数列通项的几种常见求法

刘义凤

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。而数列的通项公式，是研究数列的第一个环节，也是最重要的一个环节。有了数列的通项，问题研究起来就方便多了。数列通项公式的求法也很多，根据具体的条件，而采用不同的求法。下面笔者通过一些例题来讲解数列通项公式的几种常见求法。

一、观察归纳法

通过观察数列的特征，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项。

例1根据数列的前几项写出下列数列的一个通项公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）数列的前5项有如下规律：分母2，4，8，16，32与序号的关系是2的序号次幂，分子1，3，7，15，31与序号的关系是2的序号次幂减1；（2）不难看出数列前5项有如下规律：10-1，100-1，1000-1，10000-1进一步可以发现10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考实例（江苏高考题）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 。

解析每行最后一个数分别为1，3，6，10，…，故可以归纳出第n行最后一个数为112n（n+1），从而得到第n行（n≥3）从左向右的第3个数为112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，当然也可以从第n行第一个数开始归纳。

二、公式法

当数列是等差或等比数列时，只需确定首项和公差（或公比）代入等差（或等比）数列的通项公式即可。

例2（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求数列的通项an；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+11an=2，求数列的通项an。

略解根据等差数列的定义可知（1）为首项为1公差为2的等差数列，故an=2n-1；

根据等比数列的定义可知（2）为首项为1公比为2的等比数列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求和的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累加法。

例3已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求数列的通项an。

略解当n≥2时， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式对a1=1时也成立。所以an=n（n+1）12。

高考实例（四川高考题）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求积的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累乘法。

例4已知数列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求数列的通项an。

略解当n≥2时，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1时a1=1，上式也成立。所以an=n

四、构造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且为常数），求数列的通项an。这样类型的问题，常常用构造{an+c}为等比数列求通项，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）来确定。

例5（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求数列的通项。

略解（1）由an+1=2an+1化为an+1+1=2（an+1）。

故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化为an+112n+1-an12n=112，

故数列{an12n}是以112为首项，112为公差的等差数列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求数列{bn}的通项公式。

略解将an+1=（1+11n）an+n+112n两侧同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。设bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下来可以利用累加法解出{bn}的通项，从而得到{an}的通项。

高考实例（安徽高考题）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c为实数，且c≠0，求数列endprint

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。而数列的通项公式，是研究数列的第一个环节，也是最重要的一个环节。有了数列的通项，问题研究起来就方便多了。数列通项公式的求法也很多，根据具体的条件，而采用不同的求法。下面笔者通过一些例题来讲解数列通项公式的几种常见求法。

一、观察归纳法

通过观察数列的特征，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项。

例1根据数列的前几项写出下列数列的一个通项公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）数列的前5项有如下规律：分母2，4，8，16，32与序号的关系是2的序号次幂，分子1，3，7，15，31与序号的关系是2的序号次幂减1；（2）不难看出数列前5项有如下规律：10-1，100-1，1000-1，10000-1进一步可以发现10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考实例（江苏高考题）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 。

解析每行最后一个数分别为1，3，6，10，…，故可以归纳出第n行最后一个数为112n（n+1），从而得到第n行（n≥3）从左向右的第3个数为112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，当然也可以从第n行第一个数开始归纳。

二、公式法

当数列是等差或等比数列时，只需确定首项和公差（或公比）代入等差（或等比）数列的通项公式即可。

例2（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求数列的通项an；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+11an=2，求数列的通项an。

略解根据等差数列的定义可知（1）为首项为1公差为2的等差数列，故an=2n-1；

根据等比数列的定义可知（2）为首项为1公比为2的等比数列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求和的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累加法。

例3已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求数列的通项an。

略解当n≥2时， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式对a1=1时也成立。所以an=n（n+1）12。

高考实例（四川高考题）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求积的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累乘法。

例4已知数列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求数列的通项an。

略解当n≥2时，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1时a1=1，上式也成立。所以an=n

四、构造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且为常数），求数列的通项an。这样类型的问题，常常用构造{an+c}为等比数列求通项，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）来确定。

例5（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求数列的通项。

略解（1）由an+1=2an+1化为an+1+1=2（an+1）。

故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化为an+112n+1-an12n=112，

故数列{an12n}是以112为首项，112为公差的等差数列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求数列{bn}的通项公式。

略解将an+1=（1+11n）an+n+112n两侧同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。设bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下来可以利用累加法解出{bn}的通项，从而得到{an}的通项。

高考实例（安徽高考题）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c为实数，且c≠0，求数列endprint

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。而数列的通项公式，是研究数列的第一个环节，也是最重要的一个环节。有了数列的通项，问题研究起来就方便多了。数列通项公式的求法也很多，根据具体的条件，而采用不同的求法。下面笔者通过一些例题来讲解数列通项公式的几种常见求法。

一、观察归纳法

通过观察数列的特征，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项。

例1根据数列的前几项写出下列数列的一个通项公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）数列的前5项有如下规律：分母2，4，8，16，32与序号的关系是2的序号次幂，分子1，3，7，15，31与序号的关系是2的序号次幂减1；（2）不难看出数列前5项有如下规律：10-1，100-1，1000-1，10000-1进一步可以发现10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考实例（江苏高考题）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 。

解析每行最后一个数分别为1，3，6，10，…，故可以归纳出第n行最后一个数为112n（n+1），从而得到第n行（n≥3）从左向右的第3个数为112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，当然也可以从第n行第一个数开始归纳。

二、公式法

当数列是等差或等比数列时，只需确定首项和公差（或公比）代入等差（或等比）数列的通项公式即可。

例2（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求数列的通项an；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+11an=2，求数列的通项an。

略解根据等差数列的定义可知（1）为首项为1公差为2的等差数列，故an=2n-1；

根据等比数列的定义可知（2）为首项为1公比为2的等比数列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求和的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累加法。

例3已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求数列的通项an。

略解当n≥2时， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式对a1=1时也成立。所以an=n（n+1）12。

高考实例（四川高考题）设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b为常数，f（n）是可求积的），求数列的通项an。这样类型的问题，常用累乘法。

例4已知数列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求数列的通项an。

略解当n≥2时，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1时a1=1，上式也成立。所以an=n

四、构造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且为常数），求数列的通项an。这样类型的问题，常常用构造{an+c}为等比数列求通项，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）来确定。

例5（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求数列的通项。

略解（1）由an+1=2an+1化为an+1+1=2（an+1）。

故数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化为an+112n+1-an12n=112，

故数列{an12n}是以112为首项，112为公差的等差数列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求数列{bn}的通项公式。

略解将an+1=（1+11n）an+n+112n两侧同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。设bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下来可以利用累加法解出{bn}的通项，从而得到{an}的通项。

高考实例（安徽高考题）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c为实数，且c≠0，求数列endprint