一题多变浅析导数的应用

姜锐军

导数的主要作用是研究函数的单调性，利用导数可以判断函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值，最值以及解决恒成立问题中参数的范围问题。下面通过一道常见的习题及其变形来探究导数的应用。

引例已知定义在R上的函数f（x）=x2-3x-m。讨论函数f（x）的单调性，并求出其单调区间和极值。

解由f ′（x）=3x2-3=0 得x=±1，解F′（x）>0得x<-1或x>1，解F′（x）<0得-1

如下表所示

x1（-∞，-1）1-11（-1，1）111（1，+∞） y′1 + 101 ―1 01 + y1↗1极大值1↘1极小值1↗ 所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上为增函数，在（-1，1）上为减函数。单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）。所以f（x）最大值=f（-1）=2-m，f（x）最小极=f（1）= -2-m。

变式一（1）若方程x3-3x-m=0恰有两个零点，求实数m的取值范围。（2）若方程x3-3x-m=0恰有三个零点，求实数m的取值范围。（3）若方程x3-3x-m=0恰有一个零点，求实数m的取值范围。

分析首先要搞清楚函数f（x）=x3-3x-m的图象的大致形状，再由零点的个数确定图象与x轴的位置关系，从而得到m的范围。

解法一（1）由引例可知，f（x）的图象的大致形状如下图（1）

若方程恰有两个零点，即图象与x轴恰有两个交点，则x轴恰过其中的一个极值点，如图（2），所以f（-1）=0或f（1）=0，解得m=±2，所以m的取值为m=-2或m=2。

（2） 若方程恰有三个零点，则两极值点必在x轴的两侧，所以f（-1）>0，

f（1）<0，解得-2

（3）若方程恰有一个零点，两极值点必在x轴的同一侧，所以f（-1）<0或f（1）>0，解得m<-2或m>2，所以m的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）。

解法二可以转化为讨论方程x3-3x=m 的解的个数，即讨论曲线y=x3-3x与y=m的交点情况，利用数形结合的方法去解。但仍然要讨论函数y=x3-3x的单调性和极值以及极值点与直线y=m的位置关系，同解法一。

变式二已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x-m，当m=1时，求函数f（x）在[-2 ， 2]上的最大值和最小值。

分析因为两极值点在定义域区间[-2 ， 2]内，故先要求出函数的极值和区间端点的函数值，再加以比较确定最值。

解当m=1时，由引例得，f（x）极大值=f（-1）=2-m=1，f（x）极小值=f（1）= -2-m=-3，f（-2）=-3×（-2）3-m=-2-m=-3，f（2）=23-3×2-m=2-m=1，所以函数f（x）最大值=3，f（x）最小值=-3。

变式三已知定义在R上的函数f（x）=x3-3x-m，若f（x）≥0或f（x）≤0在[-2 ， 2]上恒成立，求实数m的取值范围。

分析可直接转化为函数的最值问题，也可以先分离参数，再转化为新的不含参数的函数的最值问题求解。

解法一若f（x）≥0恒成立，则f（x）最小值≥0，由变式二可得，f（x）最小值=f（-2）=-2-m≥0，解得m≤-2；若f（x）≤0恒成立，则f（x）最大值≤0，即f（x）最大值=f（2） =2-m≤0，解得m≥2。

解法二f（x）≥0恒成立，即x3-3x≥m恒成立，令g（x）=x3-3x， 则m≤g（x）最小值，f（x）≤0恒成立，即x3-3x≤m恒成立，则m≥g（x）最小值，而求函数g（x）的最值和求f（x）的最值解法完全一样，略。

式，对零点不是点也就很好理解了。通过类似的扩展训练，学生不仅能开拓思路、发散思维，还能将所学到的知识真正运用起来。

（五）优化教学模式，变直接概念灌输为侧面迂回的间接揭示

在进行数学概念教学时，可以不直接进行概念的灌输，而是从侧面来引导概念的学习，通过反例来帮助学生了解这一系列概念。例如，在椭圆概念学习的时候，学生常常记为：到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这个概念记起来容易，但是真正运用起来却不是那么简单。教师在教学时就可以设计以下的问题链，来引导学生学习：1。若平面内的动点P到两定点（-4，0），（4，0）的距离之和为6，那么P的运动轨迹是什么？2。若P到两定点的距离之和是8的话，那么P的运动轨迹是什么？3。P到两定点的距离之和是10的时候，P的运动轨迹又有什么样的表现？通过让学生们绘制图形可以很容易发现（1）2a<2c，轨迹不存在；（2）2a=2c，轨迹为一条线段；（3）2a>2c，轨迹为椭圆，也就加深了学生对椭圆概念中“a>c”这一附加条件的理解。学生只有真正了解概念的本质，才能正确运用概念，才能真正达到数学概念教学的目的。

“纸上学来终觉浅，绝知此事要躬行。”高中数学概念教学存在诸多亟待解决的问题。这就需要我们数学教育工作者潜心研究教学对象特点，努力运用更加科学、合理的教学方法，积极参与新课改并适时更新我们的教学模式，从而能够真正引导学生更好地进行数学概念的学习，帮助他们建立更加完善的数学思维方式，以促进他们的学习能力得到快速、全面的提升。