模糊多属性群决策的Vague集方法*

顾翠伶，何奇龙

(周口师范学院数学与信息科学系，河南 周口 466001)

模糊多属性群决策的Vague集方法*

顾翠伶，何奇龙

(周口师范学院数学与信息科学系，河南 周口 466001)

介绍Vague集的基本理论，分析现有记分函数的不足，提出一种改进的记分函数;给出一种基于Vague集求解模糊多属性群决策问题的新方法，该方法利用新的记分函数对决策方案进行排序，选出最优方案;以实例说明该方法的可行性与有效性.

Vague集;多属性群决策;记分函数;模糊集;隶属度

自1965年Zadeh提出模糊集理论，模糊集理论就被广泛应用到模糊多属性决策问题中.根据群体的意见和偏好来制定统一的决策方案是人类决策的重要形式.模糊多属性群决策问题从单个决策者的独断情形转变为多个决策者集议的情形，会给决策分析带来更多复杂性，并产生一系列新的问题.许多学者对这个问题进行了研究，给出了一些解决模糊多属性决策问题的方法和建议.

Vague集是由Gau和Buehre于1993年提出的，它是Zaded模糊集的一种推广形式.Vague集的主要特点在于考虑真隶属度、假隶属度的同时也考虑未知信息部分.将Vague集理论应用到解决模糊决策问题中，也是一个重要的研究内容［1-8］.基于Vague集理论的群决策方法的研究，具有代表性的是Szmidt［12］等提出的群决策方法，该方法考虑到各个专家对不同目标的不同偏好，基于Vague集的择优关系，并利用距离公式对群体的一致性进行估计.此外周晓光、张强对基于Vague集的群决策方法及模糊群决策中专家意见的汇总进行了研究.此处是在这些已有研究结果的基础上，提出一种改进的基于Vague集解决模糊多属性群决策问题的方法，并以实例说明了方法的可行性.

1 Vague集基本理论

定义1［10］设U是一非空集合，它的元素用χ表示，U上的Vague集A是指U上的一对隶属函数tχ和fχ，即

满足tA(χ)+fA(χ)≤1且0≤tA(χ)≤1，0≤fA(χ)≤1．

这里tA称为Vague集A的真隶属函数，表示χ∈A的证据的隶属度下界;fA称为Vague集A的假隶属函数，表示χ∉A的证据的隶属度下界．

设A为一个Vague集，当U为连续时，Vague集可以表示成

当U为离散时，Vague集可以表示成

定义2［2］设Vague值χ=［tχ，1-fχ］，y=［ty，1-fy］，其中tχ，fχ，ty，fy∈［0，1］且tχ+fχ≤1，ty+fy≤1．定义Vague值的运算与关系如下

定义3［2］设论域U={χ1，χ2，…，χn}，A，B为U上两个Vague集，其中:．定义Vague集的运算如下

2 一个新的记分函数

模糊多属性群决策基本问题可以描述为，设决策方案集合A={A1，A2，…，Am}，群中共有L位决策者J1，J2，…，JL．每个决策者Jk依据自己选择的属性集C={C1，C2，…，Cn}对每一个候选方案进行独立评价．每一个决策者对方案评价的可信度不尽相同，因此给每个决策者一个权重Wk，(k=1，2，…，L)．目的是根据各属性的综合评价值对方案进行排序和择优．在解决模糊多属性群决策问题时，许多学者利用Vague集理论的方法来解决这类复杂的问题．

利用Vague集求解模糊多属性群决策问题，就是从用Vague集表示的各属性指标的备选方案中选出满足决策要求的最优方案．由于Vague值在一般条件下不存在大小或包含关系，需要将Vague值所反映的信息转换成具体实数值进行比较．目前多用记分函数来表示决策方案满足决策者要求的程度，并且记分函数的值越大，方案越优．依据评价函数E，学者们已经提出了多种排序方法．现有的记分函数有下列几种．

(1)Chen和Tan提出的记分函数［11］:

Chen和Tan提出的这种记分函数说明，若真隶属函数较假隶属函数越大具有优势，则方案就越满足决策者的要求．也即是记分函数S(E(Ai))的值越大，方案Ai越优．

(2)Hong和Choi的方法［8］:

这种方法的出发点是决策者对某个方案的已知信息越多，越满足决策者的要求，即方案越优．

(3)李凡［7］等提出的记分函数S1和S2:

这种方法用两个函数进行排序，先根据S1进行排序，在S1的值相等的情况下，再根据S2进行判断．

(4)刘华文［2］提出的记分函数:

在该方法中，L(E(Ai))的值越大，决策方案Ai越能满足决策的要求．这种方法注重支持意见对决策结果的影响，忽视了反对意见对决策结果的影响，是一种较为乐观的决策方法．

(5)周珍［4］等给出的记分函数:

其中，0≤α≤1，0≤β≤1，0≤α+β≤1．α，β的取值方法是，对于一般的情况，即tAi-fAi≠0时，有

当特殊情况发生时，有

这时依据决策者对风险的态度取值．当决策者持乐观态度时，取α＞β;当决策者持中立态度时，取α=β;当决策者持悲观的态度，取α＜β．在这种方法中，Z(E(Ai))值越大，方案就越好．

上述各种记分函数或多或少地存在一些不足和缺陷，文献［6］中给出了具体的比较与实例分析．在文献［6］中作者给出了下面的记分函数:

虽然该记分函数考虑了Vague集支持隶属度相对优势、已知信息和弃权部分3方面信息的影响，克服了前面几种记分函数的一些不足，但仍有一定的问题．

例如，E(A1)=［0．5，0．8］，E(A2)=［0．5，0．5］，由该记分函数可以得到X(E(A1))=0．91，X(E(A2))=1，所以有X(E(A1))＜X(E(A2))，即方案A2优于方案A1．利用投票模型来解释:A1有5人赞成，2人反对，3人弃权;A2有5人赞成，5人反对，无弃权．方案A2给出了比A1更多的信息，但在实际决策中，人们更易选择方案A1．

为了克服这些问题，给出一种改进的更切合实际的记分函数:

若tAi=1，fAi=0，这时候模糊属性决策就退化为经典的多属性决策，可以认为是效果最好的决策方案，即若两个方案A1，A2，都有tA1=1，fA1=0，fA2=0，认为这两个方案的效果是一样的，且是所有决策方案中最好的决策方案．这种改进的记分函数的决策规则是，T(E(Ai))的值越大，方案Ai越优．

利用记分函数对上面的例题进行分析，可以得到

所以方案A1优于方案A2，结果更符合实际情况．

3 模糊多属性群决策模型

设L位决策者J1，J2，…，JL评价m个方案A1，A2，…，Am，每一个决策者Jk，k=1，2，…，L，依据自己选择的属性C1，C2，…，Cn，对每一个方案进行独立的评价．并用w1，w2，…，wn表示各个决策属性的重要性．同时用W1，W2，…，W2表示每个决策者的评价的相对重要性．每个决策者采用的方案属性及其权值可以是相同的，也可以是不同的;关于属性指标及权值的表示方式可以是数字或语言;涉及的数据结构可以是精确的数据，也可以是不精确的数据［12］．

采用Vague集处理模糊多属性群决策问题的步骤如下:

(1)构造模糊群决策矩阵．

每个决策者对方案集的决策矩阵为

在专家组成的团队里，各个专家意见的重要性不尽相同，这里引用文献［10］中确定专家意见的权重的方法，第k个专家的权重rk为

其中ek是分配给专家的分数．并且这里ek=max{e1，e2，…，eL}，min(e1，e2，…，eL)＞0．

由矩阵(2)和公式(3)，可以得到模糊群决策矩阵

(2)求模糊属性权值．

设W={wkj}L×n(k=1，2，…，L)，其中wkj是由决策者Jk分配给属性Cj的模糊权值，它表示属性Cj在决策者Jk心目中的相对重要程度．

其中wkj仍为Vague值，在此记wkj=［twkj，1-fwkj］=［twkj，t*wkj］．由矩阵(5)和公式(3)，可以得到这L位决策者对于各属性的综合分配权值为

(3)由矩阵(4)和向量(6)可以求得综合所有信息后的模糊决策向量为

(4)根据记分函数求得每个决策方案的得分，从而求出最佳的决策方案．因为已经求得各个决策方案的综合评价指标，所以可以利用新的记分函数公式(1)计算各个决策方案的得分T(E(Vi))，分数越高的方案越为人们所接受，其中得分最高的方案也即是所要求的最佳的决策方案．

4 实例分析

假设有方案集A={A1，A2，A3}，决策者群体J={J1，J2，J3}，3位决策者选用相同的方案属性集C{C1，C2，C3，C4}．3位决策者关于4个属性对方案的模糊评价分别为P1，P2和P3:

在这里假设对3位决策者的评价的可信性不同，因而分配的权重也不同，分别设他们的权重为e1=0．8，e2=0．7，e3=0．6，利用公式(3)计算各个决策者的相对权重．由此可以得出r1=0．381，r2=0．333，r3=0．286．

假设决策者J1，J2，J3分配给属性C1，C2，C3，C4的模糊权重如表1所示，表示属性Cj在决策者Jk心目中的相对重要程度．

表1 决策者J1，J2，J3分配给各属性的模糊权重

综合3位决策者得到的方案的模糊评价矩阵为

3位决策者对于属性的综合评价值为

由新的Vague集的记分函数公式(1)，分别求得综合决策向量V的每个分量的得分为

由V1，V2，V3的得分以及对方案的评判规则可以知道，A1为最佳的决策方案．

5 总 结

对于模糊多属性群决策问题，基于Vague集的基本理论，在已有的记分函数的基础上，提出一种改进的记分函数，并给出一种新的基于Vague集解决模糊多属性群决策问题的方法．将新的记分函数应用到此问题的解决中，有效地解决了问题，并且计算简单，具有一定的优势．尽管每种记分函数都能在一定程度上解决多属性决策的方案择优问题，但是对于记分函数的评价标准却是有待进一步解决的问题．

［1］JAIN R.Procedure for Multi-aspect Decision Making Using Fuzzy Sets［J］.Internat Journal of Systems Science，1978(8):1-7

［2］刘华文.多目标决策的Vague集方法［J］.系统工程理论与实践，2004，5(5):103-109

［3］符海东，卢正鼎.基于Vague集的模糊决策方法研究［J］.小型微型计算机系统，2004，25(9):1684-1686

［4］周珍，吴祈宗.基于Vague集的多准则模糊决策方法［J］.小型微型计算机系统，2005，8(8):1350-1353

［5］周珍，吴祈宗，刘福祥，等.基于区间Vague集的多准则模糊决策方法［J］.北京理工大学学报，2005，25(11):1019-1023

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［7］李凡，卢安，蔡立晶.基于Vague集的多目标决策方法［J］.华中科技大学学报，2001，29(7):1-3

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［10］周晓光，张强.基于Vague集的群决策方法研究［J］.数学的实践与认识，2007，37(19):12-18

［11］CHEN S M，TAN J M.Handling Multicriteria Fuzzy Decision-making Problems Based on Vague Set Theory［J］.Fuzzy Set and Systems，1994(67):163-172

［12］李荣钧.模糊多准则决策理论与应用［M］.北京:科学出版社，2002

Vague Set Method of Fuzzy Multi-attribute Group Decision-making

GU Cui-ling，HE Qi-long
(Department of Mathematics and Information Science，Zhoukou Normal College，Henan Zhoukou 466001，China)

This paper introduces the basic theory of Vague set，analyzes the deficiencies of existing score function，advances a kind of improved score function，and gives a kind of new method for solving fuzzy multiattribute group decision-making problem based on Vague set.This method uses new score function to rank the decision-making schemes and selects the optimal scheme.This paper uses practical examples to verify the feasibility and validity of this method.

Vague set;multi-attribute group decision-making;score function;fuzzy set;degree of membership

O159;TP18

A

1672-058X(2014)01-0034-06

责任编辑:李翠薇

2013-06-30;

2013-09-10.

周口师范学院青年科学基金重点资助项目(zksyqn201310B);国家自然基金委-河南省人民政府人才培养联合基金项目(U1204618).

顾翠伶(1986-)，女，河南项城人，助教，硕士研究生，从事模糊多属性决策研究.