一道客观性压轴题的多视角探究

蔡勇全

下面这道题是一次数学测试中的客观性压轴题.从评卷结果和命题组在考试结束后所做的问卷调查情况来看，同学们选出正确答案的比例和思维的正确率都不高，反映出同学们的基本技能、技巧和多种数学思想方法的综合运用能力不容乐观.本文以这道题为例，多视角探究问题的解决方法，供同学们参考.

例题 若实数x1满足方程2x+2x=5，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

视角一 构造单调函数

解 由题意可知，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又实数x1满足方程2x+2x=5，则2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

构造函数f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的单调递增函数.由①②两式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .选C.

小结 从构造单调函数的视角来求解本题，用到单调函数的一个重要性质：函数 f（x）严格单调，且f（a）= f（b），则a =b.

视角二 估计零点范围

解 由题意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），则有f（x1）=0，g（x2）=0.

因为 f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函数f（x）与g（x）均在各自的定义域内单调递增，两个函数都有唯一的零点.

因为 f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小结 对函数零点所在的范围进行估计，操作性强，易于接受.估计也是一种能力，在解选择题时，同学们应进行有根据的估计.

视角三 变换同解方程

解 由题意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，则x2 =t-x1，将其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不难发现，当t= 时，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .选C.

小结 从变换同解方程的视角来解此题，一定要找到联系两个方程的“契合点”.

视角四 构造形似等式

解 由题意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可变形为2 =x2-1.①

又实数x1满足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②两式从结构上看仍有差异，为此需要再变形.②式两边同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

对比①③两式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .选C.

小结 从对比等式的视角来解此题，同学们一定要具备必要的等式变形的技巧.

视角五 探索直接对称

解 由2x+2x=5变形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5变形可得log2（x-1）= -x.引入函数y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，则x1是函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的横坐标，x2是函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的横坐标，且函数y=2x-1与函数y=log2（x-1）的图像关于直线y=x-1对称，直线y= -x与直线y=x-1的交点的坐标为（ ， ）.

设函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的坐标为（x1，y1），函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的坐标为（x2，y2）.结合图像易知，两交点关于点（ ， ）对称，所以x1+x2= ×2= .选C.

小结 从探索直接对称的视角来解本题，同学们不仅要会画图，而且要善于分析图形间的关系.

视角六 运用换元对称

解 令x-1= t，则题设的两个方程变形整理得2t = -t，log2 t= -t.设这两个方程的根分别为t1，t2.因为函数y=2t与函数y=log2 t的图像关于直线y=t对称，函数y= -t的图像垂直于直线y=t，所以函数y=2t和函数y=log2 t的图像与函数y= -t的图像的交点关于直线y=t对称，从而连接这两个交点的线段的中点在直线y=t上.

又直线y= -t与直线y=t的交点为（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .选C.

小结 视角六对视角五作了进一步的改进，使用了换元法，从而使解题过程更加明了.

（责任编校？筑冯琪）

下面这道题是一次数学测试中的客观性压轴题.从评卷结果和命题组在考试结束后所做的问卷调查情况来看，同学们选出正确答案的比例和思维的正确率都不高，反映出同学们的基本技能、技巧和多种数学思想方法的综合运用能力不容乐观.本文以这道题为例，多视角探究问题的解决方法，供同学们参考.

例题 若实数x1满足方程2x+2x=5，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

视角一 构造单调函数

解 由题意可知，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又实数x1满足方程2x+2x=5，则2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

构造函数f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的单调递增函数.由①②两式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .选C.

小结 从构造单调函数的视角来求解本题，用到单调函数的一个重要性质：函数 f（x）严格单调，且f（a）= f（b），则a =b.

视角二 估计零点范围

解 由题意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），则有f（x1）=0，g（x2）=0.

因为 f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函数f（x）与g（x）均在各自的定义域内单调递增，两个函数都有唯一的零点.

因为 f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小结 对函数零点所在的范围进行估计，操作性强，易于接受.估计也是一种能力，在解选择题时，同学们应进行有根据的估计.

视角三 变换同解方程

解 由题意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，则x2 =t-x1，将其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不难发现，当t= 时，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .选C.

小结 从变换同解方程的视角来解此题，一定要找到联系两个方程的“契合点”.

视角四 构造形似等式

解 由题意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可变形为2 =x2-1.①

又实数x1满足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②两式从结构上看仍有差异，为此需要再变形.②式两边同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

对比①③两式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .选C.

小结 从对比等式的视角来解此题，同学们一定要具备必要的等式变形的技巧.

视角五 探索直接对称

解 由2x+2x=5变形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5变形可得log2（x-1）= -x.引入函数y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，则x1是函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的横坐标，x2是函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的横坐标，且函数y=2x-1与函数y=log2（x-1）的图像关于直线y=x-1对称，直线y= -x与直线y=x-1的交点的坐标为（ ， ）.

设函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的坐标为（x1，y1），函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的坐标为（x2，y2）.结合图像易知，两交点关于点（ ， ）对称，所以x1+x2= ×2= .选C.

小结 从探索直接对称的视角来解本题，同学们不仅要会画图，而且要善于分析图形间的关系.

视角六 运用换元对称

解 令x-1= t，则题设的两个方程变形整理得2t = -t，log2 t= -t.设这两个方程的根分别为t1，t2.因为函数y=2t与函数y=log2 t的图像关于直线y=t对称，函数y= -t的图像垂直于直线y=t，所以函数y=2t和函数y=log2 t的图像与函数y= -t的图像的交点关于直线y=t对称，从而连接这两个交点的线段的中点在直线y=t上.

又直线y= -t与直线y=t的交点为（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .选C.

小结 视角六对视角五作了进一步的改进，使用了换元法，从而使解题过程更加明了.

（责任编校？筑冯琪）

下面这道题是一次数学测试中的客观性压轴题.从评卷结果和命题组在考试结束后所做的问卷调查情况来看，同学们选出正确答案的比例和思维的正确率都不高，反映出同学们的基本技能、技巧和多种数学思想方法的综合运用能力不容乐观.本文以这道题为例，多视角探究问题的解决方法，供同学们参考.

例题 若实数x1满足方程2x+2x=5，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

视角一 构造单调函数

解 由题意可知，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又实数x1满足方程2x+2x=5，则2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

构造函数f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的单调递增函数.由①②两式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .选C.

小结 从构造单调函数的视角来求解本题，用到单调函数的一个重要性质：函数 f（x）严格单调，且f（a）= f（b），则a =b.

视角二 估计零点范围

解 由题意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），则有f（x1）=0，g（x2）=0.

因为 f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函数f（x）与g（x）均在各自的定义域内单调递增，两个函数都有唯一的零点.

因为 f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小结 对函数零点所在的范围进行估计，操作性强，易于接受.估计也是一种能力，在解选择题时，同学们应进行有根据的估计.

视角三 变换同解方程

解 由题意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，则x2 =t-x1，将其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不难发现，当t= 时，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .选C.

小结 从变换同解方程的视角来解此题，一定要找到联系两个方程的“契合点”.

视角四 构造形似等式

解 由题意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可变形为2 =x2-1.①

又实数x1满足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②两式从结构上看仍有差异，为此需要再变形.②式两边同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

对比①③两式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .选C.

小结 从对比等式的视角来解此题，同学们一定要具备必要的等式变形的技巧.

视角五 探索直接对称

解 由2x+2x=5变形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5变形可得log2（x-1）= -x.引入函数y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，则x1是函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的横坐标，x2是函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的横坐标，且函数y=2x-1与函数y=log2（x-1）的图像关于直线y=x-1对称，直线y= -x与直线y=x-1的交点的坐标为（ ， ）.

设函数y=2x-1与函数y= -x的图像交点的坐标为（x1，y1），函数y=log2（x-1）与函数y= -x的图像交点的坐标为（x2，y2）.结合图像易知，两交点关于点（ ， ）对称，所以x1+x2= ×2= .选C.

小结 从探索直接对称的视角来解本题，同学们不仅要会画图，而且要善于分析图形间的关系.

视角六 运用换元对称

解 令x-1= t，则题设的两个方程变形整理得2t = -t，log2 t= -t.设这两个方程的根分别为t1，t2.因为函数y=2t与函数y=log2 t的图像关于直线y=t对称，函数y= -t的图像垂直于直线y=t，所以函数y=2t和函数y=log2 t的图像与函数y= -t的图像的交点关于直线y=t对称，从而连接这两个交点的线段的中点在直线y=t上.

又直线y= -t与直线y=t的交点为（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .选C.

小结 视角六对视角五作了进一步的改进，使用了换元法，从而使解题过程更加明了.

（责任编校？筑冯琪）