让课堂焕发“模”力

戴文亚

摘要：广义地说，数学知识都是数学模型，一切概念、公式、方程式、函数及相应的运算系统都可称为数学模型。在小学数学课堂中要引导学生用分析、比较、综合、猜想、验证、概括等思维方法，通过“重组内容，意义建模”、“链式推进，结构建模”、“有序拓展，变式建模”、“化解难点，方法建模”等策略，自主构建数学模型，从而激发数学学习的兴趣，积累数学活动的经验，进而促进数学眼光、数学意识、数学素养、数学品质的提升。

关键词：意义建模；结构建模；变式建模；方法建模

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）02-0072-05

张奠宙教授指出：“模型是指研究事物的有关性质的一种模拟物，数学模型则是那些利用数学语言来模拟现实的模型。广义地说，数学知识都是数学模型，一切概念、公式、方程式、函数及相应的运算系统都可称为数学模型。”[1]数学建模就是用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化、确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。[2]

小学阶段的数学建模重在让学生体验建模的过程，通过一定的实际情境，让学生在形成一些简单的数学模型的过程中，感受数学的形成，并能对此模型进行一些简单的解读与应用。在教学中，我们要将“数学建模”渗透到教学活动中，引导学生参与这种“微型的科研过程”。小学生的数学建模活动，并不是从零开始的，他们在学习之前就已经具备了探究新知识的有关知识和技能。在数学学习过程中，学生首先对问题情境中各种信息有比较准确的知觉，并能运用已有的知识，作出选择，设计学习过程，选择学习和解决问题的方法，预测结果……从而激发数学学习的兴趣，积累数学活动经验，同时促进数学眼光、数学意识、数学素养、数学品质的提升。

一、重组内容，意义建模

建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。由于学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，不利于学生对实际问题的简化和抽象。因此，我们可以创造性地使用教材，根据目前教材所提供的教学内容，结合学生的生活实际，根据学生已有的学习经验，重组教材内容，变换为更直观、学生更易理解的素材，这样可以克服教材的不足，使学生更加接近问题背景，这样不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。

《认识小数》教学片段：

（1）示图导入

师：这两幅图的阴影部分还能用整数来表示吗？

生：不能。

师：你觉得可以怎么表示？

生：■，■。

师：当涂色部分不能用整数表示的时候我们可以用分数来表示。■还有没有其他的写法？（■还可以写成0.2）

（板书：■=0.2）

师：这样的数叫什么数呢？（小数）我们今天就一起来认识小数。（揭题）

（2）意义理解

师：那0.2是怎么得来的啊？（把一个正方形平均分成10份表示这样的2份，既可以用■表示，也可以用0.2表示）

师：是呀，0.2就表示■，■就可以写成0.2。

师：那■你会写成小数吗？

生：0.7。

师：0.7就表示什么？

生：■。

师：下面的阴影部分，你能用分数和小数来表示吗？（图略）

师：我们今天认识的都是零点几的小数，那零点几的小数都是由怎样的分数改写成的呢？

生：零点几就表示十分之几，十分之几可以改写成零点几。

（3）即时练习

图中哪个阴影部分可以用0.3表示？

小学数学建模，要因材施教，循序渐进。笔者觉得最主要的是要适合儿童的认知水平，注意把握数学建模中儿童的认知起点、情感起点和思维起点，调动学生主动思考的积极性。教材原本以测量长度的实际问题引入，让学生测量课桌的长、宽，都不到1米，可以用分米做单位，用整数表示；也可以用米做单位，用分数表示。在已经学会这两种表示方法的基础上，引入用小数表示。这样的素材注重引导学生体会小数的现实意义。实际教学中，对于长度单位不足1米用分数表示虽然是旧知，但一直是学生理解的难点，在教学中这个环节一般要大费周折。由于这个难点的存在，淡化了分数和小数的密切联系，也就不能很好地突出一位小数的意义。因此，在教学中，我们尝试用直观图直接引入对小数意义的理解，更加形象地体会小数和分数的联系，通过调整素材的呈现方式，实现意义建模，从而便捷地理解“十分之几”就是“零点几”、“零点几”就表示“十分之几”。

二、链式推进，结构建模

在小学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生的数学意识以及分析和解决问题的能力。同时应渗透适合儿童水平的数学建模过程与方法，并通过系统的体验和学习，形成一个良好的认知结构。

《认识几分之一》教学片断：

师：一个圆，你能够找到它的■吗？我们需要怎样做？

生：我们只要把这个圆平均分成4份，表示这样的一份就是■。（教师根据学生回答演示）

师：刚才我们找到了一个圆的■，那下面这个图的■你们会找吗？看清楚了，现在有几个圆啊？你会把这8个圆怎么分？

（学生用作业纸操作分的过程。用彩色笔涂一涂，表示出8个圆的■。同桌之间说一说是怎样想的）

（学生到黑板上演示分的过程）

师：这里有12个圆，你能找到它的■吗？

（生分一分、涂一涂、说一说）

师：刚才我们找到了1个圆的■、8个圆的■以及12个圆的■，这3个■一样吗？

生：不一样。它们平均分的个数不同。

师：为什么都能用■表示？

生：因为都是把它们平均分成了4份，表示这样的一份。

师：是的。虽然圆的个数不同，但我们都可以把它看作一个整体来平均分成4份，表示这样的一份就是■。

师：如果有20个圆，你能够找到这20个圆的■吗？120个呢？或者更多一些，1000个呢？其实不管有多少圆，我们只要把这些圆平均分成4份，其中的一份就可以用分数■来表示。

数学学习是掌握前人已经发现的数学知识，是把前人的数学活动经验转变为自己经验的过程。三年级下册《认识几分之一》，就是在学生认知了一个物体（图形）的几分之一和几分之几的基础上学习的，进而来认识一些物体组成的一个整体的几分之一。利用已有的知识引入新的知识，把新知识置于学生已有的认知结构中，让学生把“一些物体组成的整体平均分”转化成已经掌握的“把一个物体平均分”，这样调动了学生先前的经验，实现了从“把一个物体平均分”到“把一个整体平均分”的认知突破。通过新旧知识的相互作用，即知识同化，形成分化程度更高的新的认知结构，实现新的建模过程。

三、有序拓展，变式建模

数学教学不仅要传授知识、技能，更重要的是传播思想、方法。这必须成为数学教育者的共识。数学思维具有扩张性，思维的启发可以发端于教材，但不能止于教材，最自然的做法就是针对教学素材适时地进行思维的拓展与延伸。

教学中渗透初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。这种训练不是简单、生硬地进行的，必须和学生数学学习的特点相契合——由具体、形象的实例开始，借助于变式予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以拓展和推广。

《倍的认识》教学片段：

在变化中理解一个数是另一个数的几倍的本质（原有2朵黄花、8朵红花）。

师：添上4朵红花（示图），现在红花的朵数是黄花的几倍？（6倍）为什么？

生：红花的朵数是黄花的6倍。因为红花有6个2朵。

师：如果去掉8朵红花呢，现在红花的朵数是黄花的几倍？为什么？

生：红花的朵数是黄花的两倍。因为红花有2个2朵。

师：那去掉2朵红花呢，现在红花的朵数是黄花的几倍？

生：红花的朵数是黄花的1倍，因为红花有1个2朵。

师：小朋友真厉害，我还准备了几道难题呢。黄花2朵，红花6朵，红花是黄花的几倍？

生：（异口同声）3倍。

师：难吗？难的藏在后头呢。小眼睛盯好了，我又要变了，（添1朵黄花，变成3朵黄花、6朵红花）现在红花的朵数是黄花的几倍？

生：2倍。

师：红花的朵数没变，为什么红花的朵数是黄花的2倍呢？

生：因为黄花现在有3朵，红花有2个3朵，所以红花的朵数是黄花的2倍。

师：小朋友看得可真仔细，黄花已经变成3朵了，那红花还能2朵2朵地分吗？那这里的红花就要按照——（生齐）3朵一份来分了，分到了2个3朵。所以，现在的红花是黄花的2倍。

师：再变（1朵黄花，6朵红花），现在呢？

生：红花是黄花的6倍。

师：小朋友，无论黄花和红花怎么变，要想知道红花是黄花的几倍，我们只要怎样想呢？

师：（小结）刚才我们在确定红花是黄花的几倍时，都要先看黄花有几朵。黄花有几朵，就把红花几朵几朵地分，红花中有几个黄花那么多，那么红花的朵数就是黄花的几倍。

变式就是从不同的角度组织感知材料，变化概念的非本质属性，突出本质属性，从而使学生对概念的表征达到一个较高水平的概括。教学中，我们充分用好例题，精心设计变式练习，层层递进，呈现不同角度的“几个几”，再通过辨析比较，发现变式中“倍”的本质属性，从而真正理解“倍”的内涵。

四、化解难点，方法建模

数学课程标准强调数学教学“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律”，“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。[3]在建模过程中，学生要不断思考，不断对各种信息进行加工、转换，同时要不断激活原有的知识经验，对当前问题作出分析、推论、综合、概括，形成假设，并对假设进行验证，从而建构自己的知识经验，形成自己的见解，建立一定的模型，这一过程为数学思维训练提供了理想的途径。

《隔位退位减》教学片段：

1.明算理，知方法：401-3

（1）借助计数器：401-3该怎么减呢？

（2）引导：从哪一位减起（从个位减起），个位上1-3怎么样？（不够减）怎么办？（从十位退1）这个十位上是0，那怎么办呢？（从百位退1），这个主意不错！就从百位退1。

（3）明确方法：这个退1该怎么退呢？（退到十位）是几？（是10）为什么？（1个百是10个十）从百位退1能不能直接在个位作10呢？（不能）为什么？想想看1个百退到个位上多少个一？（100个一）也就是在个位上拨几颗珠子，怎么样？（太麻烦了）所以该怎么退呢？谁来说一说？

（4）引导梳理汇报：应该先从哪位上退1？退到哪位上？再从哪位上退1？退到哪位上？

（5）操作演示：你们同意吗？那他的意思就是要退几次？第一次是从哪一位上退1？在哪一位上作10？第二次呢？

（6）退位后减：那现在个位上是几？够减吗？谁来试一试？十位上还剩几？百位上还剩几？（结果是398）

（7）回复操作巩固：小朋友们，做这道题可真不容易呀！我们来回想一下。

（8）揭题：隔位退位减

2.直观到抽象：竖式计算504-8

（1）明确问题：从哪一位减起，遇到了什么问题？

（2）交流退位：怎么退呢？（从百位退1，做个小标记，在十位作10，从十位退1在个位作10）退好了，该怎么减呢？（注意强调十位上是怎么算的，为什么）

（3）小结退位方法。

3.方法迁移：竖式计算302-145

教学302-145这类题目，历来是计算教学中的一个难点，原因在于此类题包含有多个逻辑步骤，而这些逻辑步骤用语言表述对低年级学生来说，比较难以接受。因此，我们力图把这些内隐于大脑的逻辑步骤外化为可视的计数器的物质操作。然而，直接用计数器来教学302-145这类题时却又遇到另一个问题：计数器计算与笔算的运算顺序正好相反。因此，提炼出本课最核心的内容（多位数减一位数），放到计数器上进行教学。在计数器上算401-3，既形象地讲清了算理，又帮助学生建立算理表象，为竖式计算作了良好铺垫。计算教学中的计算法则就可以看作是一种算法模型，借助“多位数减一位数”计算法则的教学，化繁为简，“集中火力”突破“隔位退位”的难点，逐步将模型进行抽象的建构。

对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。[4]在教学中，我们要抓住问题的锚桩，激发学生的探索兴趣，激发学生已有的经验，激发儿童头脑中已有的生活经验，使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。数学建模使学生真正体会到数学的应用价值，培养了学生的数学应用意识，增强了数学的学习兴趣，使学生真正了解数学知识的发生过程，提高了学生分析问题和解决问题的能力，培养了学生的创造能力。

参考文献：

[1]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009：241.

[2]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）[M].长沙：湖南出版社，1998：1.

[3]全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001：前言.

[4]许卫兵.小学数学建模教学的程序思考[J].江苏教育，2011（3）.

责任编辑：杨孝如

Strategy for Constructing Mold of Primary School

Mathematics Classroom Teaching

DAI Wen-ya

（Jiangyin Yaosai Experimental Primary School， Jiangyin 214432， China）

Abstract： In a broad sense， mathematics knowledge is mathematics mold， and all concepts， formulas， equations， functions and corresponding operation systems can be called mathematics molds. In primary school mathematics classroom teaching， teachers should lead students to independently construct molds by means of such thinking ways as analysis， comparison， combination， guessing， testing and summarizing and also by employing the strategies of restructuring content and meaning， linking promotion and structuring， gradual expansion and variation， and tackling difficulties and approaches， so that students interest could be sparked and their mathematics vision， awareness， accomplishments and qualities could be enhanced as well.

Key words： meaning mold； structure mold； variation mold； method mold