基于分形方法估算部分商为a或b的连分数集维数

闫月静，刘丰

（吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000）

基于分形方法估算部分商为a或b的连分数集维数

闫月静，刘丰

（吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000）

连分数的展开式具有结构上的自相似性，部分商满足一定条件的连分数构成的集合是分形集，通过构造迭代映射的方法估算其Hausdorff维数.

分形；连分数；部分商；Hausdorff维数

1 连分数的定义

2 Hausdorff维数

3 部分商为a或b的连分数的分形维数的估算

3.1 定义及定理

3.2 连分数的分形维数的估算

对于部分商都等于a或b(a

例1对于连分数展开的部分商只包含数字2或3的正数所构成的集合，讨论它的Hausdorff维数的估计.

设F是正实数组成的数集，x∈F且x具有无穷部分的连分数展开式，部分商都等于3或2，则F是闭的且有界的集合.

首先证明集合F是分形集.

则F对Si是不变的，数集F是分形集.

然后求出满足部分商只包含数字2或3的集合F取值范围.

改变加在部分商上的条件可以得到作为某些变换的不变集的其他分形，并且依照这种方法可以求出其分形维数.但是对于实直线的子集，维数的上估计大于1是没有意义的，所以还要构造迭代映射，进而缩小估计值.[8]

例2设F是正实数组成的数集，x∈F，且x具有无穷的部分分式展开式，它们的部分商都等于2或4，0.232

例3设F是正实数组成的数集，x∈F，且x具有无穷的部分分式展开式，它们的部分商都等于1或2.

显然集F是分形,但是得到的维数估计是

那么现在维数的上、下估计分别由以下方程解出

得出0.44

总之，对于部分商都等于a或b的连分数的分形维数估值问题，可以采用如上所示构造迭代映射的方法，一步步缩小估计值.

[1]Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M].San Francisco:Freeman,1983,41-45.

[2]商朋见.无穷数列集的Hausdorff测度和Hausdorff维数[J].北京交通大学学报,2000:2.

[3]廖晓娟.序列部分商与豪斯多夫维数[D].华中科技大学,2009.

[4]丁伟业.连分数部分商的分形维数[D].华中科技大学,2011.

[5]吕美英.形式级数域上连分数展式与丢番图逼近的若干问题[D].华中科技大学,2011.

[6]陈晓丹.两类分形集的Hausdorff测度[D].四川师范大学,2005.

[7]吕美英.形式级数域上连分数展式与丢番图逼近的若干问题[D].华中科技大学,2011.

[8]张振亮.Engel连分数展式与Huasdorff维数[J].应用数学,2011,24(3).

[责任编辑张灿邦]

Based on Fractal Geometry Method Estimate Continued Fraction Sets’Dimension of Partial Quotient a or b

YAN Yue-jing,LIU Feng
(College of Mathematics ,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000,China)

Continued fraction expansion has such type structure as the self-similarity fractal sets ,its partial quotient whicd meets some certain conditions is a fractal set,Haussdorff dimension can estimated by the means of construing iterative mapping method.

fractal geometry;continued fraction;partial quotient ;Hausdorff dimension.

O29

：A

：1008-9128（2014）05-0026-04

2013-12-16

闫月静（1989-），女，吉林敦化人，硕士，研究方向：应用数学。