4∶1粘弹性收缩流动中纤维取向研究

韩志杰，李俊林，杨斌鑫(太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

近年来，短纤维增韧聚合物基复合材料被广泛应用在各个领域中。产品的加工过程及性能受短纤维悬浮聚合物熔体流动体系的流变特性影响，在纤维的长径比较大的条件下，悬浮流的流变特性受到纤维取向分布的影响，因而对纤维取向特征的研究受到了人们的广泛关注。目前通常采用取向概率分布函数来描绘大量纤维的取向状态，即是用Euler方式来描述纤维取向，也就是给出的纤维取向椭圆，该取向椭圆是计算区域网格点上的，所有的位于该位置的纤维的取向分布都是纤维取向椭圆来描述的，但是此方法没有研究纤维在型腔中的运动，也就是没有处理单个纤维在型腔中的运动和取向情况。本文利用纤维生成算法[1]研究了4∶1粘弹性收缩流动中的纤维取向，直接在流场中生成纤维，通过求解Jeffery方程[2]，得到纤维在流场中的取向状态。

1 流场控制方程组

假定流动是二维稳态、重力影响可以忽略的不可压缩粘弹性流体，用XPP本构关系描述粘弹性行为。无量纲化的控制方程组可写成如下的标准形式[3-4]：

▽(muφ)-▽(Γ▽φ)=Sφ

(1)

其中We=λ0bU/L，Re=ρUL/μ，β=μs/μs+G0λ0b，ε=λ0s/λ0b，μ=μs+G0λ0b.U、L是特征速度和特征尺度，ρ为流体密度，G0为剪切模量，λ0s、λ0b是表示分子链的收缩松弛时间与取向松弛时间比，μs是牛顿溶剂粘度，μ是总粘度，u、v为流体沿x方向和y方向上的速度分量；p为流体的静压力；τxx、τxy、τyy、τzz偏应力分量；算子I表示张量的迹；Re=惯性力/粘性力；We=弹性力/粘性力；β=牛顿粘度/总粘度；α是与聚合物各向异性相关的参数，f(λ,τ)、λ、v的计算表达式如下：

2 纤维取向计算

假设纤维是刚性的棒状粒子，单纤维的取向用单位矢量P来描述，单位矢量P的方向与纤维的取向方向一致，在空间中用两个Euler角(角θ和角φ)来描述[6]。因此，在球坐标中通过角变量(θ,φ)可以描述任一纤维在流场中的某一位置，如图1所示。

表1 标准控制方程参数

图1单纤维取向矢量

Fig.1Thevectororientationofsinglefiber

矢量P在直角坐标系下可以表示为：

(2)

纤维的长径比用γe表示，定义纤维的形状因子λ为：

(3)

Jeffery发现圆柱状颗粒在简单剪切流场中会受到流体的作用力而发生转动，这个转动角速度可用Jeffery方程描述：

P=ωP+λf(εP-ε∶PPP)

(4)

其中ω=(▽uT-▽u)/2是流体涡度张量，ε=(▽uT+▽u)/2是流体应变率张量，通过求解方程，可以得到纤维在简单剪切流场中的转动情况。

(5)

(6)

3 数值格式

3.1 控制方程离散

采用同位网格有限体积法离散控制方程，见文献[7-8]。

3.2 纤维生成算法[1]

具体步骤：

第一步：生成纤维，长度为lf，纤维初始角度θ和φ为随机生成的，一根纤维用as+1个点(这里as=30)来描述，第as/2个点(as+1个点的标号为0,…，as)表示纤维的质心。 则该纤维分别旋转θ和φ角度后第i个点在xy平面上投影的坐标(xi,yi)为:

4 数值结果与分析

4.1 平板收缩流[8]

考虑4∶1平板收缩流，如图2所示。流体从较宽的槽道流入较窄的槽道，在这个过程中壁面附近会产生复杂的强剪切流动。

图2 平板收缩流半流域示意图

无量纲参数取值分别为β=1.0/9.0，α=0.15，q=2.0，ε=1.0/3.0.在入口处给定速度和应力，假定出口处是可以充分发展的流场，给出Neumann边界条件。上下壁面用固壁边界条件，中心线处给定对称边界条件。为了得到充分发展的速度和应力剖面，本文假定L2=20H2，L1=10H2，其中H2是特征长度。就流场流动而言，在靠近壁面且远离拐角的区域，流动以剪切为主；在靠近中轴线的位置，转变为拉伸流动占主导地位； 在入口收缩处， 下游流速突然增大；在上游拐角区域，流动非常复杂，多以旋转为主。不仅在上游拐角处出现主涡，而且当We数达到一定值时，会出现边涡，并且随着We数的增大，边涡越来越大，最终和主涡合并，形成一个大的角涡，具体结果见文献[8]。

图3 在不同Re数和不同We数条件下的纤维取向

4.2 纤维取向

图3的五幅图中，图(a)为纤维的初始状态，图(b)、(c)、(d)、(e)给出了不同数不同数条件下的纤维取向状态。从图中可以得到：(1)在远离拐角且靠近壁面的区域，流场中主要是剪切作用占主导地位，而纤维呈现周期性旋转状态；(2)在接近中轴线的位置，流场中转变为拉伸作用占主导地位，纤维呈现沿单轴拉伸的取向状态；(3)在收缩入口处以及在上游拐角区域，流动比较复杂，纤维的取向也比较复杂，由于流动由旋转为主，纤维取向也随着出现不规则旋转，这与文献[9]的结果一致。

5 结论

本文利用纤维生成算法直接在流场中生成纤维。研究了4∶1平板收缩流中纤维的取向状态。通过求解Jeffery方程，得到纤维在流场中的取向状态。

(1)在远离拐角且靠近壁面的区域，流场中主要是剪切作用，而纤维呈现周期性旋转状态。

(2)在接近中轴线的位置，流场中转变为拉伸作用占主导地位，纤维呈现沿单轴拉伸的取向状态。

(3)在收缩入口处以及在上游拐角区域，流动比较复杂，纤维的取向也比较复杂，由于流动由旋转为主，纤维取向也随着出现不规则旋转。

参考文献：

[1] 杨斌鑫.纤维增强复合材料注塑成型的数值模拟研究[D].西安：西北工业大学，2011.

[2] JEFFERY G B.The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid.Proceedings of the Royal Society of London[J].Series A ，1992，102：161-179.

[3] ABOUBACAR M，AGUAYO J P，PHILLIPS P M，et al.Modelling pom-pom type models with high-order finite volume schemes [J].Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics,2005，126(2-3)：207-220.

[4] AGUAYO J P，PHILLIPS P M，PHILLIPS T N，et al.The numerical prediction of planar viscoelastic contraction flows using the pom-pom model and higher-order finite volume schemes [J].Journal of Computational Physics,2007，220(2)：586-611.

[5] VERBEETEN W M H，PETERS G W M，BAAIJENS F T P.Differential constitutive equations for polymer melts：the extended pom-pom model [J]. Journal of Rheology,2001，45(4)：823-843.

[6] 孙彩玉.流动诱导短纤维取向分布的理论[D].郑州：郑州大学，2006.

[7] 宋道云.同位网格有限体积算法及其在粘弹性收缩流模拟中的应用研究[D].上海：华东理工大学，2002.

[8] 赵智峰，欧阳洁.有限体积法在粘弹流体数值模拟中的应用研究[D].西安：西北工业大学，2008.

[9] 张红平，欧阳洁.纤维增强聚合物熔体的纤维取向和流场应力分析[J].复合材料学报，2007，24(6)：53-159.