求一元或多元函数最值的若干策略

张小雁

摘 要：求一元或多元函数最值的问题不仅是高中数学教学的重要内容，而且是高考、数学竞赛的热点之一，本文就如何求一元或多元函数最值问题归纳出几种方法，以期达到抛砖引玉的作用.

关键词：一元、多元函数；最值；若干策略

求一元或多元函数最值的问题（有些不等式证明问题也可归纳到求函数最值的问题）具有如下特点：1. 高中数学教学的重要内容；2. 高考、数学竞赛的热点之一；3. 解法灵活多样，无固定模式；4. 涉及知识点较多；5. 可考查学生应用涉及知识点的灵活程度；6. 实际生活中优化问题可归结为此类问题，因此此类问题近年来在各级各类考试中多有出现. 本文就如何求一元或多元函数最值问题归纳出如下几种方法，以期达到抛砖引玉的作用.

[?] 利用一元二次方程有解的充要条件或二次函数的性质

例1 （2010浙江高考）设x、y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

解：设2x+y=s，则y=s-2x，

所以4x2+（s-2x）2+x（s-2x）-1=0，整理得6x2-3sx+s2-1=0.

因为x∈R，所以Δ=9s2-24（s2-1）≥0，所以-≤s≤，

所以smax=，

即（2x+y）max=.

例2 （美国中学生第七届竞赛题）已知：实数a、b、c、d 、e满足：a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：设f（t）=（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2+（t-d）2，

则f（t）=4t2-2（a+b+c+d）t+（a2+b2+c2+d2）=4t2-2（8-e）t+（16-e2），

易知f（t）≥0，所以Δ=4（8-e）2-16（16-e2）=20e2-4×16e≤0，所以0≤e≤，所以emax=.

[?] 利用柯西不等式或均值不等式

例3 求函数y=+

x∈

0，

的最小值.

解：y=+=2x+

-x ·

+≥2·

·

+

·=2

+2=2×=25，

当且仅当=，即x=∈（0，1）时“=”成立，所以当x=时，ymin=25.

例4 （2012全国数奥甘肃预赛题）已知实数x、y、z满足：x2+y2+z2=1，求xy+yz的最大值.

解：

x2+y2

+

y2+z2

≥2+2=·（xy+yz），

所以（xy+yz）max=.

例5 （数学通报问题522）已知x+2y+3z+4u+5v=30，求w=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值.

解：[11+（）2+（）2+（）2+（）2]·[x2+（y）2+（z）2+（u）2+（v）2]≥[1·x+·（y）+·（z）+·（u）+·（v）]2，

即15w≥302?w≥60，当且仅当x=y=z=u=v=2时“=”成立，所以wmin=60.

[?] 换元法

例6 例3的另解

解：设=m，则x=-. 由09，即m>9，所以y=+m=+m=+（m-9）+9=13++m-9≥13+12=25，当且仅当=m-9即m=15，x=时，“=”成立，所以当x=时，ymin=25.

[?] 减元法

例7 （2010重庆高考）已知x，y∈R+且x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

解：因为x+2y+2xy=8，所以y=>0，所以0

所以（x+2y）min=4.

[?] 三角代换法

例8 已知x，y∈R+且+=1，求x+y的最小值.

解：设=cos2θ，=sin2θθ∈0

， ，则x=1+tan2θ，y=4（1+cot2θ），x+y=5+tan2θ+4cot2θ≥5+4=9，当且仅当tanθ=2cotθ，即x=3，y=6时，“=”成立，所以（x+y）min=9.

例9 已知x，y∈R+，x∈（0，1），求函数y=+的最小值.

解：设x=cos2α（α为锐角），则y=+=

2+

2. 又设=cosβ，=sinβ（β为锐角），

所以+=·（cosαcosβ+sinαsinβ）=cos（α-β）.

由α，β均为锐角?α-β∈-

，?cos（α-β）∈（0，1]，

所以=≥+，所以ymin=（+）2.

[?] 构造函数法

例10 设a，b∈R+，a+b=1，求证；

a+

b+≥.

解：设a=+x，b=-x，由0

a+

b+=

+x+·

-x+ =

+x+·

-x+=-x2+++=-x2+++=-2+·（1-4x2）+++=-2+·（1-4x2）+.

设t=1-4x2，由x∈

-

，易知t∈（0，1]，所以

a+

b+=-2+t+= -2+

t+，易知t+在（0，1]内递减，所以

a+

b+=-2+

t+≥ -2+=，

所以

a+

b+≥.

[?] 利用导数法

例11 设x，y∈R+且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.

解：2x+8y-xy=0?y=>0?x>8，所以x+y=x+=.

设f（x）=（x>8），当x∈（12，+∞）时，f ′（x）>0，当x=12时，f ′（x）=0，所以fmin=f（12）=18，所以（x+y）min=18.

[?] 利用三角不等式法

例12 已知a，b是任意的非零实数，求的最小值.

解：=

2++

2-≥

2+

+2-=4，当且仅当

2-·

2+≥0时“=”成立，所以=4.

[?] 构造复数或向量法

例13 设a，b，c∈[0，+∞），求证：++≥（a+b+c）.

解：设z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai，

则++=z1+z2+z3≥z1+z2+z3=（a+b+c）+（a+b+c）i=（a+b+c）.

[?] 利用辅助角公式

例14 求函数y=+的最大值和最小值.

解：已知定义域为：x∈1

，.

因为y=+·且（）2+

2=，所以可令=cosθ，=·sinθθ∈0

， ，y=cosθ+sinθ=sin（θ+φ），其中sinφ==，cosφ==，所以φ可视为锐角. 因为<<，所以<φ<，<θ+φ<，所以ymax=，当θ=或0时，y有最小值，当θ=时，y=；当θ=0时，y=，所以ymin=.