浅谈整体思维在解题中的应用

孙少华

摘 要：数学整体化思想方法要求教师在数学解题过程中把所研究的对象作为一个整体来对待，从全局看问题，从整体去思考，整体地把握条件和结论的联系。整体化思想是解决数学问题的思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质。在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思路，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题。

关键词：数学解题；整体化思想；问题解决

研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大观察问题的视角，将要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形状、整体结构或做种种整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。整体化思想作为一种重要的解题策略，对学生解决数学问题的能力有着积极的意义。

一、整体代入

根据已知条件求代数式的值，有时直接代入求值极不方便，若把已知条件经过变形视作一个“整体”直接代入，就能避免局部运算的麻烦和困难。

例1.已知x2-5x-1=0，求■的值。

分析：如果从方程x2-5x-1=0中解出两个不等无理根，再代入求值，计算复杂，现考虑5x+1=x2和x2-5x-1=0分别视作整体代入，则问题可化繁为简。

解：由x2-5x-1=0得x2=5x+1

■=■=■

=■=■=■=4

二、整体变形

把某一个问题看做一个整体的同时，还要对这个整体进行适当的变形，才能使问题顺利获解。

例2.已知x+y-2=0，2y2-y-4=0，求y-■的值。

解：条件式变形为x=2-y，y2=■y+2

所求式变形为：y-■=■=■=■

三、整体求解

在解方程时，可以把几个未知数作为一个整体考虑，这样就能避开非必求部分，从而简化解题过程。

例3.有甲、乙、丙三種货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元，现在购甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：考虑分别求甲、乙、丙各一件的价格比较困难，可把甲、乙、丙一件的总钱数看做一个整体，然后从整体上求解。

解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元

则依题意得：3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20

问题就是求x+y+z=？

设x+y+z=m（3x+7y+z）+n（4x+10y+z）

=（3m+4n）x+（7m+10n）y+（m+n）z

∴3m+4n=17m+10=1 ？圯 m+n=1m=3n=-2

x+y+z=3（3x+7y+z）-2（4x+10y+z）=3×3.15-2×4.20=1.05

四、整体求和

有些数学问题，分别讨论需考虑多种情况，若整体求和，就可避免分类讨论。

例4.a、b、c是常数实数，x，y为任意实数

设A=（a-b）x+（b-c）y+（c-a）

B=（b-c）x+（c-a）y+（a-b）

C=（c-a）x+（a-b）y+（b-c）

求证：A、B、C不能都是正数，也不能都是负数。

分析与简解：若想分开讨论，则须分一正二负或一负二正两种情况，而x，y为变量，且a、b、c的大小关系不明确，难以下手。如果用整体求和，易知A+B+C=0，而A、B、C均为实数，便立即得出A、B、C不能都是正数，也不能都是负数。

五、整体求积

利用三个正数a、b、c，若abc≤k，则a、b、c中至少有一个小于等于■，解题思路简捷。

例5.已知0

求证：a（1-c）、b（1-a）、c（1-b）、中至少有一个小于等于■

分析与简证：对a（1-c）、b（1-a）、c（1-b）逐一考查条件难以用上，转而整体求积，则可得到解题途径。

∵a（1-a）=-a2+a=-（a-■）2+■且0

∴0

同理0

∴a（1-b）b（1-c）c（1-a）=a（1-a）b（1-b）c（1-c）≤（■）3

故a（1-b）、b（1-c）、c（1-a）中至少有一个小于等于■。

通过以上几例，我们不难看出，运用整体思维解题，应注意从全局着眼，全面系统地观察分析整体与局部，整体与结构的关系，从而准确地把握问题的本质，化繁为简，化难为易，出奇制胜。

参考文献：

[1]徐高龙.整体化思想在数学解题中的应用及教学对策.新课程研究，2011（8）.

[2]郑敏信.数学方法论入门.浙江教育出版社，2006-03.

[3]李鸿.强化整体化思想运用，提高数学解题能力.数学教学研究，1994（2）.

（作者单位 青海省大通回族女子中学）

编辑 杨兆东