平板电容器介质中的矢量场*

郑永红 王宏伟

（北京信息科技大学理学院 北京 100192）

平板电容器介质中的矢量场*

郑永红 王宏伟

（北京信息科技大学理学院 北京 100192）

介绍了平板电容器真空及各向同性电介质中的电场，进一步计算了各向异性平板电容器电场中的电场强度、电位移矢量、电极化强度．根据计算的结果对平板电容器介质中的矢量场进行了力线描绘，说明了电介质矢量场的性质．并进一步比较了线性各向异性电介质与指数电介质对电场产生的影响．

平板电容器 电介质 电场强度 电位移

电容器是现代电工技术和电子技术中重要的元件，在各类传感器中有着广泛的应用［1］．在普通物理中，只讨论过真空平板电容器、各向同性平板电容器中矢量场的计算．当平板电容器中充有各向异性电介质时，电介质对真空中的静电场会产生什么样的影响呢？

本文根据有介质存在时描述静电场的物理量电场强度、电位移矢量、电极化强度矢量，分别计算了有线性各向异性电介质、指数型电介质存在时平板电容器中的各种矢量，并根据计算结果进行力线描绘，形象地说明电介质对电场的影响．使学生进一步了解真空电场与电介质存在时的不同，了解各向异性电介质对电场的影响．

1 电介质的极化对矢量场的影响

由于组成电介质的分子不同，可以把电介质分为无极分子电介质和有极分子电介质．在无外场时，分子正负电荷中心是重合的，这种分子叫做无极分子．例如甲烷、二氧化碳和石蜡等的分子都是无极分子．在无外场时，分子的正负电荷中心不重合，这种分子叫有极分子，如有机玻璃、纤维素等．

无外场时，无极分子的电偶极矩为零．在外场中，无极分子正负电荷受到相反方向的电场力，发生相对位移，每个分子的电偶极矩不再为零，且都沿外场方向排列．这种现象称作无极分子的位移极化，如图1（a）所示．有极分子在无外场时，具有电偶极矩．由于分子的热运动和相互碰撞，整个电介质中分子电偶极矩矢量和为零．在外场中，这些分子的电偶极矩将受到外场力矩的作用转向外场方向，这就是有极分子电介质的取向极化，如图1（b）所示．

图1 电介质的极化

虽然两种介质的微观机理不同，但其宏观效果是一样的．在电介质的表面都出现了极化电荷的现象．介质表面极化电荷的出现，会影响原来的电场．当只讨论极化电荷对原电场的影响时，就不需要把这两种电介质进行分类．下面分别讨论不同性质的电介质由于极化对电场的影响．

2 各向同性平板电容器的矢量场

真空中平板电容器，平板的面积为S，两平板相距为d，如图2所示．设两极板的面电荷密度为±σ，则极板间的电场强度为［2］

由上式可得两极板间的电位移矢量为

图2 真空平板电容器

真空中平板电容器中的E场和D场，都是均匀场．它们都是无源无旋场．

板间充满各向同性的电介质时，电介质的介电常数为ε，则电容器的电介质中的电位移矢量为［3］

各向同性电介质中，E场、D场、P场均为均匀场，电介质中电场强度小于真空中电场强度．可见，电介质的存在削弱了电场．电位移矢量场不变，有介质的极化，极化强度矢量不为零．介质中三者均为无源无旋场．

3 线性各向异性电介质的矢量场

设电介质的介电常数为

如图3所示．由于问题的对称性可知D是均匀分布的．作如图的高斯面Σ，只需计算介质内与极板平行的面ΔS的电位移通量

电极化强度为

图3 充有随y变化各向异性电介质的平板电容器

计算表明介质中的D为均匀场是无源无旋的；介质中的E是非均匀场，随y的增大而减小，是有源无旋的；介质中P为非均匀场，随y的增大而增大，是有源无旋的．矢量场的力线分布如图4所示．

图5 充有随x变化电介质的平板电容器

由此得介质中电场强度为

电位移矢量为

计算结果表明，介质中E场是均匀场，是无源无旋的；介质中的D为非均匀场，随x的增大而增大，是无源有旋的；介质中的P场是非均匀场，随x的增大而增大，是无源有旋的．图6为此种介质中矢量场的力线分布．

图6 介质中矢量场的力线分布

4 指数各向异性电介质的矢量场

电场强度矢量为

电极化强度矢量为

5 结论

上面介绍了真空及均匀各向同性电介质的矢量场，并进一步讨论了当电容器中充满线性电介质、指数型电介质时介质中的矢量场．当电介质的介电常数是y的函数时，介质中的D为均匀场是无源无旋的；介质中的E是非均匀场，是有源无旋的；介质中P为非均匀场，是有源无旋的．指数型电介质中电场强度、电极化强度矢量比线性电介质变化得快．当电介质的介电常数是x的函数时，介质中E场是均匀场，是无源无旋的；介质中的D为非均匀场，是无源有旋的；介质中的P场是非均匀场，是无源有旋的．指数型电介质中电位移矢量、电极化强度矢量比线性电介质变化得快．

1 赵凯华，陈熙谋．电磁学（上册）．北京：高等教育出版社，2008．156

2 程守洙，江之永．普通物理学（2）．北京：高等教育出版社，2008．98

3 马文尉，周雨青，等．物理学教程（上册）．北京：高等教育出版社，2006．56

*北京市教育委员会科技发展计划面上项目，项目编号：KM201411232017

郑永红（1969- ），女，博士，讲师，主要从事物理教学和传感器的研究．

2014- 05- 05）