解三角形中的范围问题

乔晓林

摘要：在近几年的高考中，解三角形经常考查范围问题。 为了使学生能够更好地解决此类问题，本文在正余弦定理、面积公式及三角函数相关知识的基础上，结合具体的例题，归纳了解决此类问题常用的两种方法。

关键词：解三角形；范围；减少变量；三角函数；不等式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0130

一、减少变量，转化为求函数的值域问题

1. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c

设向量■=（c-a，b-a），■=（a+b，c）若■∥ ■，

①求角B的大小；②求sinA+sinC的取值范围。

分析：由向量共线可得两边平方和减第三边的平方，可知要用到余弦定理；第二问中A和C有关，一个用另一个表示，减少变量进而求范围。

解析：①∵■∥■， ∴c（c-a）-（b-a）（a+b），

∴c2-ac=b2-a2，∴■=1由余弦定理，得cosB=■，B=■。

②∵A+B+C=π， ∴ A+C=■，

∴sinA+sinC=sinA+sin（■-A）=sinA+sin■cosA-cos■sinA=■sinA+■cosA=■sin（A+■）

∵0

∴■

注意本题考查：①向量共线的坐标表示；②余弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式；③第二问中通过减少变量，转化为关于角A的三角函数求范围。

变式1：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（cosB+cosC）=b+c

①证明：A=■； ②若△ABC外接圆的半径为1，求△ABC周长的取值范围。

分析：已知边和角的表达式可以化简为：边化角或角化边；第二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理，表示出周长后减少变量求范围。

解析：①∵a（cosB+cosC）=b+c

由余弦定理得：a（■+■）=b+c

整理得：（b+c）（a2-b2-c2）=0又b+c>0

∴a2=b2+c2 即A=■

②由△ABC外接圆的半径为1，A=■可得a=2

∴b+c=2（sinB+cosB）=2■sin（B+■）

∵0

∴2

∴△ABC的周长的取值范围是（4，+2■]

注意本题考查：①正余弦定理、辅助角公式；②第二问中通过减少变量，转化为关于角B的三角函数求范围。

变式2：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+c2+■bc

①求角A的大小；②设a=■，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时的值。

分析：涉及两边平方和减第三边的平方，考虑余弦定理；第二问从要求的出发，考虑用面积公式及两角和差公式化简。

解析：①∵a2+b2+c2+■bc

由余弦定理得cosA=■=■=■

又0

② 由①得sinA=■，结合正弦定理得

S=■bcsinA=■■asinC=3sinBsinC

∴S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C）

所以当B=C 即B=■=■时，S+3cosBcosC的最大值为3。

注意本题考查：①正余弦定理，面积公式；②通过减少变量，利用两角差的余弦公式求最值。

2. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

已知cosC+（cosA-■sinA）cosB=0

①求角B的大小；②若a+c=1，求b的取值范围。

分析：已知三个角的关系，求角，考虑A+B+C=π；第二问中已知三边及一角考虑余弦定理。

解析：①由题意可知-cos（A+B）+cosAcosB-■sinAcosB=0

化简得sinAcosB=■sinAcosB=0

∵sinA≠0∴sinB-■cosB=0

又∵cosB≠0∴tanB=■

∵0

②由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

∵a+c=1 cosB=■

b2=3（a-■）2+■（0

∴■≤b2<1 即∴■≤b<1

注意本题考查：①两角和的余弦公式，余弦定理；②第二问中将b2转化为a关于的二次函数，易错点是0

变式：在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，（2a+c）cosB+bcosC=0

①求角B的值；②若a+c=4，求△ABC面积S的最大值。

分析：已知边和角的表达式化简方法为：角化边或边化角；第二问中减少变量转化为二次函数的最值问题。

解析：①由正弦定理得，（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，

即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0

得2sinAcosB+sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0因为，sinA≠0所以cosB=-■，又B为三角形的内角，所以B=■

②S=■acsinB，由B=■及a+c=4

得S=■a（4-a）sin■=■（4a-a2）=■[4-（a-2）2]，

又0

注意本题考查：①正弦定理，两角和的正弦公式及面积公式；②通过减少变量，转化为给定区间上二次函数求最值。

二、利用不等式求最值

1. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知a=bcosC+csinB

①求角B的大小；②若b=2，求△ABC面积S的最大值。

分析：已知边和角的表达式化简方法：角化边或边化角；第二问中可利用均值不等式求面积的最值。

解析：①∵a=bcosC+csinB

由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB

∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB即cosBsinC=sinCsinB

∵sinC≠0∴tanB=1即B=■

②由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos■即a2+c2-■ac=4

∵a2+c2≥2ac

∴（2-■）ac≤4即∴ac≤4+2■，当且仅当a=c时等号成立。

又S=■acsin■≤■（4+2■）=■+1

∴△ABC面积的最大值为■+1

注意本题考查：①正余弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积公式；②利用均值不等式求最值。

变式1：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin■+sin■=■

①试判断△ABC的形状；②若△ABC的周长为16，求面积的最大值。

分析：通过减少变量化简已知条件，第二问中已知和求积的最值，考虑不等式。

解析：①∵sin■+sin■=cos■+sin■=■sin（■+■）

∴■+■=■即C=■，所以此三角形为直角三角形。

②∵16=a+b+■≥2■+■，

∴ab≤64（2-■）2当且仅当a=b时取等号，

此时面积的最大值为32（6-4■）。

注意本题考查：辅助角公式，利用不等式求最值。

变式2：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c且acosC+■c=b

①求角A的大小；②若a=1，求△ABC的周长l的取值范围。

分析：化简边和角的表达式方法：角化边或者边化角；第二问中可利用不等式或减少变量的方法求解。

解析：①由acosC+■c=b得sinAcosC+■sinC=sinB

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC

∴■sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=■，

∵0

②法1：周长l=a+b+c=1+b+c

由①及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA∴b2+c2=bc+1

∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（■）2 b+c≤2

又b+c>a=1∴l=a+b+c>2

即△ABC的周长的取值范围为（2，3]

法2：由△ABC正弦定理得：b=■=■sinB，c=■sinC

l=a+b+c=1+■（sinB+sinC）=1+■（sinB+sin（A+B））

=1+2（■sinB+■cosB）=1+2sin（B+■）

∵A=■，∴B∈（0，■），∴B+■∈（■，■）

∴sin（B+■）∈（■，1]

故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]。

注意本题考查：①正余弦定理，两角和的正弦公式，辅助角公式；②通过不等式，减少变量的方法求范围。

2. 已知设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2+c2=2b2

①若B=■，且A为钝角，求内角A与C的大小；②求sinB的最大值。

分析：化简边和角的表达式方法：角化边或者边化角；第二问中可由余弦定理求得b的表达式，利用不等式求cosB的范围，进而求得sinB的最大值。

解析：①由题设及正弦定理，有sin2A+sin2C=2sin2B=1。故sin2C=cos2A

因为A为钝角，所以sinC=-cosA

由cosA=cos（π-■-C），可得sinC=sin（■-C），得C=■，A=■。

②由余弦定理及条件b2=■（a2+c2），有cosB=■，

因为a2+c2≥2ac，所以cosB≥■。故sinB≤■，

当a=c时，等号成立。从而sinB的最大值为■。

注意本题考查：正余弦定理及利用不等式求最值。

（作者单位：内蒙古包头市一机一中 014000）