弹性楔形体各状态参数对入水运动性能的影响

王文华，黄一，王言英，翟钢军，黄亚南，2（1大连理工大学a.工业装备结构分析国家重点实验室；b.船舶工程学院；c.深海工程研究中心，辽宁大连116024；2大连海洋大学航海与船舶工程学院，辽宁大连116024）

弹性楔形体各状态参数对入水运动性能的影响

王文华1a，b，黄一1b，c，王言英1b，翟钢军1c，黄亚南1b，2
（1大连理工大学a.工业装备结构分析国家重点实验室；b.船舶工程学院；c.深海工程研究中心，辽宁大连116024；2大连海洋大学航海与船舶工程学院，辽宁大连116024）

为了分析砰击问题的各种状态参数对船舶入水运动性能的影响，文章采用一种新的CFD（Computational Fluid Dynamic）方法动态数值模拟了二维弹性楔形结构的自由入水过程。此方法利用液面捕捉法和直角切割网格系统解决入水过程中瞬时移动的自由液面和动边界问题，结合弹性板条梁结构的有限元理论将算法扩展应用于弹性结构的入水特性分析。其中，根据流场的直角切割网格和弹性结构的板条梁单元的特点，提出适合该文算法的流固耦合策略和边界数据传递方法。通过与实验数据进行比较，证明了文中算法求解弹性楔形体入水问题的正确性和合理性。最后，建立不同状态参数（结构材料属性、板厚和质量、底面斜升角和入水高度等）的弹性楔形结构自由入水模型，研究了各参数对自由入水的弹性楔形结构的整体运动性能和局部变形响应的影响。

弹性楔形结构；自由入水；液面捕捉法；直角切割网格系统；有限元理论；数据传递方法

1 引言

在船舶与海洋工程领域中，会遇到流体和弹性结构相互作用而引起的各种物理现象，其中船舶砰击是比较常见的一类工程问题。在船舶遭遇的各种砰击问题中都会包含物体入水过程，并且在物体从空气进入水中的极短时间内会产生高峰值的冲击压强，从而导致局部结构发生变形损坏[1]或者影响整体运动性能[2]。所以，有必要研究弹性结构入水过程中的流场变化和受力状况，来预报入水结构的局部变形情况和整体运动特性，用以指导船舶的结构设计和航行操纵。

关于弹性结构入水的研究主要有实验方法[3-5]，解析半解析方法[6]和完全数值方法[7-10]。其中，由于实验本身对设备的硬件要求较高，并且需要比较多的人力、物力和财力，因此需要理论研究来进行辅助。在理论方法中，大规模简化的流体模型使得解析和半解析法的应用范围具有较大的局限性，对各种复杂的瞬态入水现象不能很好地同时把握，因此数值计算方法对于需要考虑多种因素共同作用的复杂入水问题显得非常重要。并且随着计算机硬件技术飞速发展，强大的计算能力为数值模拟提供了良好的运算平台，能够用来同时分析飞溅、射流、气垫和水弹性等多种现象，所以目前有关入水问题的研究以数值模拟方法作为热点。但是，在入水过程中自由液面的追踪和动边界的处理比较复杂，此外如果再计入流固耦合和结构水弹性的影响，那么准确地预测入水过程中弹性结构的整体运动和局部变形性能是具有挑战性的。因此，到目前为止同时耦合考虑入水流场、弹性结构整体运动和局部变形相互作用的文献并不多见。

本文基于作者早期的研究工作采用一种新的CFD方法对弹性结构自由入水问题进行数值模拟[11]。结合液面捕捉法和直角切割网格系统的优势，采用液面捕捉方法将自由液面作为计算域内的接触间断进行处理，建立非均匀不可压缩的欧拉方程作为流场控制方程组。基于直角切割网格离散计算域，通过局部更新物体边界附近的网格信息来解决动边界问题。在此基础上，利用基于单元中心的有限体积法对控制方程进行数值离散。将弹性板条梁结构的有限元理论与流场算法相结合，将算法扩展应用于弹性结构的入水特性分析。根据流场的直角切割网格和弹性结构的板条梁单元的特点，推导出适合本文算法的边界数据传递方法。建立弹性楔形体的自由入水模型，将本文数值计算结果与弹性楔形板入水实验数据[5]进行比较，证明了本文算法求解弹性楔形体入水问题的正确性和合理性。最后，通过改变计算模型的状态参数（结构材料属性、板厚和质量、底面斜升角和入水高度等）分析各种参数对自由入水的弹性楔形体的整体运动和局部变形的影响，从而为进一步研究船舶砰击问题、指导船舶航行操纵和结构设计提供了技术基础。

2 CFD流场计算理论

本文采用液面捕捉法追踪自由液面，将自由液面看作是密度域内的接触间断、使用高精度和高分辨率的离散格式对流场密度进行数值求解，据此确定任意时刻的自由液面位置。采用此方法不仅可以忽略复杂的界面重构过程，而且能模拟破碎、重新连接等复杂的自由液面扰动问题。在此方法中，计算域包含水和空气两种介质，主场控制方程采用守恒形式的二维非均匀不可压缩欧拉方程组，包括质量守恒方程：

式中：ρ为流体密度，vx和vy分别为x、y方向的流体速度，p为流体压强，Bx和By分别为x、y方向的质量力加速度，在重力场中，Bx=0，By=-9.8m/s2。

计算域边界条件设置如下：在外边界处，为了允许流体可以无反射地自由出入外边界，流体速度和密度满足法向梯度为零的条件，压强设为定值。在物体边界处,流体速度满足不可穿透条件，密度满足法向梯度为零的条件。对于流体压强来说，将动量方程（2）和（3）投影到物体边界的法向上可得：

式中：vf=vxi+vyj是物体边界处的流体速度，n=nxi+nyj是边界的法向单位向量，vsn是物体速度沿边界法向的投影。对于弹性结构入水问题来说，方程（5）中各项的求解将在本文第4.2.1节的弹性边界数据传递方法中进一步说明。

此外，采用直角切割网格作为空间离散网格，处理物体入水的动边界问题。此网格系统作为一种新兴的网格技术，具有生成简单、自适应能力强和易于实现自动化等优点，并且系统大多数为形状比较规则的矩形网格，能够为高精度和高分辨率格式提供方便的应用平台。另外，在处理动边界问题时，对于直角切割网格系统来说，只需局部更新一些切割网格的信息即可，从而避免了传统的非结构网格重构所带来的误差。网格生成算法和数据存储结构的具体描述可以参照文献[12]和[13]。

在此基础上，采用基于单元中心的有限体积法对流场控制方程组进行数值离散。在流体网格边界处，利用Roe的近似Riemann解算子的复合形式求解流函数，边界两侧的流场变量根据二阶精度Upwind型格式进行重构。此外，在重构表达式中引入Superbee限制器来调节数值耗散与色散效应，以保持格式的单调性，达到数值结果高分辨率和高保真的目的。采用人工压缩法实现流场速度和压强的耦合求解，使用一阶隐式双时间推进法进行时间步进，以获得每一物理时间步的流场变量。

3 结构有限元和板条梁单元理论

在流场CFD算法的基础上，本文进一步采用基于板条梁单元模型的有限元方法数值求解和分析自由入水楔形体弹性边界的结构变形和响应。

首先，建立固定在地面的总体坐标系和随着楔形体一起运动的局部坐标系。将弹性楔形体的边界离散成许多等间距板条梁单元，此单元可以同时承受弯曲和拉压作用。此外，在局部坐标系中，将单元k的节点平动位移u1，w1，u2，w2和节点转动位移θ1，θ2描述如下：

然后，在局部坐标系中，根据板条梁单元特性建立单元质量矩阵和刚度矩阵，并将流场计算所得到的压强分布转化到单元节点上。再利用坐标变换的方法将单元局部坐标下的质量矩阵、刚度矩阵和节点载荷向量变到总体坐标系上，并装配在一起形成总体坐标系下的整体动力平衡方程如下：

此处，忽略结构阻尼；F｛｝是总体坐标系下的节点载荷向量，具体计算方法可以参考本文第4.2.1节；在总体质量阵M［、和刚度阵K［、中，结构单元k所对应单元质量阵M［、k和刚度阵K［、k表示如下：

式中：对于板条梁结构单元来说，ρs是结构材料密度，h是结构单元厚度，l是结构单元长度，A=1.0*h是结构单元的横剖面面积，I=1.0*h3/12是结构单元的惯性矩，E1=E/1-μ2（）是板条梁的等效弹性模量，E是结构材料的弹性模数，μ是结构材料的泊松比。

最后，引入位移边界条件改写方程系数矩阵，利用Newmark方法数值求解整体动力平衡方程，获得总体坐标系下的单元节点位移、速度和加速度，从而求得弹性边界上各点的应变。然后，将计算结果反馈回CFD求解器，用于下一时刻的流场计算。

4 流固耦合策略和边界数据传递方法

对于弹性楔形体自由入水模型来说，因为流固耦合问题涉及到弹性楔形体的整体运动、局部变形和入水流场的相互作用，所以如何将流场和结构的求解联系起来是非常重要的。因此，这里基于第2章的流场计算和第3章的结构有限元分析理论讨论弹性楔形体自由入水的流固耦合策略，以及流场压强和结构单元节点位移、速度在弹性边界处的数据传递方法。

4.1 流固耦合策略

在本文算法中，将弹性楔形体自由入水模型的流固耦合问题分为入水流场和楔形体整体运动以及入水流场和楔形体局部弹性变形两种相互作用，具体过程如图1所示。

一方面，为了保证足够的数值稳定性，采用双向耦合方法（Kleefsman等人（2005））[14]分析入水流场和楔形体整体运动的相互作用，楔形体速度计算公式如下：

式中：Δt是物理时间步长，m是楔形体质量，vns是楔形体在物理时间n时的垂向整体速度。ω是用来控制子迭代过程稳定性的松弛因子，数值从0变化到1。ω越大，子迭代收敛越快。在物理时间n时，迭代初值可以取为。对于子迭代第k步，根据楔形体垂向速度可以获得流场压强，并且通过沿物体边界积分可以算得流体作用力，代入到方程（10）中进行流固耦合子迭代分析。当d V=-＜10-3时，子迭代过程收敛。

图1 流固耦合策略的流程图Fig.1 Flow chartof iteration procedure for the fluid-structure coupled solution strategy

另一方面，在弹性楔形体的中低速入水过程中，弹性楔形体的局部变形很小，从而局部结构变形对同一物理时刻流场的反作用可以忽略不计。因此，为了提高计算效率，这里采用单向耦合策略求解流场和局部结构变形的相互作用。

因此，在每一物理时间步上，首先，采用双向耦合迭代算法计算弹性楔形体自由入水的整体运动，然后使用单向耦合策略实现流场和弹性边界局部变形的相互耦合，获得弹性边界的应变和应力，并且同时将物面边界信息反馈到下一物理时间步的CFD求解中。

4.2 弹性边界的数据传递方法

在上述流固耦合算法中，涉及到流场和结构计算结果的数据传递问题。根据流场的直角切割网格和弹性结构的板条梁单元的特点，两种网格单元在耦合界面上并不直接匹配，从而不能直接进行数据交换，因此这里需要推导出适合本文算法的边界数据传递方法。因为在流固耦合界面上传递的数据包括流场压强和结构单元节点位移、速度，所以这里将数据传递分两个方面加以讨论，一方面是将分布式流场压强转化为节点集中力，另一方面是将结构响应反馈为流场计算的边界条件。

4.2.1 分布式流场压强转化为节点集中力

图2 流场切割和结构单元不同几何关系的示意图Fig.2 Different position relations of cut cell and structural elements

根据力和力矩的平衡原则，将流场计算获得的物面分布式压强向结构单元节点传递，得到节点等效载荷向量。根据流场直角切割网格和弹性结构板条梁单元的位置关系，大致分为三类情况进行讨论：（1）结构单元L1L2完整包含切割单元的物体边界AB，如图2（a）所示；（2）物体边界AB完整包含结构单元L1L2，如图2（b）所示；（3）物体边界AB与结构单元L1L2部分相交。这里，仅以图2（a）的结构单元L1L2为例说明如何根据分布在物体边界AB上的流场压强得到节点L1、L2的等效载荷F1和F2。

首先，以节点L1为坐标原点在结构单元L1L2上建立局部坐标系x’o’y’，其中坐标轴o’x’沿物面逆时针方向，由L1指向L2；坐标轴o’y’垂直物面，由流体指向结构。因此o’x’和o’y’的单位向量为：

其中：（x1，y1）和（x2，y2）分别为节点L1和L2的位置坐标。再根据流场切割单元中心O点的坐标（xo，yo），位置向量OL1可以写成：

最后，根据力和力矩的平衡原则将物体表面AB上的分布式压强向结构单元节点L1和L2转化，从而获得结构板条梁单元L1L2的节点等效载荷F1和F2：

式中：Po和Δp=pxi+pxj是通过流场CFD算得的切割单元中心O点处的流场压强和压强梯度。

同理，采用与图2（a）类似的方法和思路进行推导可以获得其他两种情况（图2（b）和图2（c））下结构板条梁单元L1L2的节点等效载荷。

4.2.2 结构响应反馈为CFD边界条件

同样以图2（a）（结构单元L1L2完全包含物体边界AB）为例，说明如何将通过有限元分析获得的单元L1L2的结构响应（局部坐标系x’o’y’下结构单元的节点速度L1）和L2（u，））反馈到物体边界AB的CFD边界条件。

首先，根据结构单元L1L2的形函数可以获得L1L2上物体边界端点A在局部坐标系x’o’y’沿o’x’和o’y’轴的的速度和w˙A：

式中：N1~N4和N5、N6分别是结构单元弯曲和拉压的形函数。对于梁单元来说，L1A/L1L2和=2（L1A-L1L2/2）/L1L2是结构单元L1L2的自然坐标。同理，可以获得物体边界另一端点B的速度和B。

然后，物体边界AB的平均法向速度vsn和切向速度vst可以计算如下：

与此同时，物体边界AB的法向速度梯度▽vsn=（∂vsn/∂x ）i+（∂vsn/∂y ）j可以获得，

最后，通过公式（19）和（20）可以获得物体边界AB的平均切向速度、法向速度和梯度，然后将其应用到切割单元新时刻的边界条件（5）式中，用以进行流场计算。同样，上述方法对于其他两种情况（图2（b）和图2（c））也同样适用，区别在于物体边界的两个端点所在的结构单元发生了变化。

5 数值算例分析和讨论

5.1 数值算法验证

为了验证本文数值方法的准确性和合理性，这里基于孙辉（2003）[5]的弹性楔形体入水实验进行建模并加以数值计算，然后将三种弹性楔形体入水模型的数值结果和实验数据进行比较。基于实验水池参数建立0.8m×1.45m方形计算域，水深为1.1m。这里，弹性楔形体的材料属性如下：密度1.059×103kg/m3，弹性模量2.67×109kg/ms2（），泊松比0.357。此外，三种不同楔形体模型的几何参数如表1所示。

表1 三种不同弹性楔形体模型的几何参数Tab.1 Geometric parameters of three different elastic wedges

图3 计算域内部的整体网格和物面边界附近的局部网格Fig.3 Globalmesh(a)and local grid(b)near solid boundary

图4 三种不同弹性楔形体的整体运动加速度和局部弹性应变的时间历程曲线Fig.4 Time history of global acceleration and local strain of observation pointon sloping edge for three elastic wedges

在数值计算中，初始时刻（t=0）选为楔形体底部顶点距离初始自由液面0.1m的位置，然后弹性楔形体开始自由下落。物理计算间隔Δt为0.000 1 s，虚拟时间间隔Δτ为0.01 s，人工压缩系数β为500，重力加速度为9.81m/s2，结构单元长度为0.01m。此外，在流场计算域中采用非均匀网格进行划分，在近壁面处为局部细化网格Δx=Δy=0.01m，然后随着到楔形体边界距离逐渐增大，网格单元尺度以一定比例逐步增加最终形成66×90的不等间距网格分布，如图3所示。

将表1中编号为1~3的三种不同楔形体自由入水模型的整体加速度和斜边参考点弹性应变的数值解和实验数据进行比较展示如图4。从图中可以看出，本文数值计算结果和实验数据的变化趋势基本一致，能够较好地描述出入水初期整体运动加速度和局部弹性应变的峰值大小和发生时间。只不过由实验装置自身阻力造成的误差使得整体加速度的数值解和实验数据略微有些区别。此外，如图4（b）所示，随着楔形体斜升角变小，斜边中点处的应变在入水过程出现负值，这说明在入水过程中楔形体斜边先是向内凹陷而后再向外凸起。与实验数据相比，采用本文算法所得负应变略微偏小，这可能由单向耦合计算过程稍微低估了局部结构变形对流场反作用所引起的。综上所述，从上述三个弹性楔形体入水模型的数值结果来看，本文算法基本上可以描述入水过程弹性楔形体的整体运动和局部变形的规律和变化趋势。因此，可以采用本文算法求解和分析弹性楔形体自由入水问题。

5.2 弹性楔形体各状态参数对入水运动性能的影响

这里，为了讨论弹性楔形体的状态参数对入水过程中整体运动和局部变形的影响，建立不同参数（结构材料泊松比、弹性模量、板厚、入水质量、底面斜升角和入水高度等）的弹性楔形结构自由入水模型，并且采用本文算法分别进行数值计算和分析。

计算域和模型的基本参数如下：在2.0m×2.0 m半水半空气的方形计算域中，长0.6m，宽0.2m，斜升角45°，泊松比为0.357，密度1 059 kg/m3，弹性模量2.67×109kg/ms2（），斜边板厚1.5 mm，结构重量7.5 kg，从初始0.1m高度自由下落入水。在数值计算中，流场计算的物理时间步长Δt为0.000 1 s，虚拟时间步长Δτ为0.01 s，人工压缩系数β为500，结构单元长度为0.01m，处理位移约束条件所引用的大数为1013。计算整体动力方程时，Newmark法中的参数β和δ分别为0.5和0.25。重力加速度为9.81m/s2，流固耦合算法的迭代松弛因子ω为0.8。分别改变结构材料泊松比、弹性模量、板厚、入水质量、底面斜升角和初始入水高度，建立不同状态参数的弹性楔形体入水模型。采用本文数值算法进行计算和分析，将不同入水模型所对应的整体运动速度和距离楔形体顶点1/4斜边长度处的局部弹性应变的时间历程曲线展示如图5所示。从图中可以看出，在楔形体入水初期，弹性边界受到局部入水冲击载荷的作用会产生极大的应变峰值，并且楔形结构开始整体做减速运动。然后，随着物体进一步入水，在忽略结构阻尼的前提下，弹性边界将根据其固有频率作高频和低频相结合的“拍”振动。进一步，可以发现弹性楔形体的各状态参数对其入水整体运动和局部变形的影响各不相同。

其中，改变底面斜升角、入水高度和质量这三个参数会引起流场发生强烈变化，从而改变物面所受的局部冲击载荷和整体水作用力,最终显著地影响楔形体局部弹性变形和整体运动性能。如图5（d）所示，如果楔形体模型初始接触水面时所受水动力相同，那么质量越小的结构，入水速度减小的越快。进而造成弹性边界所受到的局部冲击载荷相应地降低，导致楔形结构入水初期的应变峰值变小。从图5（e）中可以看出，底面斜升角越小，楔形结构在入水过程中所受的局部冲击载荷和整体水作用力越大，这将导致楔形结构整体减速越快、物面应变峰值和“拍”振动幅值越大。而在图5（f）中，随着初始入水高度增加，楔形结构初始接触水面的时间和速度将会变大，从而入水初期受到的整体水作用力增大，因此楔形结构整体减速越快，与此同时局部冲击载荷的增大也会导致应变峰值的加大。另一方面，其余的三个参数（结构板厚、材料泊松比、弹性模量）虽然对楔形结构的整体运动性能作用很小，但是会影响到弹性边界的局部变形。根据图5（a）~（c）中展示，结构板厚对于弹性应变的作用效果比较显著。板厚越大，弹性斜边的刚度也就越大，从而造成入水初期的结构应变峰值越小。此外，材料泊松比和弹性模量对结构局部弹性变形也有一定影响。泊松比越小或是弹性模量越小，板条梁模型的等效弹性模量越小，则结构刚度越小，那么楔形边界的局部应变峰值也就越小。

图5 不同弹性楔形体模型的整体运动速度和距离楔形体顶点1/4斜边长度处的局部应变Fig.5 Global acceleration and local strain of 1/4 length from vertex on sloping edge versus differentmodels

6 结论

本文结合液面捕捉法和直角切割网格系统的优势，采用液面捕捉方法和直角切割网格处理物体入水瞬时移动的自由液面和动边界问题。在此基础上引入弹性板条梁结构的有限元理论，并且根据流场的直角切割网格和弹性结构的板条梁单元的特点，提出适合本文算法的流固耦合策略和边界数据传递方法。为了分析船舶砰击问题，建立了类似船首横剖面的二维弹性楔形体的自由入水模型，并且通过与实验数据进行比较，证明了本文算法求解弹性楔形体入水问题的正确性和合理性。最后，改变弹性楔形结构的状态参数建立不同入水模型，数值分析这些参数对弹性楔形结构的整体运动性能和局部弹性变形的影响，可以发现对楔形结构整体运动特征有比较明显作用的参数主要有底面斜升角、入水高度和质量三个参数，并且这些参数同时会显著影响入水初期局部弹性响应峰值，这说明船舶在航行过程中砰击发生的位置、砰击入水前的抬升高度以及砰击处的质量分布对船舶整体运动性能和局部结构强度有很大的影响。此外，楔形结构的斜边板厚、泊松比和弹性模量虽然不会使整体运动发生很大变化，但是会影响到结构的局部变形。其中，结构板厚对弹性应变的作用效果最为明显，而弹性模量和泊松比相对来说要弱一些。

本文为弹性楔形结构的自由入水问题的求解提供了一种新的CFD算法，并且所得结论能够为进一步研究船舶砰击问题、指导船舶航行操纵和结构设计提供一些理论基础。此外，在以后的研究中可以进一步考虑将流固相互作用的紧耦合策略和结构变形的几何非线性理论引入算法中，从而扩展本文数值方法的应用领域和范围。

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Effect of status parameters for elastic wedge on dynam ic performance of water-entry

WANGWen-hua1a,b,HUANG Yi1b,c,WANG Yan-ying1b,ZHAIGang-jun1c,HUANG Ya-nan1b,2
(a.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment;b.School of Naval Architecture and Ocean Engineering;c.Deepwater Engineering Research Center,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China; 2 Institute of Navigation and Marine Engineering,Dalian Maritime University,Dalian 116024,China)

In order to analyze the influence of various status parameters of ship slamming on dynamic performance ofwater-entry,a new CFDmethod was presented to numerically simulate the physical process of 2D elastic wedge entering water.Therein surface capturingmethod and Cartesian cut cellmesh system were used to treatmoving free surface and solid boundary.Furthermore,by combiningwith finite element theory of elastic beam structure,the CFD method was developed to study hydroelastic performance of elastic structure during water-entry process.In thismethod,based on the characteristic of Cartesian cut cellmesh and beam element,a particular data transfermethod on elastic boundary is deduced and described.By comparing with the experimental data,the calculated results show the feasibility and validity of this present method to calculate water entry problem of elastic wedge.Finally,free fallingwater-entrymodels of elastic wedge with various structural parameters(material properties,structural thickness and mass,deadrise angle,initial height,and so on)were created,and then the effects of structural parameters on global rigid mo-tion and local elastic response of free-falling elastic wedgewere studied and discussed.

elastic wedge structure;free fallingwater entry;surface capturingmethod;cartesian cut cellmesh system;finite element theory;data transfermethod

U671.5

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.11.007

1007-7294（2014）11-1320-11

2014-04-26

国家自然科学创新研究群体基金资助项目“海洋环境灾害作用与结构安全防护”（50921001）；国家青年科学基金项目“运动物体穿过深海密度分界面的水动力特性研究”（11202047）

王文华（1981-），男，博士后，E-mail：wangwenhua0411@yahoo.cn；黄一（1964-），男，大连理工大学教授，博士生导师。