解析法巧解向量有关问题

陈静

有关向量数量关系的问题，是一类重要的数学题型，也是历年高考考查的重点和热点.其中有些题目，如按常规的向量运算，处理起来会比较抽象、困难，不容易得出正确结果.为了解决这个问题，笔者借助思维转化的角度，通过建立坐标系，把复杂的向量运算转化为便于操作的向量的代数运算，使得问题化繁为简.

一、向量数量积

例1如图在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中点O为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）.设A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因为BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（负值舍去）.从而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆：（x-1）2+（y-1）2=4，C为圆心，P为圆上任意一点，求OP·CP的最大值.

解设P（2cosθ+1，2sinθ+1），则OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.当θ=2kπ+π14（k∈Z）时，OP·CP取得最大值，最大值为4+22.

点评在向量数量积的问题中，若很难求出相关向量的模及它们之间的夹角，那么这时如果能够通过建立直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标来研究向量的数量积，则易于求解.

二、向量最值问题

例3如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中点分别为M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因为m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），从而得点E（23n-312，2n），点F（312n，-112n+112），线段EF的中点M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.当n=3121时，|MN|取最小值717.

点评遇到向量最值问题时，可以通过建立坐标系，将向量最值问题转化为求函数的最值求解.

三、向量含参数问题

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m1n= .

解因为OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O为原点，直线OA为x轴，直线OB为y轴，建立平面直角坐标系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因为OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

点评如果条件中给出的向量式含有参数，那么一个有效的解法就是建立关于参数的方程，把几何问题代数化，向量问题坐标化.

四、平面几何中的向量问题

例5若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA+4OB+5OC=0，则该△ABC的面积为 .

因为3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1）.设C（x，y），因为3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

点评向量在平面几何中有很多的应用，如利用向量法去证明正弦定理和余弦定理.平面几何中的向量问题，若用解析法求解，往往可化复杂的向量运算为简单的代数运算.

五、圆锥曲线中的向量问题

例6设F1，F2分别为椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同类 构建体系

有关向量数量关系的问题，是一类重要的数学题型，也是历年高考考查的重点和热点.其中有些题目，如按常规的向量运算，处理起来会比较抽象、困难，不容易得出正确结果.为了解决这个问题，笔者借助思维转化的角度，通过建立坐标系，把复杂的向量运算转化为便于操作的向量的代数运算，使得问题化繁为简.

一、向量数量积

例1如图在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中点O为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）.设A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因为BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（负值舍去）.从而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆：（x-1）2+（y-1）2=4，C为圆心，P为圆上任意一点，求OP·CP的最大值.

解设P（2cosθ+1，2sinθ+1），则OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.当θ=2kπ+π14（k∈Z）时，OP·CP取得最大值，最大值为4+22.

点评在向量数量积的问题中，若很难求出相关向量的模及它们之间的夹角，那么这时如果能够通过建立直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标来研究向量的数量积，则易于求解.

二、向量最值问题

例3如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中点分别为M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因为m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），从而得点E（23n-312，2n），点F（312n，-112n+112），线段EF的中点M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.当n=3121时，|MN|取最小值717.

点评遇到向量最值问题时，可以通过建立坐标系，将向量最值问题转化为求函数的最值求解.

三、向量含参数问题

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m1n= .

解因为OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O为原点，直线OA为x轴，直线OB为y轴，建立平面直角坐标系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因为OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

点评如果条件中给出的向量式含有参数，那么一个有效的解法就是建立关于参数的方程，把几何问题代数化，向量问题坐标化.

四、平面几何中的向量问题

例5若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA+4OB+5OC=0，则该△ABC的面积为 .

因为3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1）.设C（x，y），因为3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

点评向量在平面几何中有很多的应用，如利用向量法去证明正弦定理和余弦定理.平面几何中的向量问题，若用解析法求解，往往可化复杂的向量运算为简单的代数运算.

五、圆锥曲线中的向量问题

例6设F1，F2分别为椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同类 构建体系

有关向量数量关系的问题，是一类重要的数学题型，也是历年高考考查的重点和热点.其中有些题目，如按常规的向量运算，处理起来会比较抽象、困难，不容易得出正确结果.为了解决这个问题，笔者借助思维转化的角度，通过建立坐标系，把复杂的向量运算转化为便于操作的向量的代数运算，使得问题化繁为简.

一、向量数量积

例1如图在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中点O为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0）.设A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因为BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（负值舍去）.从而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆：（x-1）2+（y-1）2=4，C为圆心，P为圆上任意一点，求OP·CP的最大值.

解设P（2cosθ+1，2sinθ+1），则OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.当θ=2kπ+π14（k∈Z）时，OP·CP取得最大值，最大值为4+22.

点评在向量数量积的问题中，若很难求出相关向量的模及它们之间的夹角，那么这时如果能够通过建立直角坐标系，把相关点的坐标表示出来，用坐标来研究向量的数量积，则易于求解.

二、向量最值问题

例3如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中点分别为M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N点为坐标原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因为m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），从而得点E（23n-312，2n），点F（312n，-112n+112），线段EF的中点M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.当n=3121时，|MN|取最小值717.

点评遇到向量最值问题时，可以通过建立坐标系，将向量最值问题转化为求函数的最值求解.

三、向量含参数问题

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB（m，n∈R），则m1n= .

解因为OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O为原点，直线OA为x轴，直线OB为y轴，建立平面直角坐标系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因为OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

点评如果条件中给出的向量式含有参数，那么一个有效的解法就是建立关于参数的方程，把几何问题代数化，向量问题坐标化.

四、平面几何中的向量问题

例5若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA+4OB+5OC=0，则该△ABC的面积为 .

因为3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1）.设C（x，y），因为3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

点评向量在平面几何中有很多的应用，如利用向量法去证明正弦定理和余弦定理.平面几何中的向量问题，若用解析法求解，往往可化复杂的向量运算为简单的代数运算.

五、圆锥曲线中的向量问题

例6设F1，F2分别为椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同类 构建体系