对数学定理教学的思考

陶磊

【摘要】 在数学定理教学中，要强调数学定理的发现过程，突出数学定理证明思路的探索过程，重视数学定理的引申和推广.

【关键词】 定理教学；思维活动；思维过程

数学概念、数学定理（公式、法则等）是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基础，也是数学思维的起点，在数学教学中具有重要的地位.数学概念和数学定理（公式、法则等）的形成过程所蕴含的数学家的思想方法、思维方法及研究方法，更是数学学习的精髓所在.在数学定理教学中，对数学定理的形成过程进行精心设计，将凝结在数学定理中的数学家的观察、试验、归纳、概括、推理与证明等思维活动打开，并设计一定的载体（如教学情境、教师讲解、学生探究和反思、变式训练等），用以展开这些数学思维活动，使得学生的学习思维与数学家的思维同步，并逐步使其思维结构与数学家相似，让学生在体验数学家思维活动的过程中提高数学素养，发展创造性思维能力，这是数学定理教学的关键所在.下面谈谈笔者对数学定理（公式、法则等）教学的浅见.

一、强调数学定理（公式、法则等）的发现过程

在传统的接受性学习中，学习数学往往以定论的形式直接呈现出来，学生学习数学定理（公式、法则等）是在记定理、背定理，往往看不到数学定理（公式、法则等）的发现过程，只看到完美的结论，正像波利亚所说：“只给出规则而不讲理由，则干巴巴的规则会很快被遗忘.”其实，数学家的发现过程是迂回曲折的，他们的思维活动通常是从具体的背景材料出发，通过观察、试验、类比、归纳等一套合情推理，提出需要证明的数学猜想.

在数学定理教学中，模拟数学家的思维活动，引导学生进行“似真性”的发现，让学生体会到寻求真理的兴趣和喜悦，这是数学教师主导作用之所在.

例如：在三角形全等的“边角边”条件这节课的教学中，笔者创设了下面的问题情境来引导学生探究发现.

问题1：如果已知一个三角形的两边及一个内角，那么它有几种可能情况？

同学们经片刻的思考与交流后得出两种：（1）两边及其夹角，（2）两边及一边的对角.针对学生答出的这两个问题，教师提出对这两个问题进行探究.

探究1：先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保证两边和它们的夹角对应相等），把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

探究2：先画出一个△ABC，再画出△A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保证两边和其中一边的对角对应相等），把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

先由学生自己动手，利用直尺、三角尺、圆规等工具，对以上两个问题进行实验操作，并探究全等三角形的条件.在学生个人探究的基础上再全班交流，最后得到：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以它不能作为判定两个三角形全等的方法；

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可作为判定两个三角形全等的方法.

上面的探究活动，学生通过动手操作，为数学定理的学习积累活动经验，在“操作”中探究，在过程中感悟，在体验和感悟中理解数学定理的意义.这样学习的数学定理在认知结构中才会有所依托，才会巩固.

二、突出数学定理证明思路的探索过程

对数学定理（公式、法则等）的证明，如果仅用演绎推理，按教科书上的格式叙述过程，这就降低了教学的要求.“直截了当”固然节约了时间，但对学生来说却缺乏一个完整的认识过程.数学家真实的思维过程，常常被最终的简洁掩盖着，我们虽然不知道，但是我们可以仿真，作出示范.在思路分析中，应教给学生如何联想、探索、猜想、推理、转化，特别是分析思维受阻时，如何合理改变心向，变换策略，另辟蹊径，从而到达目的的思维过程.同时还应把学生有价值的解题思路发展下去.为了使这种思维过程卓有成效，教师必须对教材进行“再创造”.

例如，对于如何证明“勾股定理的逆定理”的教学，当学生通过猜想得到：“如果三角形的三边长a，b，c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.”接下来证明猜想的正确性也就变成了学生自发的需要.先猜，于是我先让学生说说证明的思路.有的同学说，是根据勾股定理，因为a2 + b2 = c2，所以这个三角形是直角三角形.此种说法马上遭到部分同学的反对，理由是：在勾股定理中，题设是直角三角形，而在要证明猜想的题设中没有告诉我们△ABC是直角三角形，所以不能应用勾股定理.这时一名学生站起来说他会证，并到黑板上板演解题过程，即如图1，作一个Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由题设，得A′B′ = c，那么△ABC ≌ △A′B′C′，所以∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形.

此时老师追问这名同学你是怎样想到这种方法的，这名同学说他是从课本上看的.老师继续追问这种证明的方法是什么方法. 全班大部分同学回答说是构造法，上节课证明勾股定理也是用构造法.这时老师指出：同学们说得好，构造法是一种重要的数学方法，通过这两节课的学习，大家对它有了初步的认识，今后在解题中要学会灵活运用.并提问全班同学：本题证明中用构造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？当同学们都在静静思考的时候，一名同学谈了自己的想法，他说：“我是这样想的：前面已学习过勾股定理，而问题1中的已知条件a2 + b2 = c2类似于勾股定理中的结论.如果想要应用已有知识，首先想到的是应用勾股定理，而要应用勾股定理就必须得有直角三角形这个条件，所以想到要构造一个直角三角形.”至此，学生完全明白猜想结论的证明及为什么这样去证明.

用构造的方法证明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的问题，怎样构造？为什么这样构造？你是怎样想到的？等等，这对培养学生的数学思维能力极为有益.如果老师很突然地构造了直角三角形，按教科书宣读证明过程，就降低了教学的要求.长此以往，“机械学习”也在所难免.

三、重视数学定理（公式、法则、性质等）的引申和推广

数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容，对数学定理进行引申和推广，也是数学家常用的研究方法.数学研究的很多问题都是某种形式的推广，将数学定理进行引申和推广，既符合数学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律.

例如，学习了三角形的中位线定理后，可进一步引导学生联想：如果将条件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的结论？使学生的思维跨入新的高度.

又如，当学生学习了平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等”后，接着，教师继续引导学生探究这个定理的推广和特殊情况，即定理是否存在推广情况， 是否存在特殊情形，先让学生独立思考，再合作交流得到：

变式1：一组平行线（平行线族）截两条直线，所得的对应线段的比相等.

变式3：如图3中的实线部分，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段的比相等.

变式4：如图4中的实线部分，若AB = BC，AE = DE，则BE = ■CD（三角形中位线定理对应的基本图形）.

变式5：如图5中的实线部分，平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段的比相等.

世间万物都在变化之中，但只说事物在变，不能说明什么问题，科学的任务是要找出变化中不变的规律.于是在得到上面的各种变式后，教师继续提出问题让学生思考：在上面的各种变式中，其不变的规律是什么？

学生思考后认为， 在“平行线”的条件下， 通过直线移动得到各种变式图形，但其“对应的线段比相等”是不变的.

学生经历对数学定理（公式、法则等）进行引申和推广的过程，不但使他们也像数学家一样经历了发明创造的过程， 而且使他们在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力.同时还使他们体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构.

结束语：数学教学应是数学思维活动的教学，在数学定理教学中，应尽可能多地给学生提供观察、尝试、操作、练习、猜想、探索、演绎、证明等机会，鼓励、放手让学生去实践，通过思维过程，优化学生的思维品质，培养学生的创造能力.

【参考文献】

[1]鲍建生，周超，著.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.