助于记忆。”［2］俄国教育家乌申斯基更是进一步指出“逻辑不是别的东西，而是自然界的事物和现象的联系在我们头脑中的反映”。作为教学的重要手段，直观性原则已经被无数教育家多次探讨，其在教学中的重要地位毋容置疑。

众所周知，数学这门科学的特点就是抽象性和严密性，恰恰是这两点让初学者难以把握。为加深理解便于记忆，就必然需要实例支撑，把抽象理论具象化。因此直观性原则就更有其用武之地——把抽象的数学概念变成有血有肉的直观形象。譬如在讲授连续性时，学生固有间断概念通常来自于分段连续函数，而Dirichlet函数可以让学生直观地看到间断概念的复杂性。数学史上也不乏这种先例，魔方这个风靡全球的智力玩具，是Rubik教授为了直观演示空间变换而发明的，复数的几何意义、非欧几何的建立，都印证了数学直观形象对概念理解及发展的重要性。

在公安大学2012、2013级学生中抽样调查结果显示，相当一部分学生认为数学课程有一定难度，原因是多方面的，大致分为如下几类:①刚刚步入大学，思维模式还停留在中学阶段，没能迅速转型;②对数学知识领悟的不透彻，单凭死记硬背，学习效果不佳;③自习时间不足，导致知识消化不彻底。其中第2点原因，教师要承担很大一部分责任，产生这个现象的原因在于教师的理念以及教学方法的陈旧，没有做到与时俱进。很多老师还是拘泥于数学研究的严密性，把数学知识的细枝末节都介绍的面面俱到，但是并没有考虑到学生的专业等实际情况。公安大学作为“共和国警官的摇篮”，办学目标并不是培养数学科研工作者，当然也不需要学生对数学的本原基础进行深入研究，相比较而言，数学概念的直观性以及数学理论的实用性更为重要。如我们操作电脑的关键是要学习各种软件使用规则和方法，但是这些软件是如何编译的，四核cpu是如何架构的，这是专业程序员的问题，并不是一般用户需要了解的东西，而且恰恰相反，这些基层理论技术都被“黑箱”封存起来不让一般用户接触到。对于非数学专业的学生，我们也应采取这种态度，不必太注重细节，但应该举出具体例子让理论具象化，除此之外，也可构造一些直观性的说明来辅助教学。一般来讲，数学直观可由数学图示、实际操作和现实情境提供［3］。

1.1 数学图示类的直观

讲授《高等数学》定积分时，一个常用技巧就是化简具有奇偶性的函数在对称区间的积分。课本上一道例题给出了化简法则的代数证明，但是纯代数推导过程会让学生感觉过于抽象，课程也会变得乏味。如果使用直观的图形，进行无字证明，就可以让学生从图示中直接看到奇函数积分左右抵消的结果。

再进一步加强，对称中心(对称轴)不在原点(y轴)时，也可以通过平移使用这个性质，常见的情形如:任意正(余)弦函数在每个波峰波谷之间的半个周期上的定积分都是零，而不一定要关于原点对称。如图1。

图1 正弦函数的局部图像

为了让学生更透彻更直观地了解知识点，需要具体的例题支撑，接下来给出例1，计算定积分

学生直观的看到较复杂的函数计算也可以简化，自然对这个性质印象深刻，应用起来也会得心应手。

1.2 实际操作类的直观

《概率论》的贝叶斯公式一节有一个著名的问题——三门问题。

例2在一个电视节目中，有3扇关闭了的门，其中有一扇门的后面奖品是汽车，另外两扇门后面的奖品则是一只山羊，当然我们都希望拿到汽车，而不愿意把山羊领回家。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道内情的节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，故意露出其中一只山羊。请问此时是否应该换另一扇仍然关上的门?

这个问题出自于名为Let＇s Make a Deal的美国电视节目，经常出现在网络论坛上，每次都会引起激烈的争论，因为虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。和网上的情形一样，课堂上也出现了两种完全不同的声音。如果仅仅通过计算得到结果，似乎做不到让学生“口服心服”。因此我们可以课堂上现场操作这样一个具体案例，让学生在操作过程中回归概率的本质，直观地看到这个结果，再进一步分析为什么会有这样的结果，经过这样一个实际操作的模式，可以让学生对全概公式以及贝叶斯公式的本质更加清晰，达到了很好的学习效果。

此外，此问题的答案与主持人是否知情有关:原题中主持人知情，故意开了一个“羊门”，那么更换后获奖概率从1/3上升至2/3;如果把条件稍加修改，改为主持人不知情，只是恰好打开一个“羊门”，那么换不换是一样的，获奖率都是1/2。这个细节上的差别恰恰就是引起争论的根源。

1.3 现实情境类的直观

《线性代数》是数学基础课中抽象程度最高的课程，代数也被H.Weyl喻为“恶魔”。该课程概念繁多且环环相扣，尤其在目前数学课时并不富余的大环境下，借助数学直观让学生把这些抽象概念具体化，顺利的制服这个“恶魔”，是一个值得探讨的话题。

矩阵的秩是线性代数中出现的第一个难于理解的概念，初学者在看完定义后的困惑就是“这个概念究竟要干什么?有什么用?”。此时可以给出一个不太严格，但是很直观的解释——秩就是矩阵包含的信息量!再给出秩为0、1、2的矩阵配合定义加以说明，学生脑中秩的直观印象就建立起来了。

再由此可以深入浅出地介绍其他一些和秩相关的理论。如齐次线性方程组解空间的维数，也可以从直观的角度加以说明。如果方程组中一个方程都没有，那么n维空间中随意一点都满足方程组，有n个自由度，每添加一个新的方程就相当于限制了一个自由度。但是重要的不是方程的总数，也许100个方程的信息量都是重复的，因此重要的是“新的”方程的总数，也就是矩阵的秩。

还有一些常用不等式也能以直观性原则说明。例如r(AB)≤r(B)，矩阵B所携带的信息量就是r (B)，无论对它加以什么样的线性变换A，也无法增加其信息量，至多只能保持不变，或者减少。同样r (A+B)≤r(A)+r(B)，矩阵叠加后信息量不会超过原来两个矩阵的总和，还有可能因信息重复而减少，因而不等式成立。

当然直观解释并不是万能的，从上述例子可以看出，为了把概念解释的更直观，通常需要丧失一些严密性。Philip J.Davis和Reuben Hersh［4］给出了数学直观的一些负面性质:直观是严密的对立面;直观意味着不全面;直观意味着不考虑问题的细节、不对问题进行分析，意味着全体或统合。笔者认为对于非数学专业的学生来说，这种严密性的缺失是可以接受的。

2 数学理论应该贴近实际应用

德国数学家高斯曽把数学喻为“科学的女王”，体现了数学理论在其他各学科中的指导作用。我国著名数学家华罗庚也曾说过，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，无处不用数学。”这是对数学与现实世界关系的精彩描述，在上世纪60年代他本人也亲力亲为，致力于把数学应用到实际生产生活当中，在当时极差的学术科研环境中促进了科学技术在工农业生产中的应用。公安学和公安技术学作为新成立的一级学科，自然也离不开数学这个重要的科研工具。

但是很多学生对数学的应用性不甚了解，总认为数学知识学了没用，产生这种观念的原因在于数学应用并不是浮现于表面上，而经常渗透在公安技术的幕后，因此，不能直接看到数学的具体应用。因此教师在授课过程中也有责任给学生揭示数学应用性的重要意义，让学生了解并能主动运用数学工具进行专业研究。

数学课主要集中在前3个学期，学生的知识储备还不够丰富，所以很多高深技术的数学应用他们并不理解，为解决这个矛盾，更需要把数学应用和数学直观结合起来，深入浅出地揭示出隐藏在公安技术背后的数学理念，让学生看到数学在实际问题尤其是公安问题中的发挥强大作用，让学生学得有目标有方向有动力。

如函数连续性是较为抽象的一节内容，这一节没什么具体计算，通篇是理论的证明，学生学到这种知识点时经常会有飘渺的感觉，为解决这种问题可引入下面的数学模型问题。

例3把椅子放在不平的地面上，通常只有3条腿着地，放不稳，然后只需稍微挪动，一般都可以使4条腿同时着地，这是必然还是偶然［5］?

问题的解法这里不再赘述。通过这样一些实际生活中的例子，让学生看到连续性理论的作用，让飘渺在半空的知识落下来脚踏实地，对知识的理解以及运用也会更为熟练。

这个例子似乎离公安专业还是较远，还不足以让学生深刻了解数学在公安工作中的具体应用。下面结合公安大学的公安专业特色，举出一些体现公安工作中数学应用的教学案例。

3 公安工作中数学应用性的案例教学

案例1层析成像。线性代数源自于线性方程组求解问题，学生在初学时会觉得问题本身过于初等，初中就开始解方程组了为什么现在还要学这个?在线性代数绪论中，笔者引入如下引例，层析成像的基本理论［6］。

层析成像的完整理论相当复杂，但其基本思路是通过射线减弱的比例关系，转化为出线性方程组求解的问题，由此案例可以体现出线性方程组深刻的应用内涵。当然其中还涉及模型的具体构建，以及矛盾方程组修正的问题，这与课程主题关系较远，可不做说明。

图2 层析成像基本原理

案例2PageRank原理。在数学课中，线性代数是比较抽象的，因此格外需要以应用性辅助教学，让学生明白抽象的理论如何运用到具体案例中。比如《矩阵的特征值特征向量》一章中，我们可以将例题用数据库搜索的模式给出。

PageRank是Google创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1997年开发出的一套用于网页评级的系统。它区别于早期的网页评价系统的基本思想在于不仅考虑网页的入链个数，还要考虑相关网页的质量因素。设共有n个网页，它们之间有一些互相链接，开始我们认为它们具有相同的权重，基于下面两条基本假设，让这些网页之间重新分配权重，

数量假设:某网页被其他网页指向的入链个数越多，则这个网页越重要。

质量假设:重要的网页所指向的网页也会变得重要，也就是重要网页通过链接传递给目标网页更大的权重。

开始我们可以假设所有的网页权重都是1，即权重向量为x=(1，1，…，1)T，设Google矩阵为A，以矩阵乘法重新分配网页权重，经过多次迭代最终达到稳定值，可用表示。求稳定向量y就相当于求Ay=y的解，这样的y就是矩阵A的特征向量。

很多数学模型题目也都大量运用线性代数的基本理论，例如2013年全国大学生数学建模竞赛题目B——碎纸片的拼接复原(原题略)就是线性代数以及线性规划的理论的典型应用。虽然课上不能展开细讲，但是作为案例给学生简单进行介绍，可以让学生初步了解到数学并不是虚无飘渺的纯理论科学，它可以和实际问题紧密结合，以数学模型为工具，用理论方法也可以解决现实问题，通过这样的教学模式，也让学生的学习热情以及学习动力大大提升。

还有很多实际的刑侦案例也和数学以及数学模型有千丝万缕的联系。

案例3Howland遗嘱案。这是19世纪美国最著名的伪造案之一，是由Peirce父子两位数学家的关键证词而被定案的。案情主要情况如下，Sylvia Ann Howland去世后，她的侄女Hetty Howland Robinson出示了一份遗嘱，声明由她继承全部遗产，而且这份遗嘱的第二页特别声明，在其之后的所立的任何遗嘱均无效，两页都有死者的签名。而遗产执行人拒绝其要求，认为第二页系伪造，因而应按照时间稍后的另一份遗嘱执行。

一般认定伪造签名时，是基于伪造样本与可靠样本之间的不同点，但此案恰好相反，Peirce父子利用42个可靠样本的统计分析，认定第二页签名与第一页过于相似，30处笔锋向下的部分完全一致，而42个可靠样本之间的笔锋一致率仅有20%，Peirce认定“这里出现的一致性必定来自于一种制造它的企图。”

以专业的数学语言来讲，这其实就是分析独立性假设的合理性，通过假设检验，用一种“非参数”方法来分析这样的数据，最终证实“这个签名是真的”这种假设是错误的［7］。

案例4死亡天使案。Kristen Gilbert，1967年11月13日生于美国马萨诸塞州，自1989年在VAMC担任护士，她经常能够在第一时间发现病人的危急情况，并且会在急救小组到来之前给病人注射一剂肾上腺素，有些时候能因此拯救病人的生命，因此被称为“死亡天使”。1996年，同事的3名护士反映她在班期间病人的死亡率会比平时偏高，并根据一些其他情况，认为她给病人注射过量药物导致病情发作，以此来扮演抢救病人的英雄角色，据此对她提出指控，认为她犯有多重谋杀罪。

受医院所托，马萨诸塞大学的Stephen Gehlbach对病房数据进行分析，并于1998年向大陪审团提交了经由统计分析所得到的结果。Gehlbach的证词基于假设检验，下表给出了18个月的病房统计数据。

单用简单的除法进行计算，已经可以看出死亡天使在班期间死亡率确实高于平时，但就严谨的法律程序而言，这甚至还不足以提出指控，而统计学的作用正是要抓住数据背后的真相，判定这究竟是蓄意还是巧合。Gehlbach的计算结果如下，如果死亡天使没有故意杀人的举措，那么她遇到74例死亡当中的40例的概率要小于一亿分之一，几乎是不可能的。

表1 VAMC死亡人数统计表

本案最终没有把计算结果作为直接定罪的证据，但是Gehlbach的分析证实了医院死亡率的增加不是偶然因素造成，这样的计算结果说明指控Gilbert蓄意谋杀确有合理的基础。结案后，Gehlbech与辩护方数学专家合作发表文章，对此案中的数学问题进行了进一步的分析和总结。

4 数学模型相对于现实的局限性

数学科学源于现实，又反过来可以应用于现实，但是数学也不是万能的，它是公安工作强有力的辅助工具，但是绝对不能完全的代替公安工作，历史上也曾有过因此出现纰漏的情况。

案例5Rossmo的失误。地理空间分析技术是指由系列犯罪地点的地理关系来推断犯罪嫌疑人可能落脚点及行动规律的侦查方法，现在已经是非常成熟的刑侦方法，Kim Rossmo正是专门从事此方面研究的专家。真正使他名声大震的正是他失误的那一次，路易斯安那州的城南强奸案。

Rossmo于1991年给出一个著名的数学模型用以确定犯罪嫌疑人所处的热区，并以其作为理论基础编写了名为Rigel的软件用来寻找罪犯位置，获得了一些成果。但是在1998年的城南强奸案中，Rossmo却出师不利，他使用Rigel将搜索范围缩小到大约1.25 km2的范围，区域内共有十余名嫌疑犯被逐一排查，但是DNA检测都与现场证据不符，案件失去了方向。这时出现了另一条线索，有人匿名检举临近机构的代理司法长官，经过侦查取证最后证实此人就是真正的罪犯，但是他的工作居住地点离计算出的热区非常远。事后经调查，发现罪犯刚刚搬家，以前居住地就在热区当中，这恰恰说明模型没有错误，而仅仅是侦查上的失误，Rossmo也因此案名声大震，成为侦查界的知名人士。

由这个案例可以看出，现实世界具有无穷的复杂性，而数学公式和数学模型是单纯的，我们只能用数学模型来高度概括模拟现实，却不能用它来代替现实。如果遇到无法解决的问题，并不是说数学错了，而是我们的已知条件还不够多，模拟还不够精确，我们所要做的应该是修正模型，寻找新的条件，这也正是数学的魅力所在。

5 结语

直观性和应用性的内涵相当丰富，限于水平和篇幅，笔者只能从相当粗浅的角度将其渗透到课堂当中，对教学方法做出一些皮毛上的革新。但笔者也认为在科学技术飞速发展的时代，在教学改革创新日新月异的今天，以直观性和应用性原则辅助数学教学还有极为广阔的发展空间。笔者此文权当抛砖引玉，希望相关学者与教育专家以及各位同事能够对数学直观和数学应用再多一些关注和研究，以数学直观揭示数学本质，以数学应用推动学科结合，给课堂教学注入新的理念和活力，在数学教学领域开辟一片新的天空。

［1］杨孝平，许春根.加强直观性和应用性教学提高大学数学教育质量［J］.大学数学，2006(6):5-7.

［2］夸美纽斯.大教学论［M］.北京:人民教育出版社，1985.

［3］范兴亚.数学直观案例研究及对教学的启示［D］.北京:首都师范大学，2012.

［4］Philip J.Davis，Reuben Hersh.The mathematical Experience［M］.森北出版株式会社，1986:377.

［5］王章雄.数学的思维与智慧［M］.北京:中国人民大学出版社，2011.

［6］雷功炎.数学模型讲义［M］.北京:北京大学出版社，1999.

［7］Michael O.Finkelstein，Bruce Levin.Statistics for Lawyers［M］.NewYork:Springer-Verlag New York Inc，1990.

(责任编辑 陈小明)

O13

中国人民公安大学科研项目“基于直观性和应用性的数学教学教法研究”(2014JKF01139)。

管涛(1981—)，男，北京人，讲师。