信号特征对分形维数的影响

刘文涛，陈 红，蔡晓霞，吴源洪

（1.解放军电子工程学院，合肥 230037；2.解放军73689部队，南京 210000）

信号特征对分形维数的影响

刘文涛1，陈 红1，蔡晓霞1，吴源洪2

（1.解放军电子工程学院，合肥 230037；2.解放军73689部队，南京 210000）

分形维数是描述信号的一种有效方式，用来作为各种情况下信号复杂度的测量方法。但是对于此种分析的合理解释没有被给出。为了研究信号参数对分形维数的影响，通过对接受信号进行预处理，分别使用盒维数和信息维数进行维数估计，讨论信号采样点数、噪声功率、载频、码率对信号分形维数的影响。仿真结果表明：当采样频率一定时，分形维数在一定范围内对噪声不敏感；码率对盒维数的影响较小，对信息维数的影响较大；载频对信息维数的影响较小，对盒维数的影响较大。

信号特征，盒维数，信息维数

引言

分形是对没有特征长度但是具有一定意义下的自相似图形和结构的总称，分形维数是描述分形信号复杂程度和不规则性的一种度量方法［1］。分形集合最基本的特性就是自相似性，即任意比例的细节都具有某种程度的自相似。这种自相似性可以是几何意义上的严格自相似，也可以是统计意义上的近似。因此，对形态、功能、信息、时间、空间等任一方面具有自相似特性的对象，都能应用分形几何学的基本思想进行分析描述。作为一种新的概念和方法，分形正在许多领域开展应用研究。

通信信号作为一种时间序列，分形能对它进行有效的刻画，分形维数能度量信号的不规则程度。分形中的盒维数通常用来描述分形信号的几何尺度信息，而信息维数反映出分形集在区域空间上的分布疏密。目前已经有学者将分形维数用于数字通信信号的检测［2］和调制识别［3］中，但对于信号参数对分形维数的影响没有具体进行讨论。本文将着重就这一方面内容展开研究。

1 分形理论

首先来介绍盒维数和信息维数的测定方法。

1.1 分形盒维数

设F是Rn中任一非空有界子集，令N（f，u）表示中心为f，最大直径为u且能覆盖F的集合的最小数目，则F的盒维数定义为：

文献［3］给出了计算盒维数的简化形式，假设y（t）为认知用户接收到的有限长信号，x（t）代表授权信号，η（t）代表均值为0，方差为ση2的高斯白噪声。一个用户接收机将接收信号采样为 {y（ni），i=1，2，…，Ns}，其中Ns为采样点数。

盒维数定义为：

1.2 分形信息维数

则称DI为集合F的信息维数。

在计算分形信息维数DI的简化公式中，一般先对信号序列进行预处理：将信号序列变换到频域，对信号能量进行归一化处理，为了减少频域内噪声的影响，利用中值滤波法进行消噪。由于信号频谱的形状主要取决于信号脉内的调制方式，在频域中进行特征提取可消除载频变化的影响。预处理后的信号序列为{Fy（i），i=1，2，…，Ns}，其中Ns为预处理后信号序列的长度。频域进行重构以减少部分带内噪声的影响：

2 仿真结果及讨论

首先对所有信号进行去直流、幅度归一化处理，消除由于信号幅度引起的功率不同对分形特征的影响。

2.1 信号采样点数的影响

本文用高斯白噪声作为信号源，选取不同的采样点数，可以得到噪声盒维数和信息维数随采样点数变化的情况，如图1～图2所示：

图1 不同采样点数下的噪声盒维数

图2 不同采样点数下的噪声信息维数

由图1和图2可知，盒维数均值基本恒定，信息维数的均值会随着采样点数的增加而增大；采样点与盒维数、信息维数的稳定性之间的关系是单调关系，点越多，盒维数、信息维数越稳定，且越靠近中心点处，取值概率越大；采样点数的增大会引起计算复杂度的增加，故不宜过大。所以仿真所使用的采样点数统一为N=4 000。

2.2 噪声功率的影响

选用高斯白噪声作为信号源，选取采样点数N=4 000，，噪声方差在0.1～0.5之间变化，可以得到噪声盒维数、信息维数如图3和图4所示：

图3 不同功率下的噪声盒维数

图4 不同功率下的噪声信息维数

通过图3和图4可知，当采样点一定时，高斯白噪声的功率在0.1～0.5之间变化，其盒维数、信息维数基本保持不变，即对噪声不敏感。

2.3 载波频率的影响

选 取 2ASK、4ASK、2PSK、QPSK、2FSK、4FSK、CW、NOISE作为信号源，固定采样频率为40 KHz，码元速率为1 KHz，采样点数为N=4 000，载波频率的变化范围为fc=1 KHz～40 KHz，进行仿真实验。为了克服计算误差、使得到的值更加稳定，可用多个样本分形维数的均值代替单个信号样本分形维数的值。结果如图5、图6所示：

图5 不同载频下的信号盒维数

从图5和图6中可以得知：信号的信息维数基本不受载频的影响，而盒维数随着载频的增大而增大。当采样频率与载频的倍数较大时，信号盒维数接近于1，此时可以用于信号存在性检测；当采样频率与载频的倍数为4时，不同信号之间的盒维数差别较大，可以用于不同调制样式信号的识别。

2.4 码元速率的影响

选取2PSK作为信号源，取N=4 000，采样频率fs=40 KHz，载频fc=10 KHz，码率fm=1 KHz～10 KHz，仿真结果如图7、图8所示：

图7 不同码率下的2PSK盒维数

图8 不同码率下的2PSK信息维数

从图7和图8中可以看出，码率对信号盒维数的影响较小，而对信息维数的影响较大。主要是因为信息维数的计算是在进行的，肯定会受到码率的影响。为此我们把采样频率与码率的倍数取为一个定值，这样就可以避免因为码率变化引起的维数变化，消除码率的影响。在此选取fs=8fc，进行仿真实验：

图9 不同码率下的2PSK信息维数

从图9中可以看出，信号的信息维数不再随着码率的变化而变化，基本趋于恒定。

2.5 加噪信号与信噪比的关系

仍然以2PSK信号为例，信噪比的取值范围为SNR=-20:20 dB，仿真结果如下：

图10 不同信噪比下的2PSK盒维数

图11 不同信噪比下的2PSK信息维数

从图10、图11中可以看出：当信噪比较小时，加噪信号的分形维数接近噪声的分形维数；但随着信噪比的增大，加噪信号的分形维数逐渐接近信号的分形维数，在5 dB～20 dB范围内基本趋于稳定。所以此时可以用于信号调制样式的识别。

3 结论

通过大量仿真实验得知：信号采样点数越大，分形维数越稳定；信号盒维数受采样频率与载频的倍数影响较大，信号信息维数受采样频率与码元速率倍数的影响较大，固定两者之间的倍数关系，则分形维数基本恒定；噪声的分形维数基本恒定，在一定信噪比情况下，信号分形维数对噪声不敏感。本文着重分析了信号参数对分形维数的影响，为把分形维数应用到信号检测和识别中提供理论依据，具有一定的参考价值。

［1］谢和平，薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法［M］.北京：科学出版社，1998.

［2］赵春晖，马 爽，杨伟超.基于分形盒维数的频谱感知技术研究［J］.电子与信息学报，2011，33（2）:475-478.

［3］吕铁军，郭双冰，肖先赐.调制信号的分形特征研究［J］.中国科学E辑，2001，31（6）:508-513.

Signal Characteristics to Influence of Fractal Dimension

LIU Wen-tao1，CHEN Hong1，CAI Xiao-xia1，WU Yuan-hong2
（1.Electronic Engineering Institute of PLA，Hefei 230037，China；2.Unit 73689 of PLA，Nanjing 210000，China）

Fractal Dimensions（FD）are popular metrics for characterizing signals.They are used as complexity measures in signal analysis applications in various fields.However，proper interpretation of such analyses has not been thoroughly addressed.To make the effect of various signal properties on FD certain，box dimension and information dimension of the pretreated signals are firstly estimated，and then the properties in terms of classical signal processing concepts such as number of sampling，noise power，carrier frequency and symbol rate are researched.Simulation results show that when the sampling frequency is fixed，FD is not sensitive to the noise;symbol rate has a little influence on box dimension but has a great influence on information dimension;carrier frequency has a great influence on box dimension but has a little influence on information dimension.

signal characteristic，box dimension，information dimension

TN92

A

1002-0640（2014）09-0069-03

2013-06-08

2013-09-03

刘文涛（1991- ），男，安徽阜阳人，硕士。研究方向：无线通信与通信对抗。