一题一课，低耗高效复习

洪棠云

摘要：数学家波利亚认为解题的重要技巧是需从各个方面、各个侧面去尝试，去变化或转化问题。他在《怎样解题》中指出：“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新的可能性。”笔者在中考复习教学中从一些简单问题入手，添砖加瓦，设计问题串，尝试磨题、说题、一题一课的教学实践，体悟到了“原来学生的解题角度是这样的啊”，进而反思自己的中考复习实效。

关键词：变化问题；磨题；说题；一题一课；复习实效

近年来各地数学中考试题内容丰富、形式多样，设计立意新、思维活。对于学生的思维广度和深度的要求都有所增加，不少学生平时做了大量大量的题，但每次面对考试中的“生题”又束手无策；教师也同样困惑，同类题型我已经正着讲反着讲还多次做过变式题，为什么学生就是掌握不了。本文通过自己在教学过程中的几个实例谈谈自己的几点收获，希望能得到一些教学同仁的指点。

一、想法初成

[浙教版九年级上数学作业本1第34页作业题第14题]

如图，一块直角三角形木板的两直角边BC，AC的长分别为1.5m，2m.要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图①，图②所示.请你用所学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可以保留）.

原题考查的知识点：相似三角形的性质和判定.

改编题1 现要从中裁出一个面积最大的内接矩形，有如图①，图②两种裁法，问面积S1，S2的最大值分别为多少，它们相等吗？

改编后的题不仅仅考查学生相似三角形的性质和判定知识，还渗透了方程函数思想：二次函数解析式的求法及最值的求法 .

改编题2 如图③有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中剪出一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？

这里把直角三角形改成了等边三角形。

二、一题一课

大道至简，要想提高课堂时间的利用率，让学生走出题海，达到一题通片，首先教师必须要先走进题海，通过大量的做题悟题，发现“母题”，进而改题、编题。我在最近的题海搜罗中发现，点的坐标，它很奇妙，在我们初中数学四大模块的知识体系中始终都有着它的身影。对此，我设计了一节公开课。

母题：[浙教版八上，作业本（1）P31，作业题5]

该题的考查目标：会根据图形添加辅助线，利用正三角形的性质与勾股定理，用坐标表示图形中的点。

这道题目看似简单，但却是一个很好的数学建模内容， 点的坐标，若放在不同的问题情境中，可设计出不同的题目，做到一题多变，一题通天下的妙用。以此问题为基础可作如下探索：

环节1 一个点的坐标的妙用A（x，y）

（1，3）问：已知点A ， 你能根据这个条件编一道数学题吗？

预设：1、关于变换的：关于x轴、y轴、原点对称；

2、求线段AB、AC、OA；

3、求角度；

4、求函数：正比例函数、反比例函数；

5、构造特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）：在坐标轴上是否存在点E，使△AOE是等腰三角形/直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

类比上一环节，补充直角坐标系中任意两点坐标求线段的公式，追问△AOB的形状，在平面上找第四个点D，使以A、O、B、D为顶点的四边形为平行四边形。

例题如图，抛物线

（1） 求该抛物线的解析式；

（2）与x轴另一个交点为点D，点Q为抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样一点M，使得以B、D、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）抛物线的顶点为点P，若在x轴上存在点E，使△ABD与△BPE相似，请求出点E的坐标；

（4）直线l：x=m，在（3）的条件下，过点E做EF⊥PE交直线l于点F且满足PE：EF=1：2，试求m的值和此时点F的坐标.

此题考查了二次函数求解析式及其性质、平行四边形的判定、相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识.此题难度较大，分类讨论是解此题的关键，注意数形结合思想与方程函数思想的应用.

三、反思成长

具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学中尤其是在初三总复习时，要善于“借题发挥”，编织知识网络，整合思维模式，培养学生复合思维，形成网络技能。走出题海战术，真正做到轻负高效。

马云说：“人一定要想清三个问题，第一你有什么，第二你要什么，第三你能放弃什么。”对于绝多数人而言，自己有什么很清楚，很容易评价自己的现状。要什么，内心也有明确的想法，。最难的是，不知道或不敢放弃什么——这点恰能决定你想要的东西能否真正实现。复习课， 要复习的知识点非常多， 如果一节课内容太多， 最终往往容易眉毛胡子一把抓， 达不到预期的效果。而我的毛病就是对学生不放心，就想把自己所知道的知识全部传授给学生，于是，一节课变得什么都是重点，然后学生搞不清楚什么是重点。

接下来，我要努力的方向是我要放弃什么，在问题设计时，要了解学生原有的知识水平与思维发展水平，并找到“最近发展区”与之结合，找准切入口，做到简约生活，大道至简。

参考文献：

[1]《数学课程标准》（实验稿）.北京师范大学出版社.2003年2月.

[2]波利亚.阎育苏译.怎样解题[M].北京科学出版社，1982.

[3]2014年浙江省初中毕业生学业考试说明.浙江摄影出版社，2014年1月.

[4]《2013年全国中考试题精选》数学. 2013年7月.

（作者单位：温州市苍南县灵溪镇第十中学325800）