一种基于椭球约束的加速度计粒子群优化静态修正方法

金 梅， 张康宁， 金 菊， 于国辉， 李文超

（1.燕山大学河北省测试计量技术与仪器重点实验室，河北秦皇岛 066004；

2.河北工业大学土木工程学院，天津 300401； 3.秦皇岛视听机械研究所，河北秦皇岛 066000）

一种基于椭球约束的加速度计粒子群优化静态修正方法

金 梅1， 张康宁1， 金 菊2， 于国辉3， 李文超1

（1.燕山大学河北省测试计量技术与仪器重点实验室，河北秦皇岛 066004；

2.河北工业大学土木工程学院，天津 300401； 3.秦皇岛视听机械研究所，河北秦皇岛 066000）

研究了微机电系统加速度计基于椭球约束的静态修正法。根据微机电系统加速度计输出数学模型，采用标准粒子群优化算法估计微机电系统加速度计的输出数学模型中的刻度因数、零偏及正交误差。实验结果表明，该方法有效剔除了采样过程中的随机误差，粒子群优化方法的引入，使得微机电系统加速度计输出能够准确地反映其真实值。

计量学；微机电系统；加速度计；惯性运动跟踪；椭球约束；静态修正；粒子群优化算法

1 引 言

在惯性运动跟踪系统中，主要使用惯性微机电系统（MEMS：micro-electro-mechanical system）传感器和磁力计实现角度估计，因为MEMS陀螺仪存在明显的固有偏差和噪声误差，因此姿态角的累积误差会随时间而不断增长。为了修正陀螺仪的累积误差，人们引入了加速度计和磁力计作为参考。由于传感器的制造原因和使用环境，加速度计的输出存在一定的误差，限制了其使用效果，需要对其进行修正。根据重力加速度为固定矢量，人们目前先后提出了多种修正方法，主要有3类：第一类是根据加速度的幅值为1g，典型的有工程中普遍使用的最大值最小值法［1］，但该方法仅能估计标度因子误差和零位偏差，而且容易受到随机误差的干扰；第二类是根据已知姿态下加速度矢量值，进行静态标定，主要有Seong-hoon［2］、秦永元［3］等提出了六位置测试法，该方法计算简单，修正精度高，但需要外部旋转平台提供精确的空间姿态，限制了使用范围。第三类就是和陀螺仪组成惯性测量单元进行测试，北京航空航天大学的李建利［4］、孙宏伟［5］提出了组合标定补偿方法，可以同时校准静态和动态误差，数据利用率高，但其输出数学模型复杂而且需要高精度旋转平台。

在实际修正过程中，六位置测试法和组合标定法，均需要依靠旋转平台提供参考数据，这限制了其使用范围；最大最小值法，通过加速度计匀速旋转过程中的输出重力场矢量，不需要外部参考设备，更适合普通用户的使用，但是，该方法只能估计部分误差参数，包括零偏和量化误差两种，所以如何根据输出的重力场矢量提高估计精度，扩展估计的误差参数种类，成为提高其估计精度的主要改进手段。通过分析MEMS加速度计的误差来源及其数学模型，在最大最小值法定基础上，本文引入了基于椭球约束的最小二乘静态修正方法，扩展了修正的误差参数种类。为了得到更为完整的加速度计的误差修正模型，本文引入了（PSO：particle swarm optimization）算法，提出了基于椭球约束的加速度计PSO静态修正方法，通过实验验证所提方法的有效性。

2 MEMS加速度计的误差模型

实验中使用ADI公司生产的三轴加速度计ADXL345，该传感器主要用于消费类电子的微惯性传感测量，最大可以测量±16g，测量精度为3．9g（每最低有效位），具体的现场采集模块见图1，三轴加速度计安装误差见图2。本文设置其为13位A／D转换，灵敏度为3.9g，量程为－2g～2g，故1g为255 Counts，通过MSP430F169的I2C总线进行数据采集，采样速度40 Hz。

根据加速计的测量原理，MEMS加速度计的主要误差包括零偏、量化、对准、正交误差和轴间干扰等。按照其误差特点，可得某MEMS陀螺捷联惯导系统中MEMS加速度计的误差模型方程为：

图1 加速度计现场采集模块

图2 三轴加速度计安装误差

式中：HS为传感器载体坐标下的加速度矢量，Gp为MEMS平台载体坐标下的加速度矢量，B为零偏，S为各轴的量化误差，M为传感器坐标和MEMS平台的正交误差，∂i，j为两个坐标系的对准误差角度。其中，

2 基于椭球约束的最小二乘静态修正

因为重力加速度为大小和方向固定的空间矢量，当重力加速度计围绕中心点匀速旋转时，加速度矢量应该是分布在中心点为（0，0，0）、半径为1g的球面上。但因为测量误差的存在，实际的加速度矢量分布在中心为（bx，by，bz）的椭球面上，因此加速度计的静态修正转换为椭球面约束下的参数估计［6］。最小二乘法就是根据重力加速度矢量的大小固定，将重力加速度真值作为参考值，进行参数估计，并建立目标函数，见式（2）。

基于椭球约束的最小二乘修正方法。将式（1）代入式（2）可得目标函数，因此需要确定矩阵K和向量C中，共9个参数，加速度计的误差模型为：

将式（3）代入式（2），可得式（4），因此误差参数的估计就转化为对式（4）中参数mi的最小二乘估计，根据计算所得mi，即可得到相应的误差参数。

3 基于椭球约束的PSO静态修正

在文献［6］中，提出了更为全面的误差模型。因为加速度计的各轴间存在相互干扰，有时可达到测量值的5%，因此将矩阵S修改为

式（7）中，待估计的参数共有12个，如果仍旧采用第2节提出的最小二乘法推导出和式（5）类似的方程组，很难直接计算出对应的误差参数。为了解决式（7）中参数估计的问题，本文引入了PSO算法（粒子群优化算法）。

PSO算法［7］具有收敛速度快，计算模型简单等优点，随着其诞生就在工程应用中得到广泛的推广，因此也衍生了很多粒子群优化的改进算法。在分析了众多改进的粒子群算法后，标准粒子群算法分别在拓扑结构、惯性权重、粒子数目、粒子初始化和边界条件等方面提出了相应的参考标准，并在大量的函数上验证了该算法的准确性和稳定性。

将式（7）代入式（2），可以确定PSO估计算法的适应度函数，由此可知，待估计的参数共有12个，则定义粒子维数为12。根据重力场的椭球分布特点分布和第2节所述，确定PSO算法的适应度函数为：

根据标准粒子群算法［8］，定义D＝12维的搜索空间，粒子数目为50，采用环形拓扑结构。第k次循环迭代中，粒子的位置和速度为Xi（k）＝（Xi1（k），Xi2（k），Xi3（k），…，XiD（k））和Vi（k）＝（Vi1（k），Vi2（k），Vi3（k），…，ViD（k）），相应的各粒子个体最优位置为Pi（k）＝（Pi1（k），Pi2（k），Pi3（k），…，PiD（k）），个体最优适应度y＝（y1，y2，y3，…，y50）和局部最优位置gi（k）＝（gi1（k），gi2（k），gi3（k），…，giD（k）），局部最优适应度依次为yg＝（yg1，yg2，yg3，…，ygn）。各粒子的速度和位置更新如下式

粒子速度更新中，右边第1项是粒子飞行的惯性速度，来保证粒子处于飞行状态；第2项是自我学习部分，表示粒子从自身的飞行经验学习，向自己曾经找到的最优位置靠近，c1为其学习因子，r1为0～1的随机数；第3项是社会经验部分，从邻域中的其他粒子的飞行经验中学习，向邻域粒子的最优位置靠近，c2为其学习因子，r2为0～1的随机数。在粒子的飞行过程中，限制了各粒子的飞行速度，同样对粒子的搜索空间也进行了相应的限制，使各粒子分布在最优位置的附近区域内，不仅可以提高搜索速度，而且可以提高准确性。

按照标准粒子群算法，其计算步骤：（1）设置相应的参数，粒子数目为N＝50，各粒子为D＝12；在可能的搜索区域内对粒子群进行随机初始化，包括位置和速度。（2）计算各粒子的适应度。按照索引号的环形拓扑结构内，取邻域半径为1，计算各粒子的个体最优位置和局部最优位置的适应度。（3）在［－Vmax，Vmax］和［－Pmax，Pmax］内，对群体中各个粒子的速度和位置进行更新。（4）更新粒子的个体最优位置和其适应度，并和邻域范围内的局部最优位置的适应度比较后，更新其局部最优位置和其适应度。（5）如果迭代结束，则输出最优位置和其适应度，否则返回步骤（3）。按照前面的方法，得到误差修正模型结果：

4 仿真实验及分析

通过I2C总线，按照40 Hz进行重力加速度值原始数据采样，共采样1936次，采样点基本覆盖了球面的所有点，以保证参数估计的精度和准确性。按照前文介绍的最小二乘法和PSO法对采样所得数据进行静态修正处理，分别代入式（6）和式（11），2种方法修正后重力加速度幅值见图3。

图3 重力加速度修正前后的幅值分布

实验结果如表1所示，证明了椭球约束的有效性，但PSO法则能实现更好的误差参数估计，给出更为完善和全面的误差模型，所以其参数估计效果更为理想。

表1 重力加速度修正前后的幅值比较

因此PSO静态修正法明显减小了重力加速度的测量误差。造成这种区别的主要原因是最小二乘法对数学模型进行了简化处理，只能对部分误差进行估计。而PSO静态修正法，估计的误差参数，包括了加速度的主要误差参数，给出了整个空间内的最优估计，更接近理想的误差模型。

在N-E-D坐标系下，当加速度计处于静止时，X、Y、Z三轴的测量值依次为X＝－sin（θ）、Y＝cos（θ）sin（φ）和Y＝cos（θ）cos（φ），因此可知θ＝asin（X）、φ＝atan（Y／Z）（θ和φ分别为俯仰角和滚转角）。为了验证文中静态修正的效果，设计2组实验来测试角度测量的精度，分布为：实验1是θ＝0，φ＝［－180°，165°］；实验2是φ＝90°，θ＝［－75°，75°］；其角度间隔均为15°。

采样过程中，每个静态位置间隔30 s采样一次，共采样15次，将各轴向平均值作为该姿态的重力加速度矢量，以消除随机误差的影响。为了避免欧拉角坐标系中万向节死锁的问题，本文选择θ的测量范围为［－75°，75°］。

根据式（6）和式（11）分别修正静态位置下的加速度计各轴分量，见图4，X、Y、Z各轴的标准差见表2。

表2 标准姿态下各轴的标准差

从修正结果可以看到，PSO的修正效果比最小二乘法有一定程度的改善，2组实验证明，在大部分情况下，PSO法的修正精度要好于最小二乘法。因为PSO法和最小二乘法都是根据采样的加速度计输出矢量进行统计分析，是针对重力场矢量在椭球面的分布进行参数估计，会出现某些姿态下PSO法的效果不如最小二乘法，如实验1中Z轴误差分布图。

将各个静态位置下测得的加速度计各轴分量，分别代入式（6）和式（11），完成静态静态修正。根据修正值，计算加速度计的俯仰角和滚转角，并将其与真值进行比较，得到各角误差，如图5所示。从图5结果可知，经过修正后，误差角度小于5°，满足了运动捕捉的使用要求；PSO的修正效果明显提高了角度估计的精度，其角度误差平均值为2°以内。

图4 标准姿态下各轴的误差

图5 标准姿态下各角的误差分布

5 结 论

本文提出的基于椭球约束的加速度计PSO静态修正方法针对原有的加速度计误差模型，引入了新的智能算法，能够有效地估计加速度计的主要误差参数，包括轴间误差，保证了误差模型的完整，给出了整个空间内的最优估计，同时将该方法与最小二乘静态修正法进行了对比，实验结果证明，PSO静态修正方法能实现更好的误差参数估计，给出更为完善和全面的误差模型，所以其参数估计效果更为理想。在最大最小值的基础上，本文提出了基于椭球约束的种修正方法，分别是最小二乘静态修正法和PSO静态修正法，2种方法的误差模型和目标函数基本一致，都是根据重力场矢量的椭球分布，是根据待估计矢量的强度完成参数估计，所以2种方法都不能估计加速度计坐标和载体坐标间的对准误差，所以有必要对对准误差专门的误差修正。另一方面，参数估计的准确度和采样点的分布情况有直接关系，在椭球面上，应该实现采样点的均匀分布，所以下一步的研究将集中在如何确定采样过程中，加速度计的旋转操作流程，减少采样点的数目，并提高估计精度。

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A Particle Swarm Optim ization Static Calibration Method of Micro-electro-mechanical System Accelerometer Based on Ellipsoidal Restriction

JIN Mei1， ZHANG Kang-ning1， JIN Ju2， YU Guo-hui3， LIWen-chao1
（1.Measurement Technology and Instrumentation Key Lab of Hebei Province，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei066004，China；2.School of Civil Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China；3.Audio-Visual Machinery Research Institute，Qinhuangdao，Hebei066000，China

The particle swarm optimization static calibrationmethod ofmicro-electro-mechanical system accelerometer based on ellipsoidal restriction is studied.According to the output mathematical model of the micro-electro-mechanical system accelerometer，the standard particle swarm optimization algorithm is taken to estimate scale factors，bias，and installation errors in the outputmathematical model.The experimental results show that the method can eliminate the random errors in the sampling process effectively.With the introduction of particle swarm optimization algorithm，the outputs of themicro-electro-mechanical system accelerometer can reflect their true values.

Metrology；Micro-electro-mechanical system；Accelerometer；Inertial motion tracking；Ellipsoidal restriction；Static calibration；Particle swarm optimization algorithm

TB934

A

1000-1158（2014）03-0230-06

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．03．08

2013-06-08；

2013-08-09

国家自然科学基金（61077071）

金梅（1977－），女，黑龙江明水人，燕山大学，博士，主要研究方向为视觉伺服、智能控制及智能信号处理。meijin297＠126.com