等边三角形中的动点问题

施玮

题目的来源：课外

设计背景：八年级上册第二章特殊三角形复习。

设计思想及方法：动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动点型问题集几何与代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活多变，本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形形状的判断，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”。对学生的空间想象能力、综合分析能力都有着积极作用。同时，也体现了分类讨论、数形结合、方程的思想方法。

一、单动点问题

例1.如图△ABC是边长4 cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，设点P的运动时间为（s），那么t=____时，△PBC是直角三角形？

■

1.首先请同学们阅读题目，然后教师提出引导性的问题。

问题1:△PBC有几个元素？是否有会随P点的运动而改变呢？

学生活动：学生观察图形，点P从A点到B点的运动，探索图形中变化的量与不变量。特别是∠BPC的变化过程。

问2:请同学们想象一下，△PBC的形状会发生怎样的改变？

学生学习活动：让学生独立思考问题，自由发言。学生阐述自己的想法与结论。

通过这个问题的讨论探究，引导学生认识△BPC的变化过程。然后利用几何画板把点P动起来，显示动态图形，使问题更直观、形象。同时，让学生验证自己的结论正确与否。

2.那么通过这些活动找到P点在运动过程中的这个特殊位置（使△BPC是直角三角形），并画出特殊位置的图形，使动态问题转变成静态问题。

3.最后利用特殊三角形，等边三角形和直角三角形的特性，找到关系建立方程模型求解。

整个设计意图：引导学生学习这种分析问题、解决问题的数学方法，让学生猜想、探索结论，发现动点问题中一些相互联系的变量与不变的量，使学生解决动点问题有个感性的认识。然后将单动点问题迁移到雙动点问题。

二、双动点问题

例2.已知，如图△ABC是边长4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形?

学生阅读题目，根据引例中的分析，探索解决问题的方法进行学习，教师可给出下列启发问题：

（1）本题中P、Q运动，哪些量发生了变化？

（2）若△PBQ是直角三角形，直角会是哪些角？（让学生自由发挥，畅所欲言）

接着利用几何画板让P点、Q点动起来，用实验的方法进一步验证学生探讨的结论，对学生的结论予以肯定，通过这些活动，将这个双动点问题转化为静态问题，找到运动中的两种特殊位置，并画出图形，分类讨论这两种情况，同时利用特殊三角形的特性找到关系，建立方程模型求解。

设计意图：对所学的知识加深理解与应用，培养学生的发散思维，进一步发展学生有条理的思考和表达能力以及分类讨论、数形结合以及方程的思想方法。

三、拓展变式练习

例3.如图△ABC是边长4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于D，如果动点P、Q都以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），那么当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

设计意图：通过练习，能够及时将学生的掌握情况反馈给老师，进一步提高学生的应用能力，实现对知识的应用和拓展。

归纳小结：解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。动点运动过程中，抓住图形在变化过程中不变量与变量及不变量与变量之间的关系，然后建立方程模型求解。

那么对于本设计，我安排在八年级上册特殊三角形的复习。难度比较大，我的初衷是想让学生逐步接触动点问题，以至于在今后接触到类似的动点问题，并不觉得突然，至少有一定的思考方向和方法。那么在我们关怀后三分之一的同时，对于前三分之一的学生也要做一些努力。

编辑 孙玲娟