加强方程思想的渗透性教学

张桃红

【摘要】 数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导 。方程思想是数学教育的重要内容，本文通过几个案例具体说明如何在课堂教学中渗透方程思想，及所取得的效果。

【关键词】 方程思想 重要性 案例 渗透

【中图分类号】 G632.3 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）01-053-02

关于方程思想的文献阐述基本上大同小异，有的说方程思想是分析数学问题中的数量间的等量关系，建立方程或方程组模型，通过解方程或解方程组，运用方程的性质去分析转化问题。从而使问题得到解决的数学思想 ；有的说方程思想是指运用数学语言将问题中已知与未知之间的数量关系转化为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决的一种数学思想方法；或曰方程思想是运用方程的观点和方法解决问题的思想；等等，不难看出，这些关于方程思想的论述，都是以方程作为已知概念，用方程来界定方程思想的 。方程思想的重要性不言而喻。回顾数学发展的历史，法国数学家笛卡儿就曾提出过所谓的”万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为方程问题。

由此可见，方程思想和方法在解决现实问题中的重要性。

学习方程思想不只是学会解方程式，这只是其中一部分，另一部分是建立模型思想，方程是学生接触最早的用于解决问题的数学模型。通过应用问题的解决，让学生掌握方程建模的基本方法，通过建模解决实际问题，学生才能真正理解方程思想的含义，真正知道方程思想是怎么回事。在数学教学过程中渗透数学思想方法是落实“让学生获得数学思想的课程目标”的主要途径。而帮助学生领悟数学思想方法显然不是开设专门的数学思想方法教学课，更应当在日常的数学内容教学过程中加以渗透。方程思想贯穿整个初中数学教材：如常见的数学应用题中的方程思想；勾股定理中的方程思想；锐角三角形函数中的方程思想等等。

一、在实际问题与应用题的教学中渗透方程的思想

数学来源于生活，又为生产、生活服务，基于这一点各地中考题都加大了出题力度，经常出现涉及实际问题的题目，涉及的背景材料十分广泛。学生小学就已经接触了一元一次方程，但仅仅是学习了方程的简单计算。七年级开始学生就接触方程在实际问题中的应用，并贯穿整个初中数学教程。因此在实际问题与应用题的教学中渗透方程的思想是十分重要的。以下是我在讲授分式方程应用题的教学片段：

问题：某品牌瓶装饮料每箱价格26元.某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元.问该品牌饮料一箱有多少瓶？

师：生活中你们碰到到促销吗？

生：有。

师：怎样促销的呢？

生：“买一送一。”

师：具体是什么意思？

生：买一瓶送一瓶。

师：题目中的“买一送三”是什么呢？

生：买一瓶送三瓶。

生：不对 ，是买一箱送三瓶。

师：没错，我们一定要看清楚题目的意思，不要想当然。本题如何去计算一箱有多少瓶？

生：列方程。

师：非常好。方程思想是我们数学中一种重要的思想。我们都知道列出方程之前，我们要找准等量关系。此题的等量关系是什么呢？

生：促销后每瓶饮料比促销前每瓶饮料的价钱少0.6元。

师：对，那根据等量关系和本题的问题，应该如何设未知数？

生：直接设该品牌饮料一箱有x瓶。

师：请同学们独立列出方程。……

此题是一道中考题目，是一个鲜活和有趣的案例，可以提高学生的学习兴趣。解应用题时，不仅要求学生应懂得更多的常识，还需要积累一定的生活经验，使他们能理解应用题所给出的情景，在理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题。即将实际问题经过抽象慨括。利用方程建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。然后再把解得的数学结论返回到实际问题中。这样通过在实际问题与应用题的教学中渗透方程的思想，使学生将实际问题转化为方程解应用题，培养学生应用数学知识解决问题的能力，发展学生的应用意识。

二、在三角形函数的教学中渗透方程的思想

案例：三角函数的实际应用教学片段

问题：如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：■≈1.73，■≈1.41）

学生先独立思考。

师：这是解直角三角形这节书中有关三角函数的应用题。

师：图中有几个直角三角形？

生：两个。

师：对，接下来我们的首要任务就是理清两个直角三角形中元素之间的关系。

师： Rt△ABC中元素之间的关系？

生： 在Rt△ABC中，题目已知∠ACO=45°，我们就可得到∠ACO=45°，然后根据等边对等角可推出两直角边相等，AO=CO.

生：我觉得在Rt△ABC中，已知∠ACO=45°，我用tan∠ACO也可以推出AO=CO.

师：非常好， 这两个同学用不同的方法都分析出，在Rt△ABC中， AO=CO.

师：谁来分析Rt△BCO中元素之间的关系？

生：我来， 角方面，在Rt△BCO中，由∠BCO=30°，推出∠CBO=60°，边方面，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以推导出BC=2BO， 由tan30°得到■=■.

师：同学们分析的非常详细，我们怎样把刚才大家分析的边和角的情况结合在一起，求出C处到树干DO的距离CO呢？

生：我们可以设CO为x，然后列出方程解出x.

师： 对， 根据已知条件找出等量关系建立方程，运用方程的思想解决此题. 请大家列出方程解题，并和同伴交流自己的方法。

案例分析：本题是解直角三角形问题中的基本题型——含有公共直角边的两直角三角形问题，通过已知量解直角三角形或设未知数. 解这类题的关键就是要在所给出的图形中构造相关的直角三角形，掌握方程的思想方法，把实际问题正确地转化为数学模型进而利用锐角的三角函数知识构造出方程计算即可。

三、在勾股定理的教学中渗透方程思想

折叠问题中的方程思想教学片段。问题：如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 6，BC = 8。把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C'处， 交AD于点G；E、F分别是C'D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D'处，点D'恰好与点A重合。（1）求证：△ABG≌△C'DG；（2）求tan∠ABG的值；

第一层次（单纯地解决问题）：你准备用什么方法来解答？

第二层次（培养学生的发散思维能力及灵活运用数学思想方法的能力）：你能用几种方法来解答？它们体现了一些什么思想？

如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2■，BD=■，则AB的长为 （ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

案例分析：此题是一道折叠类的中考题，第一问考查全等，学生比较容易掌握，第二问有一定的难度，表面上是考查三角形函数的知识，实际上运用方程的思想解题才是本题的关键。

由以上案例可以看出，数学思想方法既隐身于数学课程内容中，也体现在人们解决问题的基本思路（策略）中，因此，渗透史学思想方法的教学活动必然与数学课程内容的教学、与解决数学问题的教学交织在一起。由于数学思想方法相比具体的解决问题的手段（技能），具有更上位的特征，而且人们认识事物的一般顺序又是从具体到抽象，因此渗透数学思想方法的教学应当与数学课程内容、数学解题活动的教学相结合。基本过程是让学生首先了解、熟悉诸多的“流”——具体技能（手段），再经概括上升到“源”——思想方法。也就是说，从操作开始，经历理解相关原理，再形成由原理指导下的操作。数学思想方法的渗透不是短期教学就可以完成的，需要有一个长期、循序渐进的过程。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 邵光华.作为教学任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育

出版社，2009.

[2] 马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导初中数学[M] .北

京：北京师范大学出版社，2012.