在高中数学解题教学中如何渗透数学思想方法

张丹丹

摘要：在高中数学教学过程中，学生普遍存在碰到数学题不知该如何下手或过于依赖教师讲解、对数学问题缺少方法等问题，教师在教学过程中不仅要注意引导学生掌握解题技巧和解题方法，还要引起学生对数学思想的重视，因为数学思想方法的掌握和正确运用，对解题能起到事半功倍的效果。

关键词：高中数学；解题教学；数学思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0138

数学思想是数学理论和内容经过人脑思维活动而产生并存在于人脑中的一种意识，它是对数学事实与理论内容的最根本认识；数学方法是数学思想在研究数学问题过程中的具体表现形式，实际上它们的本质是相同的，差别只是数学方法站在解决问题的角度看问题，而数学思想是站在问题最本源的角度去思索问题。通常统称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等。

一、函数与方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学特有的语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与数学思想方法不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解；有时，还能实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。例如，数列是特殊的函数，函数有解析法、列表法、图像法三种表示方法，相应的数列就有通项公式、递推公式、列表、图像等表示方法，用函数的单调性、最值等性质解决数列问题非常快捷。

二、转化与化归思想

转化与化归思想是把生疏问题转化为熟悉问题、复杂问题转化为简单问题、抽象问题转化为具体问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，学生可以把未知解的复杂问题转化为在已知范围内可解的简单问题。我们教师要不断培养和训练学生自觉的转化与化归意识，这将有利于训练学生思维能力，使学生更聪明、更灵活、更敏捷；也有助于我们提高教学水平。

三、分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，对此，我们必须对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。以下是来自教材的命题：

例1. 若loga3/4<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围。

解：因为loga3/4

当a>1时, 函数y= logax在其定义域上递增,则有a>3/4,故有a>1 成立。

当0

综上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求实数a的值。

解：显然集合A={-1，1}，对于集合B={x|ax=1}，

当a=0时，集合B=满足BA，即a=0；

当a≠0时，集合B={}，而BA，则，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

综上所述，实数a的值为-1，0，或1。

在教学中，教师要和学生一起分析总结引起分类讨论的原因主要有以下几个方面：

①题目所涉及的数学概念是分类进行定义的。如指数函数、对数函数的定义中对底数a的要求是a>0且a≠1。这种分类讨论题型可以称为概念型。如例1。

②题目中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，学生必须根据参数的不同取值范围进行讨论。例如解不等式mx>2时分m>0、m=0和m<0三种情况进行讨论。这称为含参型。如以上例2。

④某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，以保证其完整性与确定性。

在解答分类讨论问题时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的；标准是统一的；不重不漏的科学划分；分清主次；不越级讨论；其中最重要的一条是“不重不漏”。我们的基本步骤是：首先，要确定讨论对象及所讨论对象的全体范围；其次，确定分类标准并进行正确合理的分类，即标准统一、不漏不重；再次，对所分类别逐类进行讨论，获取阶段性结果；最后，归纳总结得出结论。

四、数形结合思想

数形结合思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段、数为目的，比如运用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的，如解析几何中运用椭圆、双曲线、抛物线的方程来精确地阐明这三种曲线的几何性质。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3个不相等实数根，则a的取值范围()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因为方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3个不相等实数根，所以函数y=sin((πX)/2)和函数y=logaX的图像有3个交点。

做出函数y=sin((πX)/2)在区间[0，10]的图像，(周期为4)

当a>1时，作出函数y=logaX的图像，(单调递增)因为有3个交点，

所以loga5<1且loga9>1,

解得5

当0

所以-1

解得1/7a<1/3。

综上所述，a的取值范围是(5，9)∪(1/7，1/3)

师生共同观察黑板上画的图象，很明显地能看出a的取值范围。

师：同学们反思一下自己的解题过程，用两句话概括出解决本题的关键是什么？

生：利用函数与方程思想方法解题，关键是找到函数。

生：利用数形结合思想方法，找到图像的交点。

师：很好。本题运用函数思想的前提是把求方程的实根转化为求两个函数的图像交点。此题，我们可以体会到函数思想和数形结合思想以及转化与化归的思想。希望在以后的解题中，同学们能敞开思路，实现数学思想方法在解题中的应用。

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想，巧妙地将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，是数的问题与图形之间相互转化的桥梁。

数学问题的解决过程是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题,在数学问题的解决过程中渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且可以达到会一题而通一类的效果。结果表明，在高中解题教学中，教师渗透数学思想方法，有利于提高学生对数学的学习兴趣，加深对数学理论内容的理解，从而提高了学生的数学素养以及数学解题能力，同时也有助于我们教师提高自己的教育教学水平，所谓“教学相长”说的就是这个道理。

另外，在学生解完一道数学命题后，教师要引导学生积极地进行反思，这种反思能较好地概括学生的思维活动，从而上升到数学思想方法上来。同时由于学习的不可代替性，教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法，帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法。