不等式证明中的代数变形技巧

吴三明

(安徽淮北煤电技师学院,安徽淮北 235000)

不等式证明中的代数变形技巧

吴三明

(安徽淮北煤电技师学院,安徽淮北 235000)

鉴于分析总结不等式证明中代数变形的几种典型技巧,可以帮助学生拓宽了数学解题思维,并且阐述了代数变形对解决包括不等式证明在内的数学问题的重要意义。

不等式证明;代数变形;技巧

不等式是表现现实世界中不等关系的重要数学模型,其证明在数学学习中占据重要地位,不等式的证明方法往往具有灵活性、技巧性和综合性强等特点,在培养学生思维的灵活性、发散性、逻辑性等方面发挥着独特、重要的作用。由于这类问题涉及知识较多,证明的思路较为广泛,对学生的多种能力都提出了较高的要求,给学生解答带来一定的困难,常常有学生反映：不等式证明太难,无从下手。而代数变形作为数学解题中的重要工具,其价值体现在在已知条件和待解决的问题之间搭建一座桥梁,这个过程可以通过解析化归逐步实现,其中蕴含着转化、等价变换及数形结合等重要思想。在解决一些棘手的数学问题时,如果能熟练的应用一些代数变形的技巧,往往问题会迎刃而解,给我们“柳暗花明又一村”的感觉。

1 放缩法

在证明不等式时,有时需要将需要证明的不等式的值适当地缩小或放大,使问题由繁变简,从而达到证明的目的,我们把这种方法叫做放缩法,利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量C,使A〈C〈B成立,在量A与B之间架起一座桥梁,通过桥梁C的过渡,使A与B之间间接地建立起不等式关系,具体表述为：欲证A〈B,先证A〈C且C〈B(这是放大);或先证B〉C′且C′〉A(这是缩小)。

将这些同向不等式相乘然后再乘以A得

2 构造法

构造法是一种创造性的解题方法,它引导学生在对不等式证明一筹莫展的时候,转换思维角度,从不等式的结构和特点出发,构造与不等式相关的数学模型,往往给人一种耳目一新的感觉,利用构造法证明不等式关键是在弄清问题中条件和数量关系的基础上,构造出方程,利用方程的性质解决不等式的证明问题。

解析：本题乍看起来似无从下手,但从b2≥4ac的外形结构联想到Δ=b2-4ac≥0,再构造一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0,b≠0),可使问题得到解决。

3 积分法

在积分课程中,不等式是证明许多定理或性质的重要工具,表达了许多积分问题的结果,而积分的性质和定理又可导出许多不等式,因此,我们可以利用积分的方法来解决一些不等式证明的问题,积分法解不等式的实质在于将代数不等式转化成积分不等式后,再利用积分方法给予证明。

把代数不等式转化成积分不等式是利用积分法证明不等式的要点,其次要保证不等式两边的积分上、下限相同,其中上限要大于下限,证明成功的关键在于对不等式的结构进行深入分析的基础上,合理选择积分上、下限。

4 微分中值定理

微分中值定理在实际生活中的应用非常广泛,在不等式证明中也发挥着巨大的作用,灵活地运用微分中值定理是解决许多不等式证明问题的关键,中值定理尤其是拉格朗日中值定理是不等式证明的重要工具。解题中,我们可以在对不等式结构深入分析的基础上,合理构造一个辅助函数,选定一个区间,然后利用中值公式,并对公式进行适当变化,即可得到所证不等式。

例4 设f(x)在0, []a上有|f″(x)|≤M,f(x)在上存在二阶有界导数,则必在0,内取最大值,

[]a上对f′(c)分别应用拉()a的内点x=c处取到最大值,则f′(c)=0.在0,

[]a上连续.又因为f(x)在0, []c和c,格朗日中值定理得

当题目中出现高阶导数时,我们可以利用泰勒中值定理来证明,通常是选区间中点展开,然后在泰勒公式中取适当的x值,通过两式叠加的方法,并对某些项适当放缩,便可将多余的项去掉而得所要的不等式;如果条件中出现f′(a)=f′(b)=0,而要证式中出现f(a),f(b),f′(ξ)时,通常以区间两端点a、b为展开点,然后在泰勒公式中取适当的x值,消去多余的项,可得待证的不等式。

5 几何图形法

有些不等式如果按常规的代数证明方法往往非常复杂,但是如果我们能拨开不等式的神秘面纱,利用数形结合的思想,适当赋予其几何意义,构造相应的几何图形,使不等式条件、结论明朗化,准确地揭示不等式的实质,据此可获得简洁明了的解法。这种方法的关键在于构造适当的几何图形,然后通过把不等式中的数式看作线段的长或图形的面积,直观比较出其大小达到证明目的。

6 特殊数字法

“0”和“1”是两个特殊的数字,其中,数字“0”具有许多特殊性质,如果在不等式的证明中注重对这些特殊性质的发掘、应用,就很容易找出不等式证明的方向;同样,数字“1”具有许多丰富的变形表达形式,如果能恰当使用这些变形,不等式的证明往往会豁然开朗,利用特殊数字法证明不等式,关键在于利用“凑、配、添、拆”等方法,灵活地对代数式进行分解和组合。

以上只是不等式证明中代数变形的几种典型技巧。要强调的是,不管用哪种代数变形,一是要保证变形的正确合理,二是推理运算要简单明了,要化繁为简,三是要有可操作性,要实用。否则,代数变形在解决不等式证明的问题上就失去了现实意义。

实际上,代数变形不仅是解决许多数学问题的重要手段和基本能力,而且是解决包括不等式证明在内的数学问题的基石,变形能力的强弱制约着解题能力的高低,直接体现数学功底,作为化归、转化和联想的准备阶段,代数式变形其实质上是为了达到某种目的而采用的“手段”,属于技术性的知识,必须在实践中反复操练才能把握,乃至灵活与综合应用。

在实际教学中,我们要重视代数变形的教学,应要求学生在平时的学习中,能留意用上这些变形技巧,并长期积累与消化,重视对学生代数变形方面的训练,同时教师在教学中还要加强此方面的训练,让学生熟练变形的技巧,提高利用数学知识解决实际问题的能力,培养学生良好的思维品质。

[1] 华东师范大学数学系.数学分析：上册：第3版[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2] 郑玉梅.巧用函数的性质解题[J].考试：高考数学版, 2012(1)：70-71.

[3] 胡明.不等式证明方法综述[J].中国科教创新导刊, 2009(30)：67.

[4] 张奠宙,张广祥.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社,2010.

责任编辑：沧 海

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1671-8275(2014)04-0108-02

2014-05-15

吴三明(1974-),男,安徽濉溪人,安徽淮北煤电技师学院讲师,研究方向为数学教育。