“因式分解”应注意的问题及常见错误

俞海江

摘 要：根据新课程标准数学教学要求，本文结合多年来的教学实践，总结因式分解的要求、注意点、常见错误，力求让学生掌握因式分解的方法。

关键词：分解因式 注意问题 几种变化 常见错误

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（c）-0094-02

新浙教版教材下册第四章主要学习的内容是多项式的因式分解。

这一章的重点是因式分解的几种基本方法，难点是学完几种基本方法后，能否根据不同的题目，进行具体的分析，灵活地综合运用多种方法分解因式，突破难点的关键在于掌握分解因式各种方法的特点。

1 学习本章内容的要求

（1）明确因式分解的意义，掌握因式分解的常用方法和一般步骤。

（2）能熟练地综合运用学过的几种基本方法进行因式分解。

2 学习中因注意的问题

（1）因式分解是一种和差化积的变换，属于恒等变形，变形前后的式子必须相等（恒等），保持“形”变而“值”不变，既不能“无中生有”，也不能“化有为无”。如：

x2-xy+y2=x2-2xy+y2=（x-y）2就是错误的。

（2）因式分解的定义中所说的“积的形式”是对因式分解的多项式的整体来说，不能只分解多项式的一部分，如：

①x2+2x-16=（x-3）（x+5）-1

（2）x3-x2+x-1=x（x2-x+1）-1

这些表示方法都不能算是因式分解。

根据定义，多项式所分解成的每个因式必须是整式，例如x-y=（x2-y2）× 就不是因式分解。

（3）教材中指出：“因式分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止”指的是在规定的数系范围内不能再分解为止。在没学到实数之前，只能在有理数范围内进行。如36x4-y4=（6x2+y2）（6x2-y2），以后学了实数后，另一个因式6x2-y2还能分解，但现在不能。但要注意并非任一多项式都能在有理数范围内进行分解因式，如x2-6x+10。对于能够分解的多项式，方法往往不限于一种，要力求选择最简便的方法。

（4）由于受课本上的例题及其解法的影响，一些同学对因式分解的结果表达式产生一种错觉，就是表达式一定是唯一的，其实不然，如：

分解因式：m2+mn+n2

解法一：m2+mn+n2=（m）2+2。mn+n2=（m+n）2

解法二：m2+mn+n2=（m2+6mn+9n2）

=（m+3n）2

值得指出的是：上述例说明由于系数与符号的作用，多项式因式分解的结果表达式可能有几种形式。当然，这些形式不同的表达式是可以互化的，其值不變。

3 在学习中，要掌握好以下几种变化，可为分解因式创造有利条件

（1）符号变化。

例：分解因式（a+b）（p-q）+（a-b）（q-p）.

若将q-p变为-（p-q），则

原式=（a+b）（p-q）-（a-b）（p-q）=（p-q）（a+b-a+b）=2b（p-q）

（2）指数的变化。

例：分解因式x n+1-x n-1

若将x n+1变为x n-1.x 2，则

原式=x n-1（x 2-1）=x n-1（x +1）（x -1）.

（3）代换变化。

例：分解因式4（x +y）2-12（x +y）（2x -y）+9（2x -y）2

若设m=x +y，n=x -y，则

原式=4m2-12mn+9n2=（2m-3n）2. 即有

上式=[2（x +y）-3（2x -y）]2=（5y-4x ）2

（4）组合变化。

例：分解因式x 2-6x -4y2+12y

原式=（x 2-4y2）-（6x -12y）=（x +2y）（x -2y）-6（x -2y）=（x -2y）（x +2y-6）.

（5）展合变化。

例：分解因式ab（c2-d2）-cd（a2-b2）

原式=abc2-abd2-a2cd+b2cd=（abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）=（bc-ad）（ac+bd）

（6）增拆变化。

例：分解因式x4+4y4

原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-（2xy）2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）

在进行以上六种变化时，应做到“多想一步，有的放矢”。

4 因式分解是学习分式、解方程、三角函数式变形的基础

它也是教与学的难点之一，其解法灵活、技巧性强，所以容易出错，为防微杜渐和纠正错误，下面将因式分解中常见的错误作一归类分析。

4.1 只分解了部分项

错解例1：

P2-5p-36=（p2-5p）-36=p（p-5）-36

或=（P2-36）-5p=（p+6）（p-6）-5p

错解例2：

4x2-4xy+y2-a2=（4x2-4xy）+（y2-a2）=4x（x-y）+（y+a）（y-a）

或=（4x2-a2）-（4xy-y2）=（2x+a）（2x-a）-y（4x-y）

分析：两个错例四种解法，一个病根，就是只看到了局部中的多项式能分解因式，没有看到全局的下一步不能分解因式，因而，把不应分组的错例1分了组；把该分组的错例2分错了组，这种错误反应了对因式分解的定义没有真正理解。

错例1分解的正确结果是（p+4）（p-9）

错例2的正确分组时（4x2-4xy+y2）-a2

4.2 提公因式法中的错误

（1）符号处理失误。

例3：分解因式：

误解：原式

分析：多项式的首项带有负号时，在解题时可先提出负号，使括号内第一项系数为正，再提公因式。

正解：原式。

（2）有而不提。

例4：分解因式：。

误解：原式

致原式分解后括号里仍有公因式。

正解：原式

（3）忽略系数。

例5：分解因式：

误解：原式

分析：系数也是因式，分解时要提取各项系数的最大公因数。

正解：原式

（4）漏掉了括号里是1的项。

例6：分解因式：3x2-6xy-x

误解：原式=x（3x-6y）

分析：把公因式x提出后，就认为多项式中是x的项不存在了，因而漏掉了括号里是1的项，这里把单独成项的不可省略的“1”与可省略的系数“1”弄混了。

正解：原式=x（3x-6y-1）

4.3 运用公式中的错误

（1）不理解公式中字母的含义，错用公式。

例7：分解因式：。

误解：原式

分析：对平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）中a、b未理解其含义。公式中的a、b应分别为3x和2y。

正解：原式

（2）不记公式特点，乱用公式。

例8：分解因式：

误解：原式

分析：对完全平方公式的特点认识不足，以至把误认为是完全平方式。

正解：原式

（3）思维有局限，复杂式子中不会用公式。

例9：分解因式：

许多同学对此题束手无策，或误解为原式。

分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。要避免把公式中的字母看成一个数的局限性。

正解：原式

4.4 分解不彻底

分解不彻底是分解因式时最容易犯的错误，应注意分解因式要分解到每个因式不能再分解为止。

例10：分解因式

误解：原式

分析：分解出来的因式，没有继续分解彻底。

正解：原式

4.5 混淆了因式分解与整式乘法的区别

错解例11：

（a2+1）2-4a2=（a2+2a+1）（a2-2a+1）=（a+1）2（a-1）2=（a2-1）2

分析：错例11把已经分解完的因式 （a+1）2（a-1）2又进行了整式乘法运算，得 （a2-1）2，这是对因式分解的概念没有理解所造成的。

4.6 漏掉了项中的字母

错解例12：

5x2+6xy-8y2=（x+2）（5x-4）

分析：错例12分解成的两个因式之所以都漏掉了字母y，是由于受了第三项不含字母的二次三项式分解因式的影响，这是思维定势的反映。

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，深刻理解公式，牢记分解方法，并能灵活运用。以下口诀同学们在分解过程中不妨试一試，希望对你有所帮助：

首项有负常提负，各项有公先提公；

某项提出莫漏1，公式特点要牢记；

各个因式看仔细，括号里面分到“底”。

因式分解的内容渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。我们在教学过程中应予以足够重视，从而促使学生更好地学好数学、用好数学，为我们的祖国培养更多更优秀的人才。

参考文献

[1] 数理化学习：初中版[D].哈尔滨师范大学.