注重课本习题的作用，搞好解题教学
2014-04-29温建兰
温建兰
摘要：纵观近几年的数学高考，我们不难发现：一些试题呈现基础化的趋势，源于课本又高于课本。这就要求我们在教学过程中要注重课本例习题的作用，深入研究课本、挖掘隐含在课本中的数学思想和潜在价值，培养学生的数学思维品质。
关键词：高中数学；课本例习题；数学思想
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0155
在近几年的高考中，数学试题呈现基础化趋势，一些试题源于课本又高于课本。这无疑是对教师教学导向的一种暗示，即狠抓课本、深入研究课本、挖掘隐含在课本中的数学思想和潜在价值，通过对课本的研究而培养学生的数学思维品质。但在现实的数学课堂教学中，依然存在着很多问题。例如，对课本例题的教学，许多教师有时会照本宣科，或认为课本例题过于简单，对训练学生的思维没有太大的帮助，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书找来的例题。这无疑是一种低效的教学与学习方法。高中数学新教材上的例题、习题都是经过专家精心构思、反复斟酌的。如何恰当运用、不断挖掘教材中例习题的多种功能，深化例习题教学，发挥其内在潜能，以培养高素质的学生是摆在教师面前的新课题。从教学实践中，笔者深刻地感受到运用运动变化的观点、普遍联系的观点分析、观察、探索数学问题，引导学生寻找课本习题的内在变化规律及习题之间的联系，是提高学生学习效率和解题能力的一种有效途径。
一、重视课本例题的示范作用
教科书中的例题一般都是在讲述了某个概念和命题后给出的，其目的是利用例题来示范、引领学生运用所学的新知识分析解决实际问题，任何学习都有一个模仿的过程，而对于数学学习更是如此。因为，学习数学先要学习审题，而审题是一种本领，只能依靠模仿和实践才能学到。这就需要有范例予以示范，这时的例题就起到了这样的作用。教材中的例题是教科书核心内容程序化的展现，既是教师教学的范例，也是学生学习的范例，是这部分知识内容的“最佳原型”。因此，教师要充分利用教科书例题的示范引领功能，最大限度地发挥其潜在的价值，力争做到以例启思、以例促思、以例带类、举一反三、触类旁通，以达到对知识深化理解的效果。
一般来说，教科书例题的示范引领作用主要体现在两个方面：一是新知识应用的示范引领。教师借助例题，展示如何利用新知识解决问题，并通过例题的示范，使学生学会如何利用新知识分析、解决相关的教学问题。二是审题程序与表述规范的示范引领。教师通过例题展示解题过程和规范的表述，使学生明确解题表述的基本过程和规范要求，掌握解题的基本流程，从而形成良好的解题习惯和规范的语言表达能力。语言叙述是数学解题的重要环节，因此，语言叙述必须条理清楚、步骤完整、详略得当、言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，教师切不可随意杜撰数学符号和数学术语，课本例题为学生的解题规范作了最好的示范，而重视解题的规范化将为学生的数学学习带来积极的影响。
二、重视例题素材的加工，使教学内容更精彩
对于高中数学必修三24页的例1题，部分学生表示不理解，主要原因是不理解程序中的“=”，常把A=A+15看成方程。在解题时，教师应强调这个“=”不是等号而是赋值号（学生对“=”不熟悉，教师要打破学生原有的认知结构）。计算机在执行赋值语句时，先计算“=”右边的值，然后将这个值赋给“=”左边的变量。比如，计算机在执行第二句时，A+15的值25会赋给A，原来的10已不存在，称之为计算机的覆盖原理，这样做形象生动、通俗易懂，学生都能理解并轻轻松松突围。
三、重视教材习题的拓展功能
为了培养学生思维的深刻性和广阔性，激发学生的学习积极性，教师应结合教学的实际情况，适当地对课本例题的设问进行引申拓展。“引申”主要是指对例、习题进行变通推广，重新认识。恰当合理地引申能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，能开阔学生的视野、激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍。
高中数学教材的习题大部分都较为基础，与高考有一定的距离，颇有拓展、开发与挖掘的余地和空间。例如，例题“已知a，b，m是正数并且a
四、注意对课本习题开展变式研究
课本习题由于受篇幅与精华性的影响，不可能出现足够多的数量，但我们可以通过研究课本习题的变式来弥补。课本习题多数具有可变性和可研究性，而且如果仅就题论题，无疑会浪费宝贵的课程资源。高考命题的原则之一是源于课本而高于课本，这也要求我们能对课本习题开展变式研究。
近年来，几乎每年的高考数学试题中都有一些来源于教材的“变题”。这就要求教师在理解课本内容的基础上对知识载体——例题、习题进行多层次、多方位的变式，调动学生学习的积极性和主动性，让学生形成完整的知识系统，以“一斑”窥“全豹”。例如在选修一“导数的计算”中，已知曲线的方程为y=x3-4，求过点（2，4）且与曲线相切的直线的方程。这是一道考查曲线、切线、切点之间关系的问题，通过这几个条件的内在联系即可解决问题。但为了使学生得心应手，教师可给出以下的变式训练：
变式一：已知曲线方程为y=x2， 其中一条切线的方程为4x-y-4=0，求切点的坐标。
变式二：已知过抛物线y=ax2+bx+c（a ≠ 0） 上一点（2，4）的切线方程为4x-y-4=0，求抛物线的方程。
变式三：过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，求切线的方程。显然，例题和前两个变式中的点均在曲线上，即为切点。通过训练，教师可引导学生总结出知识点：函数y=f（x） 在x0点处的导数表示曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率f ′（x0），切线方程为y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），即引出导数的几何意义，形成一定的思维模式，在以后遇到此类型题时，学生便能够快速解决。但变式三（下转第159页）（上接第155页）中的点是在曲线外的而非切点，如此峰回路转提醒学生解有关切线的题目前应先判断点是否在曲线上，不能莽下定论，造成错解。此变式训练既总结了知识点，又培养了学生思维的慎密性，还避免了思维定势。
对课本习题作相应的变式引申，在比较中进行学习，学生容易搞清相似的概念、方法，或者对原方法有更透彻的认识。变式可以比较有效地解决惯性思维的负迁移，起到事半功倍的效果，体现“源于课本而高于课本”的思想，培养学生的发散性思维。
五、重视一题多解，培养学生的发散性思维
有的教师不注重一题多解的训练，认为“通法”才是最重要的，不必过多地探索其他解法，这是十分片面的。事实上，一题多解，不仅可以通过少量的问题沟通各部分知识间的联系、拓宽解题的思路，而且有利于培养学生的创新精神。如必修四第101页的第3题：已知平行四边形ABCD的顶点A（1，2），B（3，1），C（5，6），求顶点D的坐标。很多学生都是机械地模仿前面例5中的两种方法，即使有其他解法，大部分学生还是摆脱不了用向量的方法去思考的定势思维，这时，教师应正确地引导学生，让学生在稿纸上画图，观察平行四边形四个顶点与对角线交点的关系，从中发现，对角线交点既是线段AC的中点又是线段BD的中点，只要由A、C两点坐标求出交点坐标，进而通过中点坐标公式即可求出点D的坐标。这种方法从几何的特征出发，解题的切入点与用向量的方法就有区别。通过启发，另一位学生想出用直线斜率相等与两点间的距离公式联立方程来解决问题，学生可以通过比较几种方法选择最优解法，在发现新解法时，也是对以前所学知识的巩固。
六、通过例题培养学生的数学思想
数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中至关重要。数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一是表层知识，包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能；二是深层知识，主要是指数学思想和数学方法。数学教学的内容贯穿两条主线，即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是明线，直接用文字形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要数学教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学教材的每一章节乃至每一道例题，都体现着这两条线的有机结合。“数学思想是灵魂”，在新教材中数学思想大多以隐蔽的形式存在于字里行间。因此，需要教师的有效发掘指点、化隐为显，学生才能领悟、掌握。除此之外，面对一道道数学题，我们可以对它进行简单化、特殊化、一般化变形，以寻找解题思路，进行知识和技能的迁移与拓展。在例题教学后，教师总结所运用的数学思想方法，可起到以一代十的效果，同时对培养学生思维的深度和高度有重要意义。
在日常教学中，教师可将课本例习题充分挖掘，巧妙加工、变换、伸延，学生利用这些习题进行自主或合作探究。这样，学生才会真正从题海战术中脱出身来，感受到学习的轻松愉快，同时，也培养了他们的思维能力。
（作者单位：山西省晋中市祁县第二中学校 030900）
