非马可夫环境中的量子逻辑操作

田 晶, 唐 宁, 曾浩生



非马可夫环境中的量子逻辑操作

田 晶, 唐 宁, 曾浩生*

(湖南师范大学 物理系, 教育部低维量子结构与调控重点实验室, 湖南 长沙, 410081)

研究了非马可夫环境中单量子比特逻辑门的性质, 发现量子过程的非马可夫性有助于抑制环境产生的错误, 更好地保护逻辑门的质量. 同时也发现, 当噪声逻辑门的操作时间略小于理想逻辑门所规定的时间时, 逻辑操作的质量更好.

单量子比特逻辑门; 非马尔可夫度; 平均保真度; 最佳操作时间

近年来人们对开放量子系统非马可夫动力学的研究产生了浓厚的兴趣, 许多有趣的性质, 如在非马可夫环境下量子关联的非单调减小[1—2]、量子关联拍[3]、纠缠囚禁[4]、量子不可热化现象[5]等, 不断被认识. 而且人们还发现, 非马可性可作为一种有效的资源在量子信息处理中有着重要的应用, 如非马可性有助于提高量子计量学[6]、量子密钥分布[7]和量子隐性传态[8]的精度, 提高量子通道的容量[9]和量子信息传输的质量[10]. 本文的主要目的是研究非马可夫环境对量子逻辑门的影响, 进一步展示非马可夫性在量子信息处理中的积极作用. 将以受驱的二能级原子在非马可夫环境中所构造的单量子比特逻辑操作为例进行研究.

1 动力学模型

单量子比特逻辑门是最简单的量子逻辑门, 是实现普适量子计算所必需的. 模拟单量子比特逻辑门的最简单的模型是采用一束频率为L的经典驱动光场与一个频率为0的二能级原子的相互作用, 在不考虑环境干扰的理想情况下, 系统的哈密顿量可写为:

其中,,y,z是原子的泡利算符;±是原子的翻转算符; Rabi频率描述原子和驱动场的耦合强度. 将上述哈密顿量作幺正变换= exp[-iLt/2], 即在频率为L的旋转框架下, 上述哈密顿量变为:

然而实际逻辑操作中, 系统不可避免地受到环境的影响, 从而导致操作错误. 本文的主要目的是讨论非马可夫环境对单量子比特逻辑操作的影响. 为此, 假设原子除受到驱动激光的作用外, 还受到一个零温谐振子库的影响. 因此, 在旋转框架下系统的哈密顿量为:

在推导过程中, 忽略了系统的兰姆位移, 并采用了宏运动近似. (6)式第1项代表由哈密顿量(2)式支配的自由演化, 第2项代表环境引起的耗散:

其中,

2 逻辑门的平均保真度和过程的非马可夫性

2.1 非马可夫环境对单量子比特逻辑操作的影响

上述的平均是对所有初始态进行的. 为了后面研究的需要, 我们将没有环境下的理想操作时间o和有环境存在时的实际操作时间r加以区分. 经过积分后得到平均保真度为:

在通常情况下, 总取噪声逻辑门的操作时间r和理想逻辑门的操作时间o相等, 即r=oº,故(15)式可进一步简化为:

图1中, 画出了单比特相位门(即t = p/(2wD))的平均保真度随环境无量纲参数D/g0和l/g0变化, 其中, wD = W = 20g0. 可以看出, 当系统和环境的失谐D/g0增大时平均保真度增大; 而当环境谱宽l/g0增大时平均保真度减小. 且平均保真度受失谐的影响较小, 而随环境谱宽的变化非常敏感. 这种依赖关系在物理上是容易理解的: 因为当原子与环境的频率失谐增大时, 原子与环境的耦合将降低, 故平均保真度增大; 而当环境的谱宽度增加时, 将有更多的环境模与原子耦合, 故平均保真度降低. 因此, 在实际操作中可通过调节环境谱的单色性和增加同环境模的失谐来提高逻辑操作的质量, 而且提高环境谱单色性的方法更为有效.

2.2 过程的非马科夫性随环境参数的变化

近几年来人们已经提出了几种度量量子过程非马可夫度的方法, 其中最典型的方法莫过于基于迹距离的度量方法[11]和基于动力学可分性的度量方法[1]. 本文采用迹距离的度量方法,

来研究量子过程的非马可夫性. (17)式中,[1(),2()]表示当系统初态为1(0)和2(0)时,时刻系统末态1()和2()迹距离的时间导数, 而求最大值是对所有的初态对进行的. 根据文献[12]可知, 最佳初态对应位于Bloch球面上相对的两个位置. 因此, 可设初始态对的Bloch矢量为1(0) =-2(0) = (sincos, sincos, cos). 在该初始态对下, 迹距离对时间的导数可表示为:

图2 N随环境参数的变化曲线

3 最佳操作时间

在前面的研究中, 引入了2个操作时间. 一个是在没有环境存在时, 一个特定的逻辑门操作所需要的时间, 称之为理想操作时间o. 另一个是在有环境存在时, 逻辑门的实际演化时间, 称为实际操作时间r. 通常情况下, 由于不知道环境是怎样影响逻辑操作的, 因此, 总是取实际操作时间r等于理想操作时间o. 现在我们要问: 这样的取法是不是最好呢？答案是否定的. 事实上, 环境的作用可能会加快或减慢逻辑门的运行速度, 从而导致最佳的实际操作时间不等于理想的操作时间. 下面来讨论该问题.

定义无量纲参数=r/o. 若环境的作用加快逻辑门的运行速度, 则< 1. 反之, 若环境的作用减慢逻辑门的运行速度, 则> 1. 本文中, 仅以单量子比特的相位门为例展开讨论, 即取o=p/2D. 于是(15)式成为:

这是一个关于r的函数, 当保真度F(r)取最大值时, 对应于最佳的实际操作时间. 令(20)式关于r的导数等于零, 可得方程:

4 总结

本文研究了噪声环境中单量子比特逻辑门的性质, 其中环境是一个具有洛伦兹谱的零温谐振子库, 逻辑操作由一个受激光驱动的二能级原子系统实现. 研究结果表明, 当原子与环境的频率失谐较小时, 随着该失谐的增大和环境谱宽度的变窄, 逻辑操作的保真度变大, 而量子过程的非马可夫性也恰好增大, 说明非马可夫环境有助于抑制噪声作用, 保护逻辑操作的质量. 研究还发现在噪声环境下, 当噪声逻辑门的实际操作时间略小于理想逻辑门所规定的操作时间时, 逻辑门的精度更高, 说明环境作用加速了逻辑门的运行速度. 在环境的谱宽度较大时, 需要适当调节噪声逻辑门的操作时间使之略小于理想的操作时间, 从而提高逻辑门的操作精度.

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Quantum logic operations in Non-Markov Environments

TIAN Jing, TANG Ning, ZENG HaoSheng

(Key Laboratory of Low-Dimensional Quantum Structures and Quantum Control of Ministry of Education, Department of Physics, Hunan Normal University, Changsha 410081, china)

The properties of single-qubit logic gates was studied under the effects of non-Markov environments. It was found out that the non-Markovianity of quantum process was beneficial for the suppression of mistakes induced by environments, so that improved the quality of logic operation; when the operation time of the noisy gate was slightly smaller than the one of the corresponding ideal gate, the accuracy of the logic gate was the best.

single-qubit gate; non-Markovianity; average fidelity; optimal operation time

O 431.2

1672-6146(2014)02-0001-06

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.02.001

通讯作者email: hszeng@hunnu.edu.cn;

email: 616124809@qq.com.

2014-04-27

国家自然科学基金项目(11275064); 高等学校博士点基金项目(20124306110003).

(责任编校: 江 河)