例析实际问题中的最优化几何模型

戴小驹

【摘要】几何应用型问题图文并茂，贴近生活实际，颇引人注目，而几何最优化问题又是其中的一朵奇葩.这类问题涉及的知识面广，需要学生具有扎实的几何知识基础，同时要有较强的分析能力和一定的生活经验.学生解这类题，往往有一定的困难.本文通过剖析典型例题，介绍怎样从实际问题背景看问题的实质，抓住图形的几何性质，获取最优化解决问题的信息，从而探求解决问题的最优化途径和方法.

【关键词】几何；模型；数学

一、有关站址的选取问题

例1如图1，某汽车公司所营运的公路AB段有四个车站，依次为A，C，D，B，且AC=CD=DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，B，C，D站的各一辆汽车到加油站M所花费的总时间最少，试找出M的位置.

图1

分析本题实际上是在线段AB间找一点M，使S=AM+CM+DM+BM最小.可就M在AC间、CD间（含C，D）、DB间三种情况分别求出S，再进行比较，找出符合要求的M点.

解若加油站选在AC间，设为M′，则S1=（AM′+BM′）+（CM′+DM′）=AB+CD+2CM′.

若加油站选在CD间（包括C，D），设为M″，则S2=（AM″+BM″）+（CM″+DM″）=AB+CD.

若加油站选在DB间，设为M，则S3=AB+CD+2DM，

可见S1，S2，S3中S2最小，并且S2是一个固定的值.所以加油站M选在CD段（包括C，D）任一点均可.

说明此题通过分类讨论并加以计算比较的代数方法解决了几何的最优选址问题.

例2长江的同侧有A，B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米和n千米.设两条小路相距l千米.现在要在江边建一个抽水站，把水送到A，B两厂去，欲使供水管线最短，抽水站应建在哪里？