“几何直观”在一次函数实际问题中应用的探究

潘天平

摘 要：几何直观就是依托、利用图形进行思考和想象.这里所指的直观不仅仅是直接看到的几何图象，更重要的是依托现在看到的和以前看到的图象进行思考、想象.一次函数是学生所认识的第一类函数，它的实际问题的应用也是学习重点和难点，本文所阐述的内容就是如何应用“几何直观”来解决相关问题.

关键词：几何直观；解决；一次函数；实际问题

一次函数是学生所认识的第一类函数，它的实际问题的应用是学习的重点和难点，从课标中相应内容的四维目标来看，对学生提出了较高的要求，而且如果学生掌握了函数图形进行分析的能力和技巧，必将对今后学好其他类型的函数知识提供经验和帮助.从一次函数的实际问题的课堂教学情况来看，学生在分析问题时显得较为吃力，特别是在数学建模时，往往着重于从“数”的角度入手而忽视于“形”.20世纪伟大的数学家希尔伯特在其巨著《直观几何》一书中谈到：图形可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果.几何直观就是依托、利用图形进行思考和想象.这里所指的直观不仅仅是直接看到的几何图象，更重要的是依托现在看到的和以前看到的图象进行思考、想象 [1 ].借助几何直观可以使复杂的数学问题简明、形象，也有助于探索解决问题的思路，预测结果.而图象是函数的一种重要的呈现方式，很多图象内在隐含的本质也已直观呈现，引导学生学会分析已呈现的函数本质特征，可为解决一次函数的实际应用的问题提供很大帮助.在一次函数实际问题的教学中，几何直观可以应用在以下几种常见的题型中.

一、关于当运动的速度为匀速时，路程与时间的函数关系的实际应用的题型

在一次函数的图象信息题中，路程问题是比较常见的题型，其图象的直观性尤为明显：自变量时间为0时其对应的图象的点即为出发点，时间终止时其对应的图象的点即为终点.当运动的速度为匀速时，其图象为直线，两条直线的交点能明晰地体现运动者相遇的时间和地点.正是因为有这些鲜明的直观性，很多路程的问题都可借助函数图象来解决.

案例1：甲、乙两辆摩托车从相距20公里的A，B两地相向而行，如图1，l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系.

（1）哪辆摩托车的速度较快？

（2）经过多长时间，甲车行驶到A，B两地的中点？

（3）经过多长时间，两车相距5 km？

分析：在思考第（3）小题的解题思路时，可以从“数”的角度去解决：这是一个路程方面的相遇问题，乙车速度=20/0.5=40 km/h，两车第一次相距5km时，两车共走了20-5=15km，则经过的时间为15/（40+100/3）=9/44 小时；两车第二次相距5km时，两车共走了20+5=25km，则经过的时间为25/（40+100/3）=15/44 小时.

上述解法是数学逻辑思维在实际问题中的一个很好的应用，但是学会用图形思考、想象问题来研究数学，也是学习数学的基本能力.此题还可以引导学生观察直观的函数图形想到：可以把直线l1，l2的函数解析式分别求出来：y1=-40x+20，y2=（100/3）x，设时间为a小时时两车相距5 km，把a分别代入这两个函数关系式，求得对应函数值即纵坐标为：-40a+20和（100/3）a，根据两车相距5 km可列出|（-40a+20）-（100/3）a|=5，从而求得a的值，即时间值也就相应求出了.虽然学生刚开始学习函数的内容，还不太习惯这种解法，但在评析这个问题时，通过展示和比较这两种解法，学生可以感受到后一种解法的直观和简便.在平时的教学中，学生逻辑推理能力和几何直观能力应共同培养，让学生体验解决问题方法的多样性，这样才能更好地培养学生的创新意识.

二、物体的存储或积蓄总量随时间的变化而变化的函数关系的实际应用的题型

这种题型的函数图像呈现的直观性是：在函数图像中可明晰的看出在某一时刻物体的存储或积蓄总量.学生如果能利用好图形，则可以从整体上把握或求出物体存储或积蓄总量高于或低于某个量时的相应时间段，对完善学生的数学思维提供极大的帮助.

案例2：一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分钟内只进水不出水，在随后的9分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量都是常数.容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图2所示.当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.

这一题从“形”的角度看，y=5时有两个不同的一次函数组成的分段函数的图象中的相同函数值，把此值代入相应的两个函数解析式中，求出对应的自变量的值，即横坐标的值，再求出这两个横坐标的差值即可.从图（2）可以直观的看出，当y等于5时，对应的x的值有两个，即当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围就介于这两个值之间.借助于恰当的图形几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和接受抽象的内容和方法 [2 ].

三、在不同的分段函数中，针对某一个自变量的值或范围，比较相对应的各函数值的大小的题型

在《一次函数与方程、不等式》这节教学内容中，求解方程（组）或不等式就是通过 “形”来解决的，让学生感受到用“形”解决“数”的问题的直观性，但是在教学中也有不少学生在抱怨，他们认为：用七年级所学的方法去解方程（组）或不等式就可以了，为什么偏偏要绕到“形”中去解决，不是把简单的问题复杂化了？事实上，在实际应用的问题中，特别是分段函数的实际应用的问题，如果能用这种直观思想，则复杂的问题可以得到很好地解决.

案例3：人教版一次函数这一章中的第3节《课题学习 选择方案》的问题1是关于对上网收费的不同方案进行合理选择的问题，在建模时共列出了三个一次函数，其中列出的两个函数是分段函数，如果是从“数”的角度去判断的话，要比较yA、yB、yC的大小则要求解多个方程和不等式才能解决，其思路和运算步骤都非常繁琐，这无形中会给学生在学习上带来巨大的思想压力，但如果将这三个函数图像在同一直角坐标系中画出，如图3，根据《一次函数与方程、不等式》所学的知识，以交点为分界，在交点的两侧，利用结论：谁的图象比较高，谁的函数值就比较大，即相对应方案的收费就比较贵，反之即较便宜，就非常轻松地把问题解决了.几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一，这种解法正是利用了直观模型，真正把握了学生的“最近发展区”，找准真实的数学起点，为学生提升解决问题的能力，正确理解数学本质奠定了基础.

四、利用题目所给的条件，为已有的图形补充完善其直观性，从而为解决实际问题提供更直观帮助的题型

案例4：如图4，点p（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S.

（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；

（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？

（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？

这一题如果仅仅从数的角度去分析题目，会给学生造成很茫然的感觉：点P只是在第一象限上的任意一点，除了这个之外，它还有什么其它特性？就题目所给的图（图4），对列函数关系式及求自变量的取值范围作用不大.随着几何直观在平面直角坐标系中的应用的能力的提升，如果能把题目所给的条件与以前学到的知识结合起来，通过思考想象猜想出一些可能的结论和论证思路，这是在平时的教学中应不断培养的数学解题能力和思维，这一题由x+y=8想到函数y=-x+8，即意味着点P不仅在第一象限，而且它还是直线y=-x+8的图象上的一个动点，补充完善该图形，如图5，从动态的角度去看点P的运动轨迹，则很清晰地知道自变量的取值范围应是什么，当x=5时，点P应在什么位置也一目了然，此时△OPA的面积显然不可能大于24.这题正是因为利用了题目的条件给原有的图形增加了直观性，让要解决的问题在图中直观呈现和清晰易懂了.在平时的教学中应该建立和培养对数学的感悟、观念、意识、思想、能力，它们是学生在义务教育阶段数学课程最应培养的数学素养，这对学生的发展起着重要的作用.

总之，几何直观从不同程度上直接体现了数学的抽象、推理和模型的基本思想的要求，而图象是一次函数的一种主要表现形式，在解决实际应用的问题中，通过一次函数的图象思考到了什么？想到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式.当然，几何直观仅仅是在一次函数的实际应用这个舞台中的一个亮点，我们在解决一次函数的实际问题中，不能只关注一方而忽视另一方，只有从这两个角度去认识数学，培养对这两者之间的化归和转化意识，培养学生的空间观念与推理能力，促进合情推理能力与逻辑推理能力协调发展 [3 ]，才能促进学生的全面发展.

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读 [M].北京：北京师范大学出版社，2012：93.

[2]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式 [J].课程·教材·教法，2012（7）：92～97.

[3]张和平，朱灿梅.新课程背景下初中几何直观性水平探析 [J].贵州教育学院学报（自然科学），2007，4（2）：23～27.