正、余弦定理的运用例析

张银华

正、余弦定理是高中阶段的一个重要定理公式，在高考中对正、余弦定理的考查主要以三角形为依托，并结合实际应用问题来进行考查。题型一般为选择题、填空题，也可能是中等难度的解答题。学习这部分知识，要会运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角 形度量问题和一些与测量、几何计算有关的实际问题。下面是对正余弦定理的知识概括以及常考点略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R为外接圆半径）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它们的变形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考点1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）。

分析这是一道典型的用正、余弦定理解三角形的题目，根据已知，运用三角形内角和定理先求出第三个角，再直接运用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根据三角形内角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根据正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根据正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根据正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因为0°

①当B≈64°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②当B≈116°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考点2正、余弦定理判断三角形形状

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）。

正、余弦定理是高中阶段的一个重要定理公式，在高考中对正、余弦定理的考查主要以三角形为依托，并结合实际应用问题来进行考查。题型一般为选择题、填空题，也可能是中等难度的解答题。学习这部分知识，要会运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角 形度量问题和一些与测量、几何计算有关的实际问题。下面是对正余弦定理的知识概括以及常考点略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R为外接圆半径）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它们的变形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考点1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）。

分析这是一道典型的用正、余弦定理解三角形的题目，根据已知，运用三角形内角和定理先求出第三个角，再直接运用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根据三角形内角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根据正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根据正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根据正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因为0°

①当B≈64°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②当B≈116°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考点2正、余弦定理判断三角形形状

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）。

正、余弦定理是高中阶段的一个重要定理公式，在高考中对正、余弦定理的考查主要以三角形为依托，并结合实际应用问题来进行考查。题型一般为选择题、填空题，也可能是中等难度的解答题。学习这部分知识，要会运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角 形度量问题和一些与测量、几何计算有关的实际问题。下面是对正余弦定理的知识概括以及常考点略析。

正、余弦定理是解三角形最常用的定理。

正弦定理a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R （R为外接圆半径）；

余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，b2=a2+c2-2accosB，a2=b2+c2-2bccosA。

它们的变形形式有：a=2RsinA， sinA1sinB=a1b，cosA=b2+c2-a212bc。

考点1正、余弦定理解三角形

例1（1）在△ABC中，已知A=32。0°，b=81。8°，a=42。9 cm，解三角形；

（2）在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）。

分析这是一道典型的用正、余弦定理解三角形的题目，根据已知，运用三角形内角和定理先求出第三个角，再直接运用正、余弦定理的公式就可以直接解出三角形。

解析（1）根据三角形内角和定理，

C=180°-（A+B）=180°-（32。0°+81。8°）=66。2°。

根据正弦定理得，

b=asinB1sinA=42。9sin81。8°1sin32。0°≈80。1（cm）。

根据正弦定理，

c=asinC1sinA=42。9sin66。2°1sin32。0°≈74。1（cm）。

（2）根据正弦定理， sinB=bsinA1a=28sin40°120≈0。8999。

因为0°

①当B≈64°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°，c=asinC1sinA=20sin76°1sin40°≈30（cm）。

②当B≈116°时，C=180°-（A+B）≈180°-（40°+116°）=24°，c=asinC1sinA=20sin24°1sin40°≈13（cm）。

考点2正、余弦定理判断三角形形状

例2在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）。