反例在高等数学教学中的应用

于慧 刘勇

摘 要：美国学者B.R.盖尔鲍姆等人曾指出：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”这个比喻，形象地说明了“反例”。在教学中恰当地应用反例可以帮助学生全面、准确地理解高等数学中的一些概念及定理，对学生理解概念、纠正错误、开拓思维、掌握定理起着很大的作用。

关键词：反例；高等数学；教学；应用

回顾数学的发展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。如在19世纪以前，数学界长期认为连续函数除个别点外，总是处处可导。但是，后来数学家们创造出了很多反例，使他们清醒地认识到了分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。本文将根据高等数学实际教学情况，结合作者多年的教学经验，阐述反例在高等数学中的应用。

一、利用反例加深学生对数学概念的理解

在讲数列极限的定义时，由于概念比较抽象，学生很难全面掌握。这时不妨给出表面相似而实质却根本不同的反例进行区别和判断，从而使学生真正掌握概念的实质。

例1：判断以下两个叙述是否与极限的定义等价。

（1）有无穷多个ε>0，对每一个ε，存在N（ε），当n>N时，有|an-a|<ε；

（2）对任意正数ε，有无穷多个an，使|an-a|<ε。

叙述（1）忽略了ε的最本质的属性任意小的正数。教学中可举出反例{an}：an=1+（-1）n加以说明。

叙述（2）对任意正数ε，虽然有无穷多个an，使|an-a|<ε成立，但它忽视了对每个ε>0，都必须存在某个自然数N，即数列{an}的某一项aN，从项aN以后的所有项都必须满足|an-a|<ε。可举出反例{an}={1，■，1，■，1，■，…，1，■，…}加以说明。

因此，这两个叙述都与数列极限的定义不等价。通过反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε与N在定义中的作用与意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。

例2：为确定连续、可导、有连续导数三个概念，可举出以下四个问题。

（1）f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否连续？

（2）f（x）在x=x0处连续，则f（x）在x=x0处是否可导？

（3）f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续的导数？

（4）f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0的邻域内是否连续？

对（1）的回答是肯定的。对（2）（3）（4）回答是否定的，要说明原因，只需举出反例即可。

对问题（2）可考虑反例：f（x）=|x|在x=x0处连续但不可导。

对问题（3）可考虑反例：f（x）=x2sin■，x≠00，x=0，在x=0处可导但导数不连续。

对问题（4）可考虑反例：f（x）=x2，x为有理数0，x为无理数，f（x）在x=0处可导，但在0点任何邻域内，除0点外都不连续。

例3：在讲无穷大量与无界函数时，由于两个概念相近，学生容易混淆，这时可利用反例：f（x）=ncosx让学生认识到无穷大量必是无界量，但无界量不一定是无穷大量。

二、利用反例帮助学生理解定理的条件与结论

如学习罗尔定理时，可举以下例子。

例4：设函数f（x）满足下列三个条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间内（a，b）可导；

（3）在端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），则至少有一点ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0。

罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件。如果三个条件满足，结论一定成立；否则，结论可能成立，也可能不成立。

f（x）=x，0≤x<10，x=1在[0，1]上不满足条件（1），在（0，1）上也不存在点ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=|x|在[-1，1]上不满足条件（2），在（-1，1）上也不存在点ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=x在[0，1]上不满足条件（3），在（0，1）上也不存在点ξ，使f′（ξ）=0。

以上三例是不满足罗尔定理三个条件之一，结论不成立的反例。

对于不全满足三个条件但能找出导数为零的例子看下面的反例。

f（x）=x2在[-1，2]上不滿足条件（3），在（1，2）上也存在点ξ，使f′（ξ）=0。

从上述的举例可以看出，深入挖掘反例功能，并在教学中恰当运用，可以激发学生的学习兴趣，纠正和辨析错误认识，使学生的创新思维能力得到发展。

参考文献：

[1]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2005.

[2]徐晶.高等数学教学中的反问题及反例[J].江苏教育学院学报，2005（25）：78-81.

[3]朱连燕.反例在高等数学中的应用[J].职校论坛，2013（35）：193-194.