立体几何测试卷（A卷）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的直观图可以是（    ）

图1

A           B           C           D

2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n

B. 若α∥β，m α，n β，则m∥n

C. 若m⊥n，m α，n β，则α⊥β

D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

3. 若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为（    ）

A. 1∶2 B. 1∶4   C. 1∶8 D. 1∶16

4. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（    ）

A.   B.     C.   D.

5. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（    ）

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件

C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

6. 已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足. 若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（    ）

A.   B.     C.   D. 1

7. 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N. 若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（    ）

A. 7π B. 9π   C. 11π D. 13π

8. 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有（    ）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

9. 如图3所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD= a，则它的5个面中，互相垂直的面有_________对.

10. 已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图4所示，则其侧视图的周长为___________.

图4

11. 如图5，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2=________.

图5           图6

12. 在如图6所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________.

13. 如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件__________时，就有MN∥平面B1D1C.

三、解答题：本大题共3小题，14、15題10分，16题15分，共35分.

14. 如图8，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB1=8，E，F分别是线段A1A，BC上的点.

（1）若A1E=5，BF=10，求证：BE∥平面A1FD.

（2）若BD⊥A1F，求三棱锥A1-AB1F的体积.

15. 如图9，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，点B1在底面上的射影D落在BC上.

（1）求证：AC⊥平面BB1C1C;

（2）若AB1⊥BC1，且∠B1BC=60°，求证：A1C∥平面AB1D.

16. 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于点F. 现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连结AF.

（1）求证：平面AEF⊥平面CBD.

（2）当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线AB与平面CBD所成角的正切值.