不同正交基函数系反演边界温度场比较

霍海娥，霍海波，敬成君

（1.四川大学建筑与环境学院，四川 成都 610065；2.上海海洋大学海洋工程研究所，上海 201306）

不同正交基函数系反演边界温度场比较

霍海娥1，霍海波2，敬成君1

（1.四川大学建筑与环境学院，四川 成都 610065；2.上海海洋大学海洋工程研究所，上海 201306）

基于3种不同的正交基函数系（三角函数正交系，Legendre正交多项式和Chebyshev正交多项式），比较研究了一类二维稳态热传导方程反问题中边界温度场的数值反演方法。首先引入泛函，根据线性偏微分方程的叠加原理，将所研究的反问题转化为求解泛函极小值的正问题；然后基于测点温度，通过求解离散后的线性代数方程，得到各基函数的系数，对边界温度场进行有限维逼近，重构得到边界温度场的分布。研究结果表明：采用3种正交基函数系均能有效地重构边界温度场，数值反演结果曲线与边界温度场原函数曲线吻合较好，3种函数系均可应用于类似的反演研究。

正交基函数系；导热反问题；数值反演；泛函

0 引言

边界温度场的重建问题是导热反问题中的基本问题，其原理是通过测点的温度来反算边界的温度场分布。文献［1－3］研究了一维热传导方程的边界温度场或边界热流量的反演问题；文献［4］利用基本解法、文献［5］利用拟解法结合偏微分方程的叠加原理，研究了二维热传导方程的边界温度场反演问题；文献［6］探讨了多项式数值逼近法在黑体辐射问题反演中的应用，取得了较好的效果；文献［7－8］基于一维瞬态热传导反问题，反演了导温材料随温度变化的导热系数。以上研究均没有探讨采用不同正交基函数系对数值反演结果的影响，也没有研究测点数量和基函数个数对数值反演结果的影响程度。由于边界温度场的分布都可以看作是一个函数，而正交基函数系由于在空间上的正交特性，其线性组合能够逼近任意函数［9］，因此，本文拟基于3种不同的正交基函数系，对二维稳态导热反问题的边界温度场进行数值反演计算，比较不同正交函数系的反演效果，探寻测点数量和基函数个数对数值反演结果的影响。

1 问题描述

考虑一个有限域二维稳态传热边界温度场的反演问题，模型见图1，其数学方程为控制方程：

求解方程时网格划分及节点设置如图2所示。

图1 边界温度场反演模型

图2 节点示意图

问题提出：由测点温度t0＝U（x0，y0）分布反推U（0，y）＝f（y），即x＝0边界上温度场的分布，假设原函数为U（0，y）＝sin（πy），采用文献［5］提出的反问题数值解法进行求解。

2 结果与讨论

2.1 测点位置及测点数对反演结果的影响

为了考查测点位置及测点数量对数值反演的影响，改变单测点的位置，数值反演结果如图3所示，选取不同数量的测点进行计算，数值反演结果如图4所示。

图3 单测点位置对数值反演结果的影响

图4 测点数量对数值反演结果的影响

图3的计算条件为20×20网格，（0.3，0.3；7）表示测点位置为：x0＝0.3，y0＝0.3，数字7代表选取7个正交三角函数基函数。由图3可以看出：通过改变测点位置，基于不同的测点温度反演得到的反演结果曲线相差甚远，如果采用左下角测点的数据，则曲线会向左偏移，如果测点取在右上角，反演结果曲线又会向下偏移。说明单测点所包含的信息不完整，需要采集多个测点的信息才能准确反演。

图4的计算条件为20×20网格，采用7个正交三函数基函数进行数值反演，用于比较不同测点数对反演结果的影响。从图4可以看出：随着测点数的增加，数值反演结果曲线越来越逼近原函数，说明增加测点数对于数值反演是有利的。

2.2 基函数个数与网格数的匹配关系以及对反演结果的影响

为了考查基函数个数与网格数的匹配关系以及对反演结果的影响，分别采用20×20、30×30、40× 40的网格，基于正交三角函数系进行数值计算，结果如图5～图7所示。

图5 20×20网格数值反演结果

图6 30×30网格数值反演结果

从图5～图7可以看出：选取正交三角基函数系进行数值反演，当网格为20×20时，用5个基函数进行数值反演的结果与原函数吻合较好；网格为30×30时，用7个基函数数值反演的结果与原函数完全吻合；网格为40×40时，用9个基函数数值反演的结果已经非常逼近原函数。由图5～图7还可看出：对于一定数量的网格数，初始随着基函数个数的增加，反演结果曲线会越来越逼近原函数，而当基函数个数增加到某一值时，反演结果曲线与原函数的拟合度达到最高，之后随着基函数个数的增加反演结果曲线会越来越偏离原函数。说明基函数个数的选取与网格数之间存在一定的关系，即当网格数和基函数的个数正好匹配时，此时的数值反演效果最好。

图7 40×40网格数值反演结果

2.3 不同正交基函数系对反演结果的影响

本文中边界温度场重建的区间是y∈［0，1］，所采用不同正交基函数系的比较见表1。

表1 不同正交基函数系的比较

图8为20×20网格用Legendre多项式正交基函数反演。由图8可以看出：当采用20×20网格，选取Legendre多项式正交函数系作为基函数时，采用3个基函数和采用4个基函数时反演结果曲线重合，与原函数吻合较好；当采用5个基函数时反演结果曲线与原函数吻合度最高，随着基函数个数的增加，反演结果曲线越来越偏离原函数，拟合误差越来越大。所以对于20×20网格，采用5个正交Legendre多项式基函数可得到最佳数值反演结果。

图9为20×20网格用Chebyshev多项式正交基函数反演。由图9可以看出：当采用20×20网格，选取Chebyshev多项式正交函数系作为基函数时，反演结果与采用Legendre多项式正交函数系作为基函数时几乎一致，当采用5个基函数时反演结果曲线与原函数已经完全重合，随着基函数个数的增加，反演结果越来越偏离原函数，反演误差越来越大。所以对于20×20网格，采用5个正交Chebyshev多项式基函数可得到最佳数值反演结果。

图8 20×20网格用Legendre多项式正交基函数反演

对于相同的网格数（20×20），分别采用相同个数的正交三角基函数、Legendre正交多项式基函数和Chebyshev正交多项式基函数对其进行数值反演，反演结果如图10所示。

由图10可以看出：网格数固定为20×20，采用文中提出的3种不同种正交函数系，分别取5个基函数进行数值反演计算时，3种函数系都能得到满意的反演效果。其中，正交三角函数系的数值反演结果曲线与原函数的重合度较低，而Legendre多项式和Chebyshev多项式的数值反演结果曲线几乎重合，且与原函数的重合度都很高。

图9 20×20网格用Chebyshev多项式正交基函数反演

图10 采用3种不同正交函数系的数值反演比较

3 结论

（1）在进行数值反演计算中，测点的位置及数量都有可能影响反演效果，通过比较发现：单测点所含的信息较少，为了保证反演效果，需采用多个测点的数据进行数值反演计算。

（2）在进行数值反演计算中，要注意正交函数系中基函数个数的选取与网格的划分存在最佳匹配关系，如采用正交三角基函数系进行数值反演，对于20×20网格数，选用5个基函数反演效果最好；对于30×30网格数，选用7个基函数反演效果最好；对于40×40网格数，选用9个基函数反演效果最好。当两者达到最佳匹配时，反演结果曲线与原函数曲线逼近度最高。

（3）正交三角函数系、Legendre正交多项式和Chebyshev正交多项式都可以用来进行边界温度场的反演计算，3种正交函数系中，Legendre正交多项式和Chebyshev正交多项式的反演效果非常好，正交三角函数系反演效果稍差。

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TB1

A

1672－6871（2014）04－0026－05

上海市自然科学基金项目（12ZR1413100）

霍海娥（1974－），女，山西代县人，副教授，博士生；敬成君（1965－），男，四川南部人，为通信作者，教授，博士，博士生导师，研究方向为传热与建筑节能.

2013－06－28