立足课本多思考 深入探究多惊喜

姜燕君 蒋珊珊

课本是学生知识资源的依据，课本中的例题、习题是学生务必要掌握的.因此考虑到教学的阶段性要求，课本中的例题一般或体现某个定理的应用，或体现某种解题的思想方法，具有基础性和示范性.因此，适时、适度地对课本例题进行拓展探究，值得提倡.通过拓展探究，建立联系，整合知识，提炼思想方法，有利于学生开阔视野，学会借鉴，学会欣赏，激活其思维发散.本人就苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章抛物线中的习题来具体谈谈如何探究拓展的.

题目：设过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的一条直线和此抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2=-p2.

一、拓展解法

发展学生思维能力是数学教学的一项中心任务，也是素质教育的要求.思维品质的培养是发展学生思维能力的突破口.因此，在教学中适时安排一题多解的教学，对培养学生思维品质很有效果.

分析 联立方程组、设而不求是解决两曲线交点问题的重要思想方法，教学中要让学生深刻体会到这一思想方法的重要性和普遍性，并能灵活运用.交点在曲线上，可以使交点坐标二元一元化，消元往往能使复杂的问题得到简化.

证明 设两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

方法一 若直线AB的斜率不存在，则Ap2，p，Bp2，-p，∴y1y2=-p2；

若直线AB的斜率存在，可设直线为：y=kx-p2，

由y=kx-p2

y2=2px可得k2py2-y-kp2=0，∴y1y2=-p2.

综上两种情况可得：y1y2=-p2.

方法二 由于直线与抛物线恒有两交点，故斜率不为0，可设直线为：x-p2=my.

由x-p2=my

y2=2px可得y2-2mpy-p2=0，∴y1y2=-p2.

方法三 设Ay212p，y1，By222p，y2，由A，F，B三点共线可得kAF=kBF，即y1y212p-p2=y2y222p-p2，

化简得y2-y1y1y2+p2=0.

又∵y2≠y1，∴y1y2=-p2.

二、拓展题目

在教学过程中如何让学生解一题，就能懂得一类题，做到触类旁通呢？这不但要求教师精心选题，更重要的是如何利用该题鼓励学生尝试更多的变题，这样才能让学生对这类题掌握得更牢固，跳出题海战役.

原题探究：

引导学生进一步猜想、探究，得到了以下的结论：

（1）x1x2=p24；

（2）以AB为直径的圆与准线相切；

（3）以AF为直径的圆与y轴相切；

（4）|AB|=x1+x2+p=2psin2θθ为倾斜角 ；

（5）1AF+1BF=2p；

（6）设AB的中点为M，A，B，M在准线上的射影为A1，B1，M1，则：（1）A1F⊥B1F；（2）A1，O，B三点共线.

变题探究：

（1）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线相交于A，B两点，连接BO并延长交准线于A1，则A1O平行于x轴.

（2）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的直线交准线于A1，B1，过A1，B1作x轴的平行线，交抛物线于A，B两点，则A，F，B三点共线.

（3）过抛物线焦点弦的两个端点分别作抛物线的切线，两切线的交点轨迹是抛物线的准线.

证明 设抛物线为y2=2px（p>0），

两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），交点为P（x，y）.

过A点的切线为：y-y1=py1y212p-x1，

过B点的切线为：y-y2=py2y222p-x2，

得两切线的交点坐标：Py1y22p，y1+y22.

又∵y1y2=-p2，∴x=-p2.

∴P点轨迹为x=-p2.

逆命题：由抛物线准线上任一点P分别作抛物线的两切线，切点的连线段是抛物线的焦点弦.

（4）已知P是抛物线x2=4y上的动点，F是焦点，求|FA|的最小值.

（5）一酒杯的轴截面是抛物线的一部分，其标准方程是x2=2y（0≤y≤20），在杯内放入一玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r应满足什么条件？

（6）已知过抛物线y2=2px（p>0）焦点的弦为AB，求|AB|的最小值.

（7）已知抛物线y2=2px（p>0）的弦AB的长为2p，求证：AB过定点.

类比探究：

在椭圆中： （1）以焦点弦为直径的圆与准线相离.

（2）以焦半径为直径的圆与以原点为圆心、a为半径的圆内切.

在双曲线中：（1）以焦点弦为直径的圆与准线相交.

（2）以焦半径为直径的圆与以原点为圆心、a为半径的圆内切或外切.

三、拓展体验

在一题多解的拓展中，学生可以看到不同人思维的差异并从别人的思维中获得启迪，还可以看到建立在独立思考基础上的合作交流的重大意义.在一题多用、一题多变的拓展中，学生看到了多题一法，特殊与一般的关系.在拓展的过程中，学生们的情感体验也在变化：或感叹于我怎么没有想到，或惊讶数学的神奇，或陶醉于心理的积极暗示——下一次，我也要多想想、多试试、多动动.这样的拓展不但对已有的资源有更充分的利用，对学生的探究意识和能力的形成具有更大的促进作用.因此，教师要充分挖掘教材中例、习题的教学价值，培养学生在探究中发现、在探究中创造的能力，只有处于这种“乐于探究、主动参与、勤于动手”的课堂氛围下，学生的创造性思维能力才能真正得到发展，才能给我们的学生一双用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑！