明析思辨走出误区

孙梅

概率研究的是随机现象，这种现象不能用“因果关系”严格控制或准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析，找出其规律性，所以培养同学们的综合能力和抽象思维能力以及提高同学们的创造性直觉思维能力是必要的. 在这部分内容的学习过程中，同学们会出现混淆和错误，下面就这些错误的成因以及解决策略进行简单的阐述.

一、 错题汇集以及分析

易错点一：对于事件发生概率的理解不明确

例1 下列有四种说法：

①某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖；

②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

其中，正确的说法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【错解】A.

【学生分析】对于第一个说法，我认为2%的意思就是100张里会有2张中奖，概率应该是和彩票的总张数有关的；而对于第四种说法，发生的概率太小了，所以我觉得在实际生活中就不会发生了.

【点评】对于概率的值，应该理解为大样本容量下的理论值，而在实践中并不一定与理论值相符合，具有随机性；而小概率事件只能说发生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易错点二：对于可能事件的含义不理解

例2 某学校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 现随机抽一名学生，则抽到女生和男生的可能性一样吗？

【错解】一样. 因为要么抽到男生，要么抽到女生，可能性都是0.5.

【学生分析】这个问题中只有男生和女生，各占一半的机会，但是我没有考虑到要从全班44位同学中去抽取，而其中男生和女生的人数不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一样的.

【点评】其实这个问题和摸球游戏是一样的. 摸球游戏中，为了保证摸到每一个球的可能性相同，每个球除了颜色外其他都相同. 球的总数就类似于班级中学生的总数，而男生和女生各自的人数多少决定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接与性别有关.

（1） 计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.

（2） 小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

【错解】（2）正确. 可以根据实验数据得出结论.

【学生分析】利用实验数据可知，60次中5点朝上的次数最多，因此概率也最大；6点朝上的概率为1/6，因此投掷600次会有100次6点朝上.

【点评】频率是实验值，具有随机性，多次重复试验的数据也会不尽相同；而概率是理论值，在掷骰子的过程中，只要骰子的质量是均匀的，投到1至6点的可能性都是相同的，都是1/6，而这也不能说明投600次就一定有100次6点朝上.

易错点四：对于抽样调查中样本与总体之间的关系不明确

例4 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中. 不断重复上述过程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个.

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【错解】C.

【学生分析】根据题意，可以得到方程=，因此可以求出答案为50.

【点评】这位同学只是利用样本具有总体特征列出了方程，而未能理解方程中各个量的具体涵义. 在摸球游戏中，摸到某种颜色球的概率与该颜色球的个数占总数的比值有关，因此在本题中，可以设红球个数为x，列出的方程应为：=，可求出x=45，选A.

二、 解决策略

（1） 同学们可充分利用身边感兴趣的问题作为研究素材，多亲身经历，学会自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出的新概念才容易理解.

（2） 同学们要动手操作，反复试验，亲身经历“猜测-试验并收集试验数据-分析试验结果”的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制定或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性.

概率的内容相对比较抽象，其中包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辩证思维. 从同学们的思维发展情况看，初中阶段只是辩证思维的萌芽，还很不成熟，因此同学们要正确看待错误，结合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者单位：江苏省常州市新闸中学）

概率研究的是随机现象，这种现象不能用“因果关系”严格控制或准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析，找出其规律性，所以培养同学们的综合能力和抽象思维能力以及提高同学们的创造性直觉思维能力是必要的. 在这部分内容的学习过程中，同学们会出现混淆和错误，下面就这些错误的成因以及解决策略进行简单的阐述.

一、 错题汇集以及分析

易错点一：对于事件发生概率的理解不明确

例1 下列有四种说法：

①某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖；

②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

其中，正确的说法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【错解】A.

【学生分析】对于第一个说法，我认为2%的意思就是100张里会有2张中奖，概率应该是和彩票的总张数有关的；而对于第四种说法，发生的概率太小了，所以我觉得在实际生活中就不会发生了.

【点评】对于概率的值，应该理解为大样本容量下的理论值，而在实践中并不一定与理论值相符合，具有随机性；而小概率事件只能说发生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易错点二：对于可能事件的含义不理解

例2 某学校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 现随机抽一名学生，则抽到女生和男生的可能性一样吗？

【错解】一样. 因为要么抽到男生，要么抽到女生，可能性都是0.5.

【学生分析】这个问题中只有男生和女生，各占一半的机会，但是我没有考虑到要从全班44位同学中去抽取，而其中男生和女生的人数不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一样的.

【点评】其实这个问题和摸球游戏是一样的. 摸球游戏中，为了保证摸到每一个球的可能性相同，每个球除了颜色外其他都相同. 球的总数就类似于班级中学生的总数，而男生和女生各自的人数多少决定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接与性别有关.

（1） 计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.

（2） 小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

【错解】（2）正确. 可以根据实验数据得出结论.

【学生分析】利用实验数据可知，60次中5点朝上的次数最多，因此概率也最大；6点朝上的概率为1/6，因此投掷600次会有100次6点朝上.

【点评】频率是实验值，具有随机性，多次重复试验的数据也会不尽相同；而概率是理论值，在掷骰子的过程中，只要骰子的质量是均匀的，投到1至6点的可能性都是相同的，都是1/6，而这也不能说明投600次就一定有100次6点朝上.

易错点四：对于抽样调查中样本与总体之间的关系不明确

例4 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中. 不断重复上述过程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个.

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【错解】C.

【学生分析】根据题意，可以得到方程=，因此可以求出答案为50.

【点评】这位同学只是利用样本具有总体特征列出了方程，而未能理解方程中各个量的具体涵义. 在摸球游戏中，摸到某种颜色球的概率与该颜色球的个数占总数的比值有关，因此在本题中，可以设红球个数为x，列出的方程应为：=，可求出x=45，选A.

二、 解决策略

（1） 同学们可充分利用身边感兴趣的问题作为研究素材，多亲身经历，学会自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出的新概念才容易理解.

（2） 同学们要动手操作，反复试验，亲身经历“猜测-试验并收集试验数据-分析试验结果”的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制定或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性.

概率的内容相对比较抽象，其中包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辩证思维. 从同学们的思维发展情况看，初中阶段只是辩证思维的萌芽，还很不成熟，因此同学们要正确看待错误，结合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者单位：江苏省常州市新闸中学）

概率研究的是随机现象，这种现象不能用“因果关系”严格控制或准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析，找出其规律性，所以培养同学们的综合能力和抽象思维能力以及提高同学们的创造性直觉思维能力是必要的. 在这部分内容的学习过程中，同学们会出现混淆和错误，下面就这些错误的成因以及解决策略进行简单的阐述.

一、 错题汇集以及分析

易错点一：对于事件发生概率的理解不明确

例1 下列有四种说法：

①某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖；

②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

其中，正确的说法是（ ）.

A. ①②③ B. ①②④

C. ①③④ D. ②③④

【错解】A.

【学生分析】对于第一个说法，我认为2%的意思就是100张里会有2张中奖，概率应该是和彩票的总张数有关的；而对于第四种说法，发生的概率太小了，所以我觉得在实际生活中就不会发生了.

【点评】对于概率的值，应该理解为大样本容量下的理论值，而在实践中并不一定与理论值相符合，具有随机性；而小概率事件只能说发生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.

易错点二：对于可能事件的含义不理解

例2 某学校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 现随机抽一名学生，则抽到女生和男生的可能性一样吗？

【错解】一样. 因为要么抽到男生，要么抽到女生，可能性都是0.5.

【学生分析】这个问题中只有男生和女生，各占一半的机会，但是我没有考虑到要从全班44位同学中去抽取，而其中男生和女生的人数不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一样的.

【点评】其实这个问题和摸球游戏是一样的. 摸球游戏中，为了保证摸到每一个球的可能性相同，每个球除了颜色外其他都相同. 球的总数就类似于班级中学生的总数，而男生和女生各自的人数多少决定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接与性别有关.

（1） 计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.

（2） 小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

【错解】（2）正确. 可以根据实验数据得出结论.

【学生分析】利用实验数据可知，60次中5点朝上的次数最多，因此概率也最大；6点朝上的概率为1/6，因此投掷600次会有100次6点朝上.

【点评】频率是实验值，具有随机性，多次重复试验的数据也会不尽相同；而概率是理论值，在掷骰子的过程中，只要骰子的质量是均匀的，投到1至6点的可能性都是相同的，都是1/6，而这也不能说明投600次就一定有100次6点朝上.

易错点四：对于抽样调查中样本与总体之间的关系不明确

例4 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中. 不断重复上述过程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个.

A. 45 B. 48 C. 50 D. 55

【错解】C.

【学生分析】根据题意，可以得到方程=，因此可以求出答案为50.

【点评】这位同学只是利用样本具有总体特征列出了方程，而未能理解方程中各个量的具体涵义. 在摸球游戏中，摸到某种颜色球的概率与该颜色球的个数占总数的比值有关，因此在本题中，可以设红球个数为x，列出的方程应为：=，可求出x=45，选A.

二、 解决策略

（1） 同学们可充分利用身边感兴趣的问题作为研究素材，多亲身经历，学会自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出的新概念才容易理解.

（2） 同学们要动手操作，反复试验，亲身经历“猜测-试验并收集试验数据-分析试验结果”的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制定或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性.

概率的内容相对比较抽象，其中包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辩证思维. 从同学们的思维发展情况看，初中阶段只是辩证思维的萌芽，还很不成熟，因此同学们要正确看待错误，结合生活事例多理解，不可急于求成.

（作者单位：江苏省常州市新闸中学）